MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzind2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzind2 12597
Description: Induction on the upper integers that start after an integer 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 25-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind2.1 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝜑𝜓))
uzind2.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
uzind2.3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
uzind2.4 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
uzind2.5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
uzind2.6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑘) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
uzind2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝜓,𝑗   𝜒,𝑗   𝜃,𝑗   𝜏,𝑗   𝜑,𝑘   𝑗,𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind2
StepHypRef Expression
1 zltp1le 12554 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
2 peano2z 12545 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
3 uzind2.1 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝜑𝜓))
43imbi2d 341 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)))
5 uzind2.2 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
65imbi2d 341 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜒)))
7 uzind2.3 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
87imbi2d 341 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜃)))
9 uzind2.4 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑁 → (𝜑𝜏))
109imbi2d 341 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏)))
11 uzind2.5 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓)
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜓))
13 zltp1le 12554 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
14 uzind2.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑘) → (𝜒𝜃))
15143expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑘 → (𝜒𝜃)))
1613, 15sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝜒𝜃)))
1716ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝜒𝜃))))
1817com3l 89 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑘 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒𝜃))))
1918imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒𝜃)))
20193adant1 1131 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝜒𝜃)))
2120a2d 29 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) → ((𝑀 ∈ ℤ → 𝜒) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜃)))
224, 6, 8, 10, 12, 21uzind 12596 . . . . . . . 8 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))
23223exp 1120 . . . . . . 7 ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))))
242, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → 𝜏))))
2524com34 91 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝜏))))
2625pm2.43a 54 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝜏)))
2726imp 408 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝜏))
281, 27sylbid 239 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝜏))
29283impia 1118 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  1c1 11053   + caddc 11055   < clt 11190  cle 11191  cz 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501
This theorem is referenced by:  monotuz  41268
  Copyright terms: Public domain W3C validator