Theorem zltp1le 12379

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 12010	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
3		znnsub 12375	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
4		zre 12332	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12332	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1re 10984	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		leaddsub2 11461	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
8	6, 7	mp3an2 1448	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
9	4, 5, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
10	2, 3, 9	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
11	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	ltp1d 11914	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13		peano2re 11157	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
15	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		ltletr 11076	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
18	12, 17	mpand 692	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
19	10, 18	impbid 211	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  (class class class)co 7284  ℝcr 10879  1c1 10881   + caddc 10883   < clt 11018   ≤ cle 11019   − cmin 11214  ℕcn 11982  ℤcz 12328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329

This theorem is referenced by:  zleltp1  12380  zlem1lt  12381  zgt0ge1  12383  nnltp1le  12385  nn0ltp1le  12387  btwnnz  12405  uzind2  12422  fzind  12427  eluzp1l  12618  eluz2b1  12668  zltaddlt1le  13246  fzsplit2  13290  elfzop1le2  13409  m1modge3gt1  13647  bcval5  14041  seqcoll  14187  hashge2el2dif  14203  hashge2el2difr  14204  swrd2lsw  14674  2swrd2eqwrdeq  14675  isercoll  15388  nn0o1gt2  16099  divalglem6  16116  isprm3  16397  dvdsnprmd  16404  2mulprm  16407  oddprmge3  16414  ge2nprmge4  16415  hashdvds  16485  prmreclem5  16630  prmgaplem3  16763  prmgaplem5  16765  prmgaplem6  16766  prmgaplem8  16768  sylow1lem3  19214  chfacfscmul0  22016  chfacfscmulfsupp  22017  chfacfpmmul0  22020  chfacfpmmulfsupp  22021  dyaddisjlem  24768  plyeq0lem  25380  basellem2  26240  chtub  26369  bposlem9  26449  lgsdilem2  26490  lgsquadlem1  26537  2lgslem1a  26548  pntpbnd1  26743  pntpbnd2  26744  tgldimor  26872  eucrct2eupth  28618  konigsberglem5  28629  nndiffz1  31116  ltesubnnd  31145  dp2ltc  31170  smatrcl  31755  breprexplemc  32621  zltp1ne  33077  dnibndlem13  34679  knoppndvlem6  34706  poimirlem3  35789  poimirlem4  35790  poimirlem15  35801  poimirlem17  35803  poimirlem28  35814  zltp1led  39995  lcmineqlem11  40054  lcmineqlem23  40066  lcmineqlem  40067  sticksstones10  40118  ellz1  40596  lzunuz  40597  rmygeid  40793  jm3.1lem2  40847  fzuntgd  41072  bccbc  41970  monoords  42843  fmul01lt1lem1  43132  dvnxpaek  43490  iblspltprt  43521  itgspltprt  43527  fourierdlem6  43661  fourierdlem12  43667  fourierdlem19  43674  fourierdlem42  43697  fourierdlem48  43702  fourierdlem49  43703  fourierdlem79  43733  iccpartiltu  44885  iccpartgt  44890  icceuelpartlem  44898  iccpartnel  44901  lighneallem4b  45072  evenltle  45180  gbowge7  45226  gbege6  45228  stgoldbwt  45239  sbgoldbwt  45240  sbgoldbalt  45244  sbgoldbm  45247  bgoldbtbndlem1  45268  tgblthelfgott  45278  elfzolborelfzop1  45871