Theorem zltp1le 12545

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 12177	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
3		znnsub 12541	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
4		zre 12496	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12496	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1re 11136	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		leaddsub2 11618	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
8	6, 7	mp3an2 1452	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
9	4, 5, 8	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
10	2, 3, 9	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
11	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	ltp1d 12076	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13		peano2re 11310	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
15	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		ltletr 11229	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
18	12, 17	mpand 696	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
19	10, 18	impbid 212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12149  ℤcz 12492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493

This theorem is referenced by:  zleltp1  12546  zlem1lt  12547  zgt0ge1  12550  nnltp1le  12552  nn0ltp1le  12554  btwnnz  12572  uzind2  12589  fzind  12594  eluzp1l  12782  eluz2b1  12836  zltaddlt1le  13425  fzsplit2  13469  fzdif1  13525  elfzop1le2  13592  m1modge3gt1  13845  bcval5  14245  seqcoll  14391  hashge2el2dif  14407  hashge2el2difr  14408  swrd2lsw  14879  2swrd2eqwrdeq  14880  isercoll  15595  nn0o1gt2  16312  divalglem6  16329  isprm3  16614  dvdsnprmd  16621  2mulprm  16624  oddprmge3  16631  ge2nprmge4  16632  hashdvds  16706  prmreclem5  16852  prmgaplem3  16985  prmgaplem5  16987  prmgaplem6  16988  prmgaplem8  16990  chnccat  18553  sylow1lem3  19533  chfacfscmul0  22806  chfacfscmulfsupp  22807  chfacfpmmul0  22810  chfacfpmmulfsupp  22811  dyaddisjlem  25556  plyeq0lem  26175  basellem2  27052  chtub  27183  bposlem9  27263  lgsdilem2  27304  lgsquadlem1  27351  2lgslem1a  27362  pntpbnd1  27557  pntpbnd2  27558  tgldimor  28578  eucrct2eupth  30324  konigsberglem5  30335  nndiffz1  32868  ltesubnnd  32905  dp2ltc  32970  smatrcl  33955  breprexplemc  34791  zltp1ne  35306  dnibndlem13  36692  knoppndvlem6  36719  poimirlem3  37826  poimirlem4  37827  poimirlem15  37838  poimirlem17  37840  poimirlem28  37851  zltp1led  42301  lcmineqlem11  42361  lcmineqlem23  42373  lcmineqlem  42374  sticksstones10  42477  eluzp1  42629  ellz1  43076  lzunuz  43077  rmygeid  43273  jm3.1lem2  43327  fzuntgd  43766  bccbc  44653  monoords  45612  fmul01lt1lem1  45897  dvnxpaek  46253  iblspltprt  46284  itgspltprt  46290  fourierdlem6  46424  fourierdlem12  46430  fourierdlem19  46437  fourierdlem42  46460  fourierdlem48  46465  fourierdlem49  46466  fourierdlem79  46496  ormkglobd  47186  addmodne  47657  m1modnep2mod  47665  iccpartiltu  47735  iccpartgt  47740  icceuelpartlem  47748  iccpartnel  47751  lighneallem4b  47922  evenltle  48030  gbowge7  48076  gbege6  48078  stgoldbwt  48089  sbgoldbwt  48090  sbgoldbalt  48094  sbgoldbm  48097  bgoldbtbndlem1  48118  tgblthelfgott  48128  elfzolborelfzop1  48832