Theorem zltp1le 12559

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 12190	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
3		znnsub 12555	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
4		zre 12509	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12509	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1re 11150	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		leaddsub2 11631	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
8	6, 7	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
9	4, 5, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
10	2, 3, 9	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
11	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	ltp1d 12089	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13		peano2re 11323	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
15	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		ltletr 11242	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
18	12, 17	mpand 695	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
19	10, 18	impbid 212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℕcn 12162  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506

This theorem is referenced by:  zleltp1  12560  zlem1lt  12561  zgt0ge1  12564  nnltp1le  12566  nn0ltp1le  12568  btwnnz  12586  uzind2  12603  fzind  12608  eluzp1l  12796  eluz2b1  12854  zltaddlt1le  13442  fzsplit2  13486  fzdif1  13542  elfzop1le2  13609  m1modge3gt1  13859  bcval5  14259  seqcoll  14405  hashge2el2dif  14421  hashge2el2difr  14422  swrd2lsw  14894  2swrd2eqwrdeq  14895  isercoll  15610  nn0o1gt2  16327  divalglem6  16344  isprm3  16629  dvdsnprmd  16636  2mulprm  16639  oddprmge3  16646  ge2nprmge4  16647  hashdvds  16721  prmreclem5  16867  prmgaplem3  17000  prmgaplem5  17002  prmgaplem6  17003  prmgaplem8  17005  sylow1lem3  19514  chfacfscmul0  22778  chfacfscmulfsupp  22779  chfacfpmmul0  22782  chfacfpmmulfsupp  22783  dyaddisjlem  25529  plyeq0lem  26148  basellem2  27025  chtub  27156  bposlem9  27236  lgsdilem2  27277  lgsquadlem1  27324  2lgslem1a  27335  pntpbnd1  27530  pntpbnd2  27531  tgldimor  28482  eucrct2eupth  30224  konigsberglem5  30235  nndiffz1  32759  ltesubnnd  32797  dp2ltc  32857  smatrcl  33779  breprexplemc  34616  zltp1ne  35090  dnibndlem13  36471  knoppndvlem6  36498  poimirlem3  37610  poimirlem4  37611  poimirlem15  37622  poimirlem17  37624  poimirlem28  37635  zltp1led  41960  lcmineqlem11  42020  lcmineqlem23  42032  lcmineqlem  42033  sticksstones10  42136  eluzp1  42288  ellz1  42748  lzunuz  42749  rmygeid  42946  jm3.1lem2  43000  fzuntgd  43440  bccbc  44327  monoords  45288  fmul01lt1lem1  45575  dvnxpaek  45933  iblspltprt  45964  itgspltprt  45970  fourierdlem6  46104  fourierdlem12  46110  fourierdlem19  46117  fourierdlem42  46140  fourierdlem48  46145  fourierdlem49  46146  fourierdlem79  46176  ormkglobd  46866  addmodne  47338  m1modnep2mod  47346  iccpartiltu  47416  iccpartgt  47421  icceuelpartlem  47429  iccpartnel  47432  lighneallem4b  47603  evenltle  47711  gbowge7  47757  gbege6  47759  stgoldbwt  47770  sbgoldbwt  47771  sbgoldbalt  47775  sbgoldbm  47778  bgoldbtbndlem1  47799  tgblthelfgott  47809  elfzolborelfzop1  48501