Theorem zltp1le 12642

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 12268	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
3		znnsub 12638	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
4		zre 12592	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12592	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1re 11235	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		leaddsub2 11714	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
8	6, 7	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
9	4, 5, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
10	2, 3, 9	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
11	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	ltp1d 12172	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13		peano2re 11408	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
15	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		ltletr 11327	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
18	12, 17	mpand 695	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
19	10, 18	impbid 212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℕcn 12240  ℤcz 12588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589

This theorem is referenced by:  zleltp1  12643  zlem1lt  12644  zgt0ge1  12647  nnltp1le  12649  nn0ltp1le  12651  btwnnz  12669  uzind2  12686  fzind  12691  eluzp1l  12879  eluz2b1  12935  zltaddlt1le  13522  fzsplit2  13566  fzdif1  13622  elfzop1le2  13689  m1modge3gt1  13936  bcval5  14336  seqcoll  14482  hashge2el2dif  14498  hashge2el2difr  14499  swrd2lsw  14971  2swrd2eqwrdeq  14972  isercoll  15684  nn0o1gt2  16400  divalglem6  16417  isprm3  16702  dvdsnprmd  16709  2mulprm  16712  oddprmge3  16719  ge2nprmge4  16720  hashdvds  16794  prmreclem5  16940  prmgaplem3  17073  prmgaplem5  17075  prmgaplem6  17076  prmgaplem8  17078  sylow1lem3  19581  chfacfscmul0  22796  chfacfscmulfsupp  22797  chfacfpmmul0  22800  chfacfpmmulfsupp  22801  dyaddisjlem  25548  plyeq0lem  26167  basellem2  27044  chtub  27175  bposlem9  27255  lgsdilem2  27296  lgsquadlem1  27343  2lgslem1a  27354  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  tgldimor  28481  eucrct2eupth  30226  konigsberglem5  30237  nndiffz1  32763  ltesubnnd  32801  dp2ltc  32861  smatrcl  33827  breprexplemc  34664  zltp1ne  35132  dnibndlem13  36508  knoppndvlem6  36535  poimirlem3  37647  poimirlem4  37648  poimirlem15  37659  poimirlem17  37661  poimirlem28  37672  zltp1led  41992  lcmineqlem11  42052  lcmineqlem23  42064  lcmineqlem  42065  sticksstones10  42168  eluzp1  42356  ellz1  42790  lzunuz  42791  rmygeid  42988  jm3.1lem2  43042  fzuntgd  43482  bccbc  44369  monoords  45326  fmul01lt1lem1  45613  dvnxpaek  45971  iblspltprt  46002  itgspltprt  46008  fourierdlem6  46142  fourierdlem12  46148  fourierdlem19  46155  fourierdlem42  46178  fourierdlem48  46183  fourierdlem49  46184  fourierdlem79  46214  ormkglobd  46904  addmodne  47373  m1modnep2mod  47381  iccpartiltu  47436  iccpartgt  47441  icceuelpartlem  47449  iccpartnel  47452  lighneallem4b  47623  evenltle  47731  gbowge7  47777  gbege6  47779  stgoldbwt  47790  sbgoldbwt  47791  sbgoldbalt  47795  sbgoldbm  47798  bgoldbtbndlem1  47819  tgblthelfgott  47829  elfzolborelfzop1  48495