Theorem zltp1le 12664

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 12291	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
3		znnsub 12660	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
4		zre 12614	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12614	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1re 11258	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		leaddsub2 11737	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
8	6, 7	mp3an2 1448	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
9	4, 5, 8	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
10	2, 3, 9	3imtr4d 294	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
11	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	ltp1d 12195	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13		peano2re 11431	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
15	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		ltletr 11350	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
18	12, 17	mpand 695	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
19	10, 18	impbid 212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489  ℕcn 12263  ℤcz 12610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611

This theorem is referenced by:  zleltp1  12665  zlem1lt  12666  zgt0ge1  12669  nnltp1le  12671  nn0ltp1le  12673  btwnnz  12691  uzind2  12708  fzind  12713  eluzp1l  12902  eluz2b1  12958  zltaddlt1le  13541  fzsplit2  13585  fzdif1  13641  elfzop1le2  13708  m1modge3gt1  13955  bcval5  14353  seqcoll  14499  hashge2el2dif  14515  hashge2el2difr  14516  swrd2lsw  14987  2swrd2eqwrdeq  14988  isercoll  15700  nn0o1gt2  16414  divalglem6  16431  isprm3  16716  dvdsnprmd  16723  2mulprm  16726  oddprmge3  16733  ge2nprmge4  16734  hashdvds  16808  prmreclem5  16953  prmgaplem3  17086  prmgaplem5  17088  prmgaplem6  17089  prmgaplem8  17091  sylow1lem3  19632  chfacfscmul0  22879  chfacfscmulfsupp  22880  chfacfpmmul0  22883  chfacfpmmulfsupp  22884  dyaddisjlem  25643  plyeq0lem  26263  basellem2  27139  chtub  27270  bposlem9  27350  lgsdilem2  27391  lgsquadlem1  27438  2lgslem1a  27449  pntpbnd1  27644  pntpbnd2  27645  tgldimor  28524  eucrct2eupth  30273  konigsberglem5  30284  nndiffz1  32794  ltesubnnd  32828  dp2ltc  32853  smatrcl  33756  breprexplemc  34625  zltp1ne  35093  dnibndlem13  36472  knoppndvlem6  36499  poimirlem3  37609  poimirlem4  37610  poimirlem15  37621  poimirlem17  37623  poimirlem28  37634  zltp1led  41960  lcmineqlem11  42020  lcmineqlem23  42032  lcmineqlem  42033  sticksstones10  42136  eluzp1  42319  ellz1  42754  lzunuz  42755  rmygeid  42952  jm3.1lem2  43006  fzuntgd  43447  bccbc  44340  monoords  45247  fmul01lt1lem1  45539  dvnxpaek  45897  iblspltprt  45928  itgspltprt  45934  fourierdlem6  46068  fourierdlem12  46074  fourierdlem19  46081  fourierdlem42  46104  fourierdlem48  46109  fourierdlem49  46110  fourierdlem79  46140  addmodne  47283  m1modnep2mod  47291  iccpartiltu  47346  iccpartgt  47351  icceuelpartlem  47359  iccpartnel  47362  lighneallem4b  47533  evenltle  47641  gbowge7  47687  gbege6  47689  stgoldbwt  47700  sbgoldbwt  47701  sbgoldbalt  47705  sbgoldbm  47708  bgoldbtbndlem1  47729  tgblthelfgott  47739  elfzolborelfzop1  48364