Theorem zltp1le 12648

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 12268	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
3		znnsub 12644	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
4		zre 12599	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12599	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1re 11212	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		leaddsub2 11695	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
8	6, 7	mp3an2 1478	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
9	4, 5, 8	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
10	2, 3, 9	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
11	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	ltp1d 12149	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13		peano2re 11387	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
14	11, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
15	5	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		ltletr 11306	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
18	12, 17	mpand 707	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
19	10, 18	impbid 215	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  1c1 11105   + caddc 11107   < clt 11247   ≤ cle 11248   − cmin 11445  ℕcn 12237  ℤcz 12595

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596

This theorem is used by:  zleltp1  12649  zlem1lt  12650  zltp1led  12653  zgt0ge1  12654  nnltp1le  12656  nn0ltp1le  12658  btwnnz  12676  uzind2  12693  fzind  12698  eluzp1l  12893  eluz2b1  12947  zltaddlt1le  13536  fzsplit2  13582  fzdif1  13638  elfzop1le2  13706  m1modge3gt1  13959  bcval5  14359  seqcoll  14506  hashge2el2dif  14522  hashge2el2difr  14523  swrd2lsw  14994  2swrd2eqwrdeq  14995  isercoll  15724  nn0o1gt2  16443  divalglem6  16460  isprm3  16745  dvdsnprmd  16752  2mulprm  16755  oddprmge3  16763  ge2nprmge4  16764  hashdvds  16838  prmreclem5  16984  prmgaplem3  17117  prmgaplem5  17119  prmgaplem6  17120  prmgaplem8  17122  chnccat  18686  sylow1lem3  19674  chfacfscmul0  23024  chfacfscmulfsupp  23025  chfacfpmmul0  23028  chfacfpmmulfsupp  23029  dyaddisjlem  25763  plyeq0lem  26376  basellem2  27255  chtub  27385  bposlem9  27465  lgsdilem2  27506  lgsquadlem1  27553  2lgslem1a  27564  pntpbnd1  27759  pntpbnd2  27760  tgldimor  28780  eucrct2eupth  30605  konigsberglem5  30616  nndiffz1  33140  ltesubnnd  33176  dp2ltc  33215  smatrcl  34195  breprexplemc  35028  zltp1ne  35609  dnibndlem13  37107  knoppndvlem6  37134  poimirlem3  38302  poimirlem4  38303  poimirlem15  38314  poimirlem17  38316  poimirlem28  38327  lcmineqlem11  42834  lcmineqlem23  42846  lcmineqlem  42847  sticksstones10  42950  eluzp1  43096  ellz1  43526  lzunuz  43527  rmygeid  43719  jm3.1lem2  43773  fzuntgd  44212  bccbc  45083  monoords  46044  fmul01lt1lem1  46328  dvnxpaek  46684  iblspltprt  46715  itgspltprt  46721  fourierdlem6  46855  fourierdlem12  46861  fourierdlem19  46868  fourierdlem42  46891  fourierdlem79  46927  ormkglobd  47619  addmodne  48115  m1modnep2mod  48123  iccpartiltu  48199  iccpartgt  48204  icceuelpartlem  48212  iccpartnel  48215  lighneallem4b  48389  evenltle  48510  gbowge7  48556  gbege6  48558  stgoldbwt  48569  sbgoldbwt  48570  sbgoldbalt  48574  sbgoldbm  48577  bgoldbtbndlem1  48598  tgblthelfgott  48608  elfzolborelfzop1  49327