Theorem zltp1le 12746

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 12366	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
3		znnsub 12742	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
4		zre 12697	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12697	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1re 11308	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		leaddsub2 11793	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
8	6, 7	mp3an2 1478	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
9	4, 5, 8	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
10	2, 3, 9	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
11	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	ltp1d 12247	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13		peano2re 11483	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
14	11, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
15	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		ltletr 11402	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
18	12, 17	mpand 708	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
19	10, 18	impbid 215	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541  ℕcn 12335  ℤcz 12693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694

This theorem is used by:  zleltp1  12747  zlem1lt  12748  zltp1led  12751  zgt0ge1  12752  nnltp1le  12755  nn0ltp1le  12757  btwnnz  12775  uzind2  12792  fzind  12797  eluzp1l  12992  eluz2b1  13046  zltaddlt1le  13636  fzsplit2  13683  fzdif1  13739  elfzop1le2  13807  m1modge3gt1  14061  bcval5  14462  seqcoll  14609  hashge2el2dif  14625  hashge2el2difr  14626  swrd2lsw  15105  2swrd2eqwrdeq  15106  isercoll  15835  nn0o1gt2  16551  divalglem6  16568  isprm3  16858  dvdsnprmd  16865  2mulprm  16868  oddprmge3  16876  ge2nprmge4  16877  hashdvds  16952  prmreclem5  17098  prmgaplem3  17231  prmgaplem5  17233  prmgaplem6  17234  prmgaplem8  17236  chnccat  18800  sylow1lem3  19814  chfacfscmul0  23176  chfacfscmulfsupp  23177  chfacfpmmul0  23180  chfacfpmmulfsupp  23181  dyaddisjlem  25916  plyeq0lem  26529  basellem2  27409  chtub  27539  bposlem9  27619  lgsdilem2  27660  2lgslem1a  27718  pntpbnd1  27913  pntpbnd2  27914  tgldimor  28965  eucrct2eupth  30846  konigsberglem5  30857  nndiffz1  33378  ltesubnnd  33414  dp2ltc  33453  smatrcl  34428  breprexplemc  35261  zltp1ne  35900  dnibndlem13  37356  knoppndvlem6  37383  poimirlem3  38542  poimirlem4  38543  poimirlem15  38554  poimirlem17  38556  poimirlem28  38567  lcmineqlem11  43090  lcmineqlem23  43102  lcmineqlem  43103  sticksstones10  43206  eluzp1  43365  ellz1  43778  lzunuz  43779  rmygeid  43971  jm3.1lem2  44025  fzuntgd  44459  bccbc  45329  monoords  46313  fmul01lt1lem1  46596  dvnxpaek  46952  iblspltprt  46983  itgspltprt  46989  fourierdlem6  47123  fourierdlem12  47129  fourierdlem19  47136  fourierdlem42  47159  fourierdlem79  47195  addmodne  48420  m1modnep2mod  48428  iccpartiltu  48504  iccpartgt  48509  icceuelpartlem  48517  iccpartnel  48520  lighneallem4b  48694  evenltle  48815  gbowge7  48861  gbege6  48863  stgoldbwt  48874  sbgoldbwt  48875  sbgoldbalt  48879  sbgoldbm  48882  bgoldbtbndlem1  48903  tgblthelfgott  48913  elfzolborelfzop1  49631