MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zltp1le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zltp1le 12026
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zltp1le ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le
StepHypRef Expression
1 nnge1 11659 . . . 4 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁𝑀))
21a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁𝑀)))
3 znnsub 12022 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
4 zre 11979 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 zre 11979 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 1re 10635 . . . . 5 1 ∈ ℝ
7 leaddsub2 11111 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁𝑀)))
86, 7mp3an2 1442 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁𝑀)))
94, 5, 8syl2an 595 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁𝑀)))
102, 3, 93imtr4d 295 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
114adantr 481 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1211ltp1d 11564 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13 peano2re 10807 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
1411, 13syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
155adantl 482 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 ltletr 10726 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
1711, 14, 15, 16syl3anc 1365 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
1812, 17mpand 691 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝑀 < 𝑁))
1910, 18impbid 213 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2107   class class class wbr 5063  (class class class)co 7150  cr 10530  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  cn 11632  cz 11975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976
This theorem is referenced by:  zleltp1  12027  zlem1lt  12028  zgt0ge1  12030  nnltp1le  12032  nn0ltp1le  12034  btwnnz  12052  uzind2  12069  fzind  12074  eluzp1l  12263  eluz2b1  12313  zltaddlt1le  12885  fzsplit2  12927  m1modge3gt1  13281  bcval5  13673  seqcoll  13817  hashge2el2dif  13833  hashge2el2difr  13834  swrd2lsw  14309  2swrd2eqwrdeq  14310  isercoll  15019  nn0o1gt2  15727  divalglem6  15744  isprm3  16022  dvdsnprmd  16029  2mulprm  16032  oddprmge3  16039  ge2nprmge4  16040  hashdvds  16107  prmreclem5  16251  prmgaplem3  16384  prmgaplem5  16386  prmgaplem6  16387  prmgaplem8  16389  sylow1lem3  18661  chfacfscmul0  21401  chfacfscmulfsupp  21402  chfacfpmmul0  21405  chfacfpmmulfsupp  21406  dyaddisjlem  24130  plyeq0lem  24734  basellem2  25592  chtub  25721  bposlem9  25801  lgsdilem2  25842  lgsquadlem1  25889  2lgslem1a  25900  pntpbnd1  26095  pntpbnd2  26096  tgldimor  26221  eucrct2eupth  27957  konigsberglem5  27968  nndiffz1  30441  ltesubnnd  30471  dp2ltc  30496  smatrcl  30966  breprexplemc  31808  zltp1ne  32251  dnibndlem13  33732  knoppndvlem6  33759  poimirlem3  34781  poimirlem4  34782  poimirlem15  34793  poimirlem17  34795  poimirlem28  34806  ellz1  39248  lzunuz  39249  rmygeid  39445  jm3.1lem2  39499  bccbc  40561  elfzop1le2  41440  monoords  41448  fmul01lt1lem1  41749  dvnxpaek  42111  iblspltprt  42142  itgspltprt  42148  fourierdlem6  42283  fourierdlem12  42289  fourierdlem19  42296  fourierdlem42  42319  fourierdlem48  42324  fourierdlem49  42325  fourierdlem79  42355  iccpartiltu  43433  iccpartgt  43438  icceuelpartlem  43446  iccpartnel  43449  lighneallem4b  43625  evenltle  43733  gbowge7  43779  gbege6  43781  stgoldbwt  43792  sbgoldbwt  43793  sbgoldbalt  43797  sbgoldbm  43800  bgoldbtbndlem1  43821  tgblthelfgott  43831  elfzolborelfzop1  44476
  Copyright terms: Public domain W3C validator