Theorem zltp1le 12664

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 12284	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
3		znnsub 12660	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
4		zre 12615	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12615	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1re 11228	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		leaddsub2 11711	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
8	6, 7	mp3an2 1478	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
9	4, 5, 8	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
10	2, 3, 9	3imtr4d 297	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
11	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	ltp1d 12165	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13		peano2re 11403	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
14	11, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
15	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		ltletr 11322	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
18	12, 17	mpand 708	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
19	10, 18	impbid 215	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7420  ℝcr 11119  1c1 11121   + caddc 11123   < clt 11263   ≤ cle 11264   − cmin 11461  ℕcn 12253  ℤcz 12611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-n0 12525  df-z 12612

This theorem is used by:  zleltp1  12665  zlem1lt  12666  zltp1led  12669  zgt0ge1  12670  nnltp1le  12673  nn0ltp1le  12675  btwnnz  12693  uzind2  12710  fzind  12715  eluzp1l  12910  eluz2b1  12964  zltaddlt1le  13553  fzsplit2  13599  fzdif1  13655  elfzop1le2  13723  m1modge3gt1  13977  bcval5  14377  seqcoll  14524  hashge2el2dif  14540  hashge2el2difr  14541  swrd2lsw  15018  2swrd2eqwrdeq  15019  isercoll  15748  nn0o1gt2  16466  divalglem6  16483  isprm3  16768  dvdsnprmd  16775  2mulprm  16778  oddprmge3  16786  ge2nprmge4  16787  hashdvds  16861  prmreclem5  17007  prmgaplem3  17140  prmgaplem5  17142  prmgaplem6  17143  prmgaplem8  17145  chnccat  18709  sylow1lem3  19719  chfacfscmul0  23070  chfacfscmulfsupp  23071  chfacfpmmul0  23074  chfacfpmmulfsupp  23075  dyaddisjlem  25810  plyeq0lem  26423  basellem2  27302  chtub  27432  bposlem9  27512  lgsdilem2  27553  lgsquadlem1  27600  2lgslem1a  27611  pntpbnd1  27806  pntpbnd2  27807  tgldimor  28827  eucrct2eupth  30672  konigsberglem5  30683  nndiffz1  33206  ltesubnnd  33242  dp2ltc  33281  smatrcl  34255  breprexplemc  35089  zltp1ne  35663  dnibndlem13  37141  knoppndvlem6  37168  poimirlem3  38336  poimirlem4  38337  poimirlem15  38348  poimirlem17  38350  poimirlem28  38361  lcmineqlem11  42869  lcmineqlem23  42881  lcmineqlem  42882  sticksstones10  42985  eluzp1  43146  ellz1  43576  lzunuz  43577  rmygeid  43769  jm3.1lem2  43823  fzuntgd  44262  bccbc  45133  monoords  46094  fmul01lt1lem1  46378  dvnxpaek  46734  iblspltprt  46765  itgspltprt  46771  fourierdlem6  46905  fourierdlem12  46911  fourierdlem19  46918  fourierdlem42  46941  fourierdlem79  46977  ormkglobd  47669  addmodne  48165  m1modnep2mod  48173  iccpartiltu  48249  iccpartgt  48254  icceuelpartlem  48262  iccpartnel  48265  lighneallem4b  48439  evenltle  48560  gbowge7  48606  gbege6  48608  stgoldbwt  48619  sbgoldbwt  48620  sbgoldbalt  48624  sbgoldbm  48627  bgoldbtbndlem1  48648  tgblthelfgott  48658  elfzolborelfzop1  49376