Theorem zltp1le 12572

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 12200	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
3		znnsub 12568	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
4		zre 12523	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12523	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1re 11139	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		leaddsub2 11622	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
8	6, 7	mp3an2 1458	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
9	4, 5, 8	syl2an 603	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
10	2, 3, 9	3imtr4d 296	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
11	4	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	ltp1d 12081	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13		peano2re 11314	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
15	5	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		ltletr 11233	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
18	12, 17	mpand 702	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
19	10, 18	impbid 214	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372  ℕcn 12169  ℤcz 12519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520

This theorem is referenced by:  zleltp1  12573  zlem1lt  12574  zltp1led  12577  zgt0ge1  12578  nnltp1le  12580  nn0ltp1le  12582  btwnnz  12600  uzind2  12617  fzind  12622  eluzp1l  12810  eluz2b1  12864  zltaddlt1le  13453  fzsplit2  13498  fzdif1  13554  elfzop1le2  13622  m1modge3gt1  13875  bcval5  14275  seqcoll  14421  hashge2el2dif  14437  hashge2el2difr  14438  swrd2lsw  14909  2swrd2eqwrdeq  14910  isercoll  15625  nn0o1gt2  16345  divalglem6  16362  isprm3  16647  dvdsnprmd  16654  2mulprm  16657  oddprmge3  16665  ge2nprmge4  16666  hashdvds  16740  prmreclem5  16886  prmgaplem3  17019  prmgaplem5  17021  prmgaplem6  17022  prmgaplem8  17024  chnccat  18587  sylow1lem3  19570  chfacfscmul0  22845  chfacfscmulfsupp  22846  chfacfpmmul0  22849  chfacfpmmulfsupp  22850  dyaddisjlem  25584  plyeq0lem  26197  basellem2  27067  chtub  27197  bposlem9  27277  lgsdilem2  27318  lgsquadlem1  27365  2lgslem1a  27376  pntpbnd1  27571  pntpbnd2  27572  tgldimor  28592  eucrct2eupth  30337  konigsberglem5  30348  nndiffz1  32882  ltesubnnd  32919  dp2ltc  32969  smatrcl  33992  breprexplemc  34828  zltp1ne  35353  dnibndlem13  36811  knoppndvlem6  36838  poimirlem3  38005  poimirlem4  38006  poimirlem15  38017  poimirlem17  38019  poimirlem28  38030  lcmineqlem11  42539  lcmineqlem23  42551  lcmineqlem  42552  sticksstones10  42655  eluzp1  42799  ellz1  43231  lzunuz  43232  rmygeid  43424  jm3.1lem2  43478  fzuntgd  43917  bccbc  44804  monoords  45759  fmul01lt1lem1  46043  dvnxpaek  46399  iblspltprt  46430  itgspltprt  46436  fourierdlem6  46570  fourierdlem12  46576  fourierdlem19  46583  fourierdlem42  46606  fourierdlem48  46611  fourierdlem49  46612  fourierdlem79  46642  ormkglobd  47334  addmodne  47827  m1modnep2mod  47835  iccpartiltu  47911  iccpartgt  47916  icceuelpartlem  47924  iccpartnel  47927  lighneallem4b  48101  evenltle  48222  gbowge7  48268  gbege6  48270  stgoldbwt  48281  sbgoldbwt  48282  sbgoldbalt  48286  sbgoldbm  48289  bgoldbtbndlem1  48310  tgblthelfgott  48320  elfzolborelfzop1  49024