Theorem zltp1le 12623

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zltp1le	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 12243	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
3		znnsub 12619	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
4		zre 12574	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12574	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1re 11183	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		leaddsub2 11666	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
8	6, 7	mp3an2 1472	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
9	4, 5, 8	syl2an 605	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
10	2, 3, 9	3imtr4d 296	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
11	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	ltp1d 12124	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13		peano2re 11358	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
15	5	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		ltletr 11277	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
17	11, 14, 15, 16	syl3anc 1392	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
18	12, 17	mpand 705	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
19	10, 18	impbid 214	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11218   ≤ cle 11219   − cmin 11416  ℕcn 12212  ℤcz 12570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571

This theorem is referenced by:  zleltp1  12624  zlem1lt  12625  zltp1led  12628  zgt0ge1  12629  nnltp1le  12631  nn0ltp1le  12633  btwnnz  12651  uzind2  12668  fzind  12673  eluzp1l  12868  eluz2b1  12922  zltaddlt1le  13511  fzsplit2  13556  fzdif1  13612  elfzop1le2  13680  m1modge3gt1  13933  bcval5  14333  seqcoll  14479  hashge2el2dif  14495  hashge2el2difr  14496  swrd2lsw  14967  2swrd2eqwrdeq  14968  isercoll  15697  nn0o1gt2  16417  divalglem6  16434  isprm3  16719  dvdsnprmd  16726  2mulprm  16729  oddprmge3  16737  ge2nprmge4  16738  hashdvds  16812  prmreclem5  16958  prmgaplem3  17091  prmgaplem5  17093  prmgaplem6  17094  prmgaplem8  17096  chnccat  18660  sylow1lem3  19642  chfacfscmul0  22920  chfacfscmulfsupp  22921  chfacfpmmul0  22924  chfacfpmmulfsupp  22925  dyaddisjlem  25659  plyeq0lem  26272  basellem2  27148  chtub  27278  bposlem9  27358  lgsdilem2  27399  lgsquadlem1  27446  2lgslem1a  27457  pntpbnd1  27652  pntpbnd2  27653  tgldimor  28673  eucrct2eupth  30449  konigsberglem5  30460  nndiffz1  32990  ltesubnnd  33027  dp2ltc  33066  smatrcl  34095  breprexplemc  34928  zltp1ne  35464  dnibndlem13  36933  knoppndvlem6  36960  poimirlem3  38127  poimirlem4  38128  poimirlem15  38139  poimirlem17  38141  poimirlem28  38152  lcmineqlem11  42661  lcmineqlem23  42673  lcmineqlem  42674  sticksstones10  42777  eluzp1  42921  ellz1  43353  lzunuz  43354  rmygeid  43546  jm3.1lem2  43600  fzuntgd  44039  bccbc  44926  monoords  45881  fmul01lt1lem1  46165  dvnxpaek  46521  iblspltprt  46552  itgspltprt  46558  fourierdlem6  46692  fourierdlem12  46698  fourierdlem19  46705  fourierdlem42  46728  fourierdlem79  46764  ormkglobd  47456  addmodne  47949  m1modnep2mod  47957  iccpartiltu  48033  iccpartgt  48038  icceuelpartlem  48046  iccpartnel  48049  lighneallem4b  48223  evenltle  48344  gbowge7  48390  gbege6  48392  stgoldbwt  48403  sbgoldbwt  48404  sbgoldbalt  48408  sbgoldbm  48411  bgoldbtbndlem1  48432  tgblthelfgott  48442  elfzolborelfzop1  49146