MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zltp1le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zltp1le 12560
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zltp1le ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))

Proof of Theorem zltp1le
StepHypRef Expression
1 nnge1 12188 . . . 4 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁𝑀))
21a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑁𝑀)))
3 znnsub 12556 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
4 zre 12510 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5 zre 12510 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 1re 11162 . . . . 5 1 ∈ ℝ
7 leaddsub2 11639 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁𝑀)))
86, 7mp3an2 1450 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁𝑀)))
94, 5, 8syl2an 597 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁𝑀)))
102, 3, 93imtr4d 294 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
114adantr 482 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1211ltp1d 12092 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
13 peano2re 11335 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
1411, 13syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
155adantl 483 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 ltletr 11254 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
1711, 14, 15, 16syl3anc 1372 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
1812, 17mpand 694 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑁𝑀 < 𝑁))
1910, 18impbid 211 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392  cn 12160  cz 12506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507
This theorem is referenced by:  zleltp1  12561  zlem1lt  12562  zgt0ge1  12564  nnltp1le  12566  nn0ltp1le  12568  btwnnz  12586  uzind2  12603  fzind  12608  eluzp1l  12797  eluz2b1  12851  zltaddlt1le  13429  fzsplit2  13473  elfzop1le2  13592  m1modge3gt1  13830  bcval5  14225  seqcoll  14370  hashge2el2dif  14386  hashge2el2difr  14387  swrd2lsw  14848  2swrd2eqwrdeq  14849  isercoll  15559  nn0o1gt2  16270  divalglem6  16287  isprm3  16566  dvdsnprmd  16573  2mulprm  16576  oddprmge3  16583  ge2nprmge4  16584  hashdvds  16654  prmreclem5  16799  prmgaplem3  16932  prmgaplem5  16934  prmgaplem6  16935  prmgaplem8  16937  sylow1lem3  19389  chfacfscmul0  22223  chfacfscmulfsupp  22224  chfacfpmmul0  22227  chfacfpmmulfsupp  22228  dyaddisjlem  24975  plyeq0lem  25587  basellem2  26447  chtub  26576  bposlem9  26656  lgsdilem2  26697  lgsquadlem1  26744  2lgslem1a  26755  pntpbnd1  26950  pntpbnd2  26951  tgldimor  27486  eucrct2eupth  29231  konigsberglem5  29242  nndiffz1  31731  ltesubnnd  31760  dp2ltc  31785  smatrcl  32417  breprexplemc  33285  zltp1ne  33740  dnibndlem13  34982  knoppndvlem6  35009  poimirlem3  36110  poimirlem4  36111  poimirlem15  36122  poimirlem17  36124  poimirlem28  36135  zltp1led  40466  lcmineqlem11  40525  lcmineqlem23  40537  lcmineqlem  40538  sticksstones10  40592  ellz1  41119  lzunuz  41120  rmygeid  41317  jm3.1lem2  41371  fzuntgd  41804  bccbc  42699  monoords  43605  fmul01lt1lem1  43899  dvnxpaek  44257  iblspltprt  44288  itgspltprt  44294  fourierdlem6  44428  fourierdlem12  44434  fourierdlem19  44441  fourierdlem42  44464  fourierdlem48  44469  fourierdlem49  44470  fourierdlem79  44500  iccpartiltu  45688  iccpartgt  45693  icceuelpartlem  45701  iccpartnel  45704  lighneallem4b  45875  evenltle  45983  gbowge7  46029  gbege6  46031  stgoldbwt  46042  sbgoldbwt  46043  sbgoldbalt  46047  sbgoldbm  46050  bgoldbtbndlem1  46071  tgblthelfgott  46081  elfzolborelfzop1  46674
  Copyright terms: Public domain W3C validator