Theorem veronesefvcl 50972

Description: Every coordinate of the Veronese map of a real 3-vector is real. (Contributed by Jiamin Zhao, 19-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
veronesefvcl	⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((veronese‘𝑄)‘𝐾) ∈ ℝ)

Proof of Theorem veronesefvcl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2	1	veronesevald 50971	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (veronese‘𝑄) = (𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0)))))
3	2	fveq1d 6887	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((veronese‘𝑄)‘𝐾) = ((𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0))))‘𝐾))
4	1	rr3fv1cld 50947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
5	4	resqcld 14268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1)↑2) ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1)↑2) ∈ ℝ)
7		0red 11311	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → 0 ∈ ℝ)
8	6, 7	ifcld 4528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) ∈ ℝ)
9	1	rr3fv2cld 50948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑄‘2) ∈ ℝ)
10	9	resqcld 14268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2)↑2) ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2)↑2) ∈ ℝ)
12	11, 7	ifcld 4528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0) ∈ ℝ)
13	8, 12	readdcld 11338	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → (if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) ∈ ℝ)
14	1	rr3fv3cld 50949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑄‘3) ∈ ℝ)
15	14	resqcld 14268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3)↑2) ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3)↑2) ∈ ℝ)
17	16, 7	ifcld 4528	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0) ∈ ℝ)
18	13, 17	readdcld 11338	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) ∈ ℝ)
19	4, 9	remulcld 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)) ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)) ∈ ℝ)
21	20, 7	ifcld 4528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) ∈ ℝ)
22	9, 14	remulcld 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)) ∈ ℝ)
23	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)) ∈ ℝ)
24	23, 7	ifcld 4528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0) ∈ ℝ)
25	21, 24	readdcld 11338	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → (if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) ∈ ℝ)
26	14, 4	remulcld 11339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)) ∈ ℝ)
27	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)) ∈ ℝ)
28	27, 7	ifcld 4528	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0) ∈ ℝ)
29	25, 28	readdcld 11338	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0)) ∈ ℝ)
30	18, 29	readdcld 11338	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0))) ∈ ℝ)
31	30	fmpttd 7115	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0)))):(1...6)⟶ℝ)
32		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → 𝐾 ∈ (1...6))
33	31, 32	ffvelcdmd 7085	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0))))‘𝐾) ∈ ℝ)
34	3, 33	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((veronese‘𝑄)‘𝐾) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  5c5 12400  6c6 12401  ...cfz 13639  ↑cexp 14204  veronesecveronese 50968

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-exp 14205  df-veronese 50969

This theorem is used by:  veronesematbasd  50980  veronesematrowd  50981  veroquadgsumlem  50983  veroquadmodzerod  50984  veroquadnolindfd  50985  veroquaddetzerod  50986