Theorem veronesefvcl 51250

Description: Every coordinate of the Veronese map of a real 3-vector is real. (Contributed by Jiamin Zhao, 19-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
veronesefvcl	⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((veronese‘𝑄)‘𝐾) ∈ ℝ)

Proof of Theorem veronesefvcl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2	1	veronesevald 51249	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (veronese‘𝑄) = (𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0)))))
3	2	fveq1d 6907	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((veronese‘𝑄)‘𝐾) = ((𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0))))‘𝐾))
4	1	rr3fv1cld 51225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
5	4	resqcld 14292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1)↑2) ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1)↑2) ∈ ℝ)
7		0red 11335	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → 0 ∈ ℝ)
8	6, 7	ifcld 4532	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) ∈ ℝ)
9	1	rr3fv2cld 51226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑄‘2) ∈ ℝ)
10	9	resqcld 14292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2)↑2) ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2)↑2) ∈ ℝ)
12	11, 7	ifcld 4532	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0) ∈ ℝ)
13	8, 12	readdcld 11362	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → (if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) ∈ ℝ)
14	1	rr3fv3cld 51227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑄‘3) ∈ ℝ)
15	14	resqcld 14292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3)↑2) ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3)↑2) ∈ ℝ)
17	16, 7	ifcld 4532	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0) ∈ ℝ)
18	13, 17	readdcld 11362	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) ∈ ℝ)
19	4, 9	remulcld 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)) ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)) ∈ ℝ)
21	20, 7	ifcld 4532	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) ∈ ℝ)
22	9, 14	remulcld 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)) ∈ ℝ)
23	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)) ∈ ℝ)
24	23, 7	ifcld 4532	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0) ∈ ℝ)
25	21, 24	readdcld 11362	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → (if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) ∈ ℝ)
26	14, 4	remulcld 11363	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)) ∈ ℝ)
27	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)) ∈ ℝ)
28	27, 7	ifcld 4532	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0) ∈ ℝ)
29	25, 28	readdcld 11362	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0)) ∈ ℝ)
30	18, 29	readdcld 11362	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0))) ∈ ℝ)
31	30	fmpttd 7136	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0)))):(1...6)⟶ℝ)
32		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → 𝐾 ∈ (1...6))
33	31, 32	ffvelcdmd 7106	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0))))‘𝐾) ∈ ℝ)
34	3, 33	eqeltrd 2864	1 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((veronese‘𝑄)‘𝐾) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229  2c2 12421  3c3 12422  4c4 12423  5c5 12424  6c6 12425  ...cfz 13663  ↑cexp 14228  veronesecveronese 51246

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-seq 14169  df-exp 14229  df-veronese 51247

This theorem is used by:  veronesematbasd  51258  veronesematrowd  51259  veroquadgsumlem  51261  veroquadmodzerod  51262  veroquadnolindfd  51263  veroquaddetzerod  51264