Theorem veronesefvcl 50787

Description: Every coordinate of the Veronese map of a real 3-vector is real. (Contributed by Jiamin Zhao, 19-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
veronesefvcl	⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((veronese‘𝑄)‘𝐾) ∈ ℝ)

Proof of Theorem veronesefvcl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2	1	veronesevald 50786	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (veronese‘𝑄) = (𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0)))))
3	2	fveq1d 6884	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((veronese‘𝑄)‘𝐾) = ((𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0))))‘𝐾))
4	1	rr3fv1cld 50762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
5	4	resqcld 14189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1)↑2) ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1)↑2) ∈ ℝ)
7		0red 11236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → 0 ∈ ℝ)
8	6, 7	ifcld 4532	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) ∈ ℝ)
9	1	rr3fv2cld 50763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑄‘2) ∈ ℝ)
10	9	resqcld 14189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2)↑2) ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2)↑2) ∈ ℝ)
12	11, 7	ifcld 4532	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0) ∈ ℝ)
13	8, 12	readdcld 11263	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → (if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) ∈ ℝ)
14	1	rr3fv3cld 50764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑄‘3) ∈ ℝ)
15	14	resqcld 14189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3)↑2) ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3)↑2) ∈ ℝ)
17	16, 7	ifcld 4532	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0) ∈ ℝ)
18	13, 17	readdcld 11263	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) ∈ ℝ)
19	4, 9	remulcld 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)) ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)) ∈ ℝ)
21	20, 7	ifcld 4532	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) ∈ ℝ)
22	9, 14	remulcld 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)) ∈ ℝ)
23	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)) ∈ ℝ)
24	23, 7	ifcld 4532	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0) ∈ ℝ)
25	21, 24	readdcld 11263	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → (if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) ∈ ℝ)
26	14, 4	remulcld 11264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)) ∈ ℝ)
27	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)) ∈ ℝ)
28	27, 7	ifcld 4532	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0) ∈ ℝ)
29	25, 28	readdcld 11263	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0)) ∈ ℝ)
30	18, 29	readdcld 11263	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0))) ∈ ℝ)
31	30	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0)))):(1...6)⟶ℝ)
32		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → 𝐾 ∈ (1...6))
33	31, 32	ffvelcdmd 7081	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0))))‘𝐾) ∈ ℝ)
34	3, 33	eqeltrd 2862	1 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((veronese‘𝑄)‘𝐾) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8829  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130  2c2 12320  3c3 12321  4c4 12322  5c5 12323  6c6 12324  ...cfz 13561  ↑cexp 14125  veronesecveronese 50783

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-veronese 50784

This theorem is used by:  veronesematbasd  50795  veronesematrowd  50796  veroquadgsumlem  50798  veroquadmodzerod  50799  veroquadnolindfd  50800  veroquaddetzerod  50801