Theorem veronesefvcl 50870

Description: Every coordinate of the Veronese map of a real 3-vector is real. (Contributed by Jiamin Zhao, 19-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
veronesefvcl	⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((veronese‘𝑄)‘𝐾) ∈ ℝ)

Proof of Theorem veronesefvcl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
2	1	veronesevald 50869	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (veronese‘𝑄) = (𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0)))))
3	2	fveq1d 6883	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((veronese‘𝑄)‘𝐾) = ((𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0))))‘𝐾))
4	1	rr3fv1cld 50845	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
5	4	resqcld 14214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1)↑2) ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1)↑2) ∈ ℝ)
7		0red 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → 0 ∈ ℝ)
8	6, 7	ifcld 4529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) ∈ ℝ)
9	1	rr3fv2cld 50846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑄‘2) ∈ ℝ)
10	9	resqcld 14214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2)↑2) ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2)↑2) ∈ ℝ)
12	11, 7	ifcld 4529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0) ∈ ℝ)
13	8, 12	readdcld 11287	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → (if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) ∈ ℝ)
14	1	rr3fv3cld 50847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑄‘3) ∈ ℝ)
15	14	resqcld 14214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3)↑2) ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3)↑2) ∈ ℝ)
17	16, 7	ifcld 4529	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0) ∈ ℝ)
18	13, 17	readdcld 11287	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) ∈ ℝ)
19	4, 9	remulcld 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)) ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)) ∈ ℝ)
21	20, 7	ifcld 4529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) ∈ ℝ)
22	9, 14	remulcld 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)) ∈ ℝ)
23	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)) ∈ ℝ)
24	23, 7	ifcld 4529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0) ∈ ℝ)
25	21, 24	readdcld 11287	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → (if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) ∈ ℝ)
26	14, 4	remulcld 11288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)) ∈ ℝ)
27	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)) ∈ ℝ)
28	27, 7	ifcld 4529	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0) ∈ ℝ)
29	25, 28	readdcld 11287	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0)) ∈ ℝ)
30	18, 29	readdcld 11287	. . . 4 ⊢ (((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) ∧ 𝑘 ∈ (1...6)) → (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0))) ∈ ℝ)
31	30	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → (𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0)))):(1...6)⟶ℝ)
32		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → 𝐾 ∈ (1...6))
33	31, 32	ffvelcdmd 7081	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((𝑘 ∈ (1...6) ↦ (((if(𝑘 = 1, ((𝑄‘1)↑2), 0) + if(𝑘 = 2, ((𝑄‘2)↑2), 0)) + if(𝑘 = 3, ((𝑄‘3)↑2), 0)) + ((if(𝑘 = 4, ((𝑄‘1) · (𝑄‘2)), 0) + if(𝑘 = 5, ((𝑄‘2) · (𝑄‘3)), 0)) + if(𝑘 = 6, ((𝑄‘3) · (𝑄‘1)), 0))))‘𝐾) ∈ ℝ)
34	3, 33	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝑄 ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝐾 ∈ (1...6)) → ((veronese‘𝑄)‘𝐾) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8833  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154  2c2 12344  3c3 12345  4c4 12346  5c5 12347  6c6 12348  ...cfz 13586  ↑cexp 14150  veronesecveronese 50866

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-seq 14091  df-exp 14151  df-veronese 50867

This theorem is used by:  veronesematbasd  50878  veronesematrowd  50879  veroquadgsumlem  50881  veroquadmodzerod  50882  veroquadnolindfd  50883  veroquaddetzerod  50884