Theorem veronesematbasd 50795

Description: The matrix whose 𝑖-th row is the Veronese image of 𝐴‘𝑖 belongs to the base set of (1...6) Mat ℝ_fld. (Contributed by Jiamin Zhao, 19-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
veronesemat.a	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
veronesemat.f	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
veronesematbasd	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem veronesematbasd

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		veronesemat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
2		2fveq3 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → (veronese‘(𝐴‘𝑖)) = (veronese‘(𝐴‘𝑢)))
3	2	fveq1d 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗))
4		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑣 → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
5	3, 4	cbvmpov 7511	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗)) = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
6	1, 5	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣)))
8		veronesemat.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...6) ∧ 𝑣 ∈ (1...6))) → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
10		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...6) ∧ 𝑣 ∈ (1...6))) → 𝑢 ∈ (1...6))
11	9, 10	ffvelcdmd 7081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...6) ∧ 𝑣 ∈ (1...6))) → (𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
12		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...6) ∧ 𝑣 ∈ (1...6))) → 𝑣 ∈ (1...6))
13		veronesefvcl 50787	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝑣 ∈ (1...6)) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...6) ∧ 𝑣 ∈ (1...6))) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
15	7, 14	fmpod 8073	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
16		reex 11216	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
17		ovex 7449	. . . . 5 ⊢ (1...6) ∈ V
18		sqxpexg 7757	. . . . 5 ⊢ ((1...6) ∈ V → ((1...6) × (1...6)) ∈ V)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((1...6) × (1...6)) ∈ V
20	16, 19	elmap 8881	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) ↔ 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
21	15, 20	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))))
22		fzfi 14036	. . 3 ⊢ (1...6) ∈ Fin
23		refld 21831	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Field
24	23	elexi 3475	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ V
25		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((1...6) Mat ℝfld) = ((1...6) Mat ℝfld)
26		rebase 21818	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
27	25, 26	matbas2 22642	. . 3 ⊢ (((1...6) ∈ Fin ∧ ℝfld ∈ V) → (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
28	22, 24, 27	mp2an 705	. 2 ⊢ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld))
29	21, 28	eleqtrdi 2872	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  ℝcr 11124  1c1 11126  3c3 12321  6c6 12324  ...cfz 13561  Basecbs 17303  Fieldcfield 20890  ℝ_fldcrefld 21816   Mat cmat 22628  veronesecveronese 50783

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-subg 19245  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-drng 20891  df-field 20892  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-cnfld 21585  df-refld 21817  df-dsmm 21944  df-frlm 21959  df-mat 22629  df-veronese 50784

This theorem is used by:  veroquaddetzerod  50801