Theorem veronesematbasd 50878

Description: The matrix whose 𝑖-th row is the Veronese image of 𝐴‘𝑖 belongs to the base set of (1...6) Mat ℝ_fld. (Contributed by Jiamin Zhao, 19-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
veronesemat.a	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
veronesemat.f	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))

Assertion

Ref	Expression
veronesematbasd	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem veronesematbasd

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		veronesemat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
2		2fveq3 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → (veronese‘(𝐴‘𝑖)) = (veronese‘(𝐴‘𝑢)))
3	2	fveq1d 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗))
4		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑣 → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
5	3, 4	cbvmpov 7511	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗)) = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
6	1, 5	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣)))
8		veronesemat.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...6) ∧ 𝑣 ∈ (1...6))) → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
10		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...6) ∧ 𝑣 ∈ (1...6))) → 𝑢 ∈ (1...6))
11	9, 10	ffvelcdmd 7081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...6) ∧ 𝑣 ∈ (1...6))) → (𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
12		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...6) ∧ 𝑣 ∈ (1...6))) → 𝑣 ∈ (1...6))
13		veronesefvcl 50870	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝑣 ∈ (1...6)) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (1...6) ∧ 𝑣 ∈ (1...6))) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
15	7, 14	fmpod 8075	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
16		reex 11240	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
17		ovex 7449	. . . . 5 ⊢ (1...6) ∈ V
18		sqxpexg 7760	. . . . 5 ⊢ ((1...6) ∈ V → ((1...6) × (1...6)) ∈ V)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((1...6) × (1...6)) ∈ V
20	16, 19	elmap 8885	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) ↔ 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
21	15, 20	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))))
22		fzfi 14061	. . 3 ⊢ (1...6) ∈ Fin
23		refld 21864	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ Field
24	23	elexi 3472	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ V
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((1...6) Mat ℝfld) = ((1...6) Mat ℝfld)
26		rebase 21851	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
27	25, 26	matbas2 22675	. . 3 ⊢ (((1...6) ∈ Fin ∧ ℝfld ∈ V) → (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
28	22, 24, 27	mp2an 705	. 2 ⊢ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld))
29	21, 28	eleqtrdi 2870	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   × cxp 5653  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8959  ℝcr 11148  1c1 11150  3c3 12345  6c6 12348  ...cfz 13586  Basecbs 17326  Fieldcfield 20920  ℝ_fldcrefld 21849   Mat cmat 22661  veronesecveronese 50866

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-addf 11228

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-sup 9419  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-fz 13587  df-seq 14091  df-exp 14151  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-0g 17551  df-prds 17557  df-pws 17559  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-subg 19272  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-cring 20401  df-oppr 20506  df-dvdsr 20526  df-unit 20527  df-invr 20557  df-dvr 20570  df-subrng 20737  df-subrg 20761  df-drng 20921  df-field 20922  df-sra 21387  df-rgmod 21388  df-cnfld 21618  df-refld 21850  df-dsmm 21977  df-frlm 21992  df-mat 22662  df-veronese 50867

This theorem is used by:  veroquaddetzerod  50884