Theorem veroquaddetzerod 51264

Description: The Veronese matrix of six points satisfying a common nonzero homogeneous quadratic equation has determinant zero. (Contributed by Jiamin Zhao, 27-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
veroquad.a	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
veroquad.f	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
veroquad.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...6)⟶ℝ)
veroquad.q	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...6)) → (((((𝐾‘1) · (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2)) + ((𝐾‘2) · (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2))) + ((𝐾‘3) · (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2))) + ((((𝐾‘4) · (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2))) + ((𝐾‘5) · (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)))) + ((𝐾‘6) · (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))) = 0)
veroquadnolindf.n	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ((1...6) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
veroquaddetzerod	⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝜑,𝑖   𝑖,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐾(𝑗)

Proof of Theorem veroquaddetzerod

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21952	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 21020	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	1, 2	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
4	3	simpri 491	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ CRing
5		veroquad.a	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
6		veroquad.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
7	5, 6	veronesematbasd 51258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((1...6) maDet ℝfld) = ((1...6) maDet ℝfld)
9		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((1...6) Mat ℝfld) = ((1...6) Mat ℝfld)
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld))
11		rebase 21939	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
12	8, 9, 10, 11	mdetcl 22938	. . . . 5 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ)
13	4, 7, 12	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ)
14	8, 9, 10	mdettpos 22953	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) = (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉))
15	4, 7, 14	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) = (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉))
16		veroquad.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...6)⟶ℝ)
17		veroquad.q	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...6)) → (((((𝐾‘1) · (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2)) + ((𝐾‘2) · (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2))) + ((𝐾‘3) · (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2))) + ((((𝐾‘4) · (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2))) + ((𝐾‘5) · (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)))) + ((𝐾‘6) · (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))) = 0)
18		veroquadnolindf.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ((1...6) × {0}))
19	5, 6, 16, 17, 18	veroquadnolindfd 51263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6)))
20		2fveq3 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → (veronese‘(𝐴‘𝑖)) = (veronese‘(𝐴‘𝑢)))
21	20	fveq1d 6907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗))
22		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑣 → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
23	21, 22	cbvmpov 7535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗)) = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
24	5, 23	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
25	24	tposmpo 8305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ tpos 𝑉 = (𝑣 ∈ (1...6), 𝑢 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 = (𝑣 ∈ (1...6), 𝑢 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣)))
27	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
28		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝑢 ∈ (1...6))
29	27, 28	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → (𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
30		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝑣 ∈ (1...6))
31		veronesefvcl 51250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝑣 ∈ (1...6)) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
32	29, 30, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
33	26, 32	fmpod 8106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
34		reex 11315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
35		ovex 7473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...6) ∈ V
36		sqxpexg 7790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1...6) ∈ V → ((1...6) × (1...6)) ∈ V)
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...6) × (1...6)) ∈ V
38	34, 37	elmap 8924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (tpos 𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) ↔ tpos 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
39	33, 38	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))))
40		fzfi 14139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...6) ∈ Fin
41	1	elexi 3476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝfld ∈ V
42	9, 11	matbas2 22763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...6) ∈ Fin ∧ ℝfld ∈ V) → (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
43	40, 41, 42	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld))
44	39, 43	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
45		matunitlindf 23023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝfld ∈ Field ∧ tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6))))
46	1, 44, 45	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6))))
47	19, 46	mtbird 328	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)))
48		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) = (Unit‘((1...6) Mat ℝfld))
49		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘ℝfld) = (Unit‘ℝfld)
50	9, 8, 10, 48, 49	matunit 23020	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld)))
51	4, 44, 50	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld)))
52	47, 51	mtbid 327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld))
53	15, 52	eqneltrrd 2885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld))
54	3	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
55		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘ℝfld) = (0g‘ℝfld)
56	11, 49, 55	drngunit 21012	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))))
57	54, 56	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))))
58	53, 57	mtbid 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld)))
59	13, 58	mpnanrd 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))
60		nne 2963	. . 3 ⊢ (¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = (0g‘ℝfld))
61	59, 60	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = (0g‘ℝfld))
62		re0g 21945	. 2 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)
63	61, 62	eqtr4di 2816	1 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  {csn 4588   class class class wbr 5106   × cxp 5653  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∈ cmpo 7442  tpos ctpos 8267  curry ccur 8307   ↑_m cmap 8872  Fincfn 8998  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229  2c2 12421  3c3 12422  4c4 12423  5c5 12424  6c6 12425  ...cfz 13663  ↑cexp 14228  Basecbs 17413  0_gc0g 17636  CRingccrg 20487  Unitcui 20612  DivRingcdr 21007  Fieldcfield 21008  ℝ_fldcrefld 21937   freeLMod cfrlm 22079   LIndF clindf 22137   Mat cmat 22749   maDet cmdat 22926  veronesecveronese 51246

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-tpos 8268  df-cur 8309  df-unc 8310  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-word 14683  df-lsw 14732  df-concat 14740  df-s1 14767  df-substr 14814  df-pfx 14846  df-splice 14924  df-reverse 14933  df-s2 15024  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-mri 17784  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-efmnd 19091  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-gim 19499  df-cntz 19558  df-oppg 19587  df-symg 19611  df-pmtr 19683  df-psgn 19732  df-evpm 19733  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-srg 20440  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-dvr 20658  df-rhm 20729  df-nzr 20790  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-drng 21009  df-field 21010  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-lmhm 21324  df-lbs 21377  df-lvec 21405  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-cnfld 21706  df-zring 21780  df-zrh 21836  df-refld 21938  df-dsmm 22065  df-frlm 22080  df-uvc 22116  df-lindf 22139  df-linds 22140  df-assa 22188  df-mamu 22733  df-mat 22750  df-mdet 22927  df-madu 22976  df-veronese 51247

This theorem is used by: (None)