Theorem veroquaddetzerod 50801

Description: The Veronese matrix of six points satisfying a common nonzero homogeneous quadratic equation has determinant zero. (Contributed by Jiamin Zhao, 27-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
veroquad.a	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
veroquad.f	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
veroquad.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...6)⟶ℝ)
veroquad.q	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...6)) → (((((𝐾‘1) · (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2)) + ((𝐾‘2) · (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2))) + ((𝐾‘3) · (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2))) + ((((𝐾‘4) · (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2))) + ((𝐾‘5) · (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)))) + ((𝐾‘6) · (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))) = 0)
veroquadnolindf.n	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ((1...6) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
veroquaddetzerod	⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝜑,𝑖   𝑖,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐾(𝑗)

Proof of Theorem veroquaddetzerod

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21831	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 20902	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	1, 2	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
4	3	simpri 491	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ CRing
5		veroquad.a	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
6		veroquad.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
7	5, 6	veronesematbasd 50795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
8		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ((1...6) maDet ℝfld) = ((1...6) maDet ℝfld)
9		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ((1...6) Mat ℝfld) = ((1...6) Mat ℝfld)
10		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld))
11		rebase 21818	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
12	8, 9, 10, 11	mdetcl 22817	. . . . 5 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ)
13	4, 7, 12	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ)
14	8, 9, 10	mdettpos 22832	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) = (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉))
15	4, 7, 14	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) = (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉))
16		veroquad.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...6)⟶ℝ)
17		veroquad.q	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...6)) → (((((𝐾‘1) · (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2)) + ((𝐾‘2) · (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2))) + ((𝐾‘3) · (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2))) + ((((𝐾‘4) · (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2))) + ((𝐾‘5) · (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)))) + ((𝐾‘6) · (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))) = 0)
18		veroquadnolindf.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ((1...6) × {0}))
19	5, 6, 16, 17, 18	veroquadnolindfd 50800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6)))
20		2fveq3 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → (veronese‘(𝐴‘𝑖)) = (veronese‘(𝐴‘𝑢)))
21	20	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗))
22		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑣 → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
23	21, 22	cbvmpov 7511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗)) = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
24	5, 23	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
25	24	tposmpo 8264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ tpos 𝑉 = (𝑣 ∈ (1...6), 𝑢 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 = (𝑣 ∈ (1...6), 𝑢 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣)))
27	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
28		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝑢 ∈ (1...6))
29	27, 28	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → (𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
30		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝑣 ∈ (1...6))
31		veronesefvcl 50787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝑣 ∈ (1...6)) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
32	29, 30, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
33	26, 32	fmpod 8073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
34		reex 11216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
35		ovex 7449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...6) ∈ V
36		sqxpexg 7757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1...6) ∈ V → ((1...6) × (1...6)) ∈ V)
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...6) × (1...6)) ∈ V
38	34, 37	elmap 8881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (tpos 𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) ↔ tpos 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
39	33, 38	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))))
40		fzfi 14036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...6) ∈ Fin
41	1	elexi 3475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝfld ∈ V
42	9, 11	matbas2 22642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...6) ∈ Fin ∧ ℝfld ∈ V) → (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
43	40, 41, 42	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld))
44	39, 43	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
45		matunitlindf 22902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝfld ∈ Field ∧ tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6))))
46	1, 44, 45	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6))))
47	19, 46	mtbird 328	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)))
48		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) = (Unit‘((1...6) Mat ℝfld))
49		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘ℝfld) = (Unit‘ℝfld)
50	9, 8, 10, 48, 49	matunit 22899	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld)))
51	4, 44, 50	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld)))
52	47, 51	mtbid 327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld))
53	15, 52	eqneltrrd 2883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld))
54	3	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
55		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘ℝfld) = (0g‘ℝfld)
56	11, 49, 55	drngunit 20894	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))))
57	54, 56	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))))
58	53, 57	mtbid 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld)))
59	13, 58	mpnanrd 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))
60		nne 2961	. . 3 ⊢ (¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = (0g‘ℝfld))
61	59, 60	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = (0g‘ℝfld))
62		re0g 21824	. 2 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)
63	61, 62	eqtr4di 2815	1 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  Vcvv 3453  {csn 4587   class class class wbr 5107   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  tpos ctpos 8226  curry ccur 8266   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130  2c2 12320  3c3 12321  4c4 12322  5c5 12323  6c6 12324  ...cfz 13561  ↑cexp 14125  Basecbs 17303  0_gc0g 17526  CRingccrg 20372  Unitcui 20495  DivRingcdr 20889  Fieldcfield 20890  ℝ_fldcrefld 21816   freeLMod cfrlm 21958   LIndF clindf 22016   Mat cmat 22628   maDet cmdat 22805  veronesecveronese 50783

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-addf 11204  ax-mulf 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-cur 8268  df-unc 8269  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-word 14579  df-lsw 14628  df-concat 14636  df-s1 14663  df-substr 14709  df-pfx 14741  df-splice 14819  df-reverse 14828  df-s2 14919  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-mri 17674  df-acs 17675  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18890  df-submnd 18891  df-efmnd 18977  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-ghm 19340  df-gim 19385  df-cntz 19443  df-oppg 19472  df-symg 19496  df-pmtr 19568  df-psgn 19617  df-evpm 19618  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-srg 20325  df-ring 20373  df-cring 20374  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-rhm 20612  df-nzr 20672  df-subrng 20707  df-subrg 20731  df-drng 20891  df-field 20892  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-lmhm 21205  df-lbs 21258  df-lvec 21286  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-cnfld 21585  df-zring 21659  df-zrh 21715  df-refld 21817  df-dsmm 21944  df-frlm 21959  df-uvc 21995  df-lindf 22018  df-linds 22019  df-assa 22067  df-mamu 22612  df-mat 22629  df-mdet 22806  df-madu 22855  df-veronese 50784

This theorem is used by: (None)