Theorem veroquaddetzerod 50986

Description: The Veronese matrix of six points satisfying a common nonzero homogeneous quadratic equation has determinant zero. (Contributed by Jiamin Zhao, 27-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
veroquad.a	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
veroquad.f	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
veroquad.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...6)⟶ℝ)
veroquad.q	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...6)) → (((((𝐾‘1) · (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2)) + ((𝐾‘2) · (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2))) + ((𝐾‘3) · (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2))) + ((((𝐾‘4) · (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2))) + ((𝐾‘5) · (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)))) + ((𝐾‘6) · (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))) = 0)
veroquadnolindf.n	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ((1...6) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
veroquaddetzerod	⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝜑,𝑖   𝑖,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐾(𝑗)

Proof of Theorem veroquaddetzerod

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21925	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 20993	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	1, 2	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
4	3	simpri 491	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ CRing
5		veroquad.a	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
6		veroquad.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
7	5, 6	veronesematbasd 50980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((1...6) maDet ℝfld) = ((1...6) maDet ℝfld)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((1...6) Mat ℝfld) = ((1...6) Mat ℝfld)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld))
11		rebase 21912	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
12	8, 9, 10, 11	mdetcl 22911	. . . . 5 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ)
13	4, 7, 12	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ)
14	8, 9, 10	mdettpos 22926	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) = (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉))
15	4, 7, 14	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) = (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉))
16		veroquad.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...6)⟶ℝ)
17		veroquad.q	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...6)) → (((((𝐾‘1) · (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2)) + ((𝐾‘2) · (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2))) + ((𝐾‘3) · (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2))) + ((((𝐾‘4) · (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2))) + ((𝐾‘5) · (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)))) + ((𝐾‘6) · (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))) = 0)
18		veroquadnolindf.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ((1...6) × {0}))
19	5, 6, 16, 17, 18	veroquadnolindfd 50985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6)))
20		2fveq3 6890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → (veronese‘(𝐴‘𝑖)) = (veronese‘(𝐴‘𝑢)))
21	20	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗))
22		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑣 → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
23	21, 22	cbvmpov 7515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗)) = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
24	5, 23	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
25	24	tposmpo 8280	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ tpos 𝑉 = (𝑣 ∈ (1...6), 𝑢 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 = (𝑣 ∈ (1...6), 𝑢 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣)))
27	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
28		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝑢 ∈ (1...6))
29	27, 28	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → (𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
30		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝑣 ∈ (1...6))
31		veronesefvcl 50972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝑣 ∈ (1...6)) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
32	29, 30, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
33	26, 32	fmpod 8084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
34		reex 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
35		ovex 7453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...6) ∈ V
36		sqxpexg 7769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1...6) ∈ V → ((1...6) × (1...6)) ∈ V)
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...6) × (1...6)) ∈ V
38	34, 37	elmap 8899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (tpos 𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) ↔ tpos 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
39	33, 38	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))))
40		fzfi 14115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...6) ∈ Fin
41	1	elexi 3472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝfld ∈ V
42	9, 11	matbas2 22736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...6) ∈ Fin ∧ ℝfld ∈ V) → (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
43	40, 41, 42	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld))
44	39, 43	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
45		matunitlindf 22996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝfld ∈ Field ∧ tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6))))
46	1, 44, 45	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6))))
47	19, 46	mtbird 328	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)))
48		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) = (Unit‘((1...6) Mat ℝfld))
49		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘ℝfld) = (Unit‘ℝfld)
50	9, 8, 10, 48, 49	matunit 22993	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld)))
51	4, 44, 50	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld)))
52	47, 51	mtbid 327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld))
53	15, 52	eqneltrrd 2881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld))
54	3	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
55		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘ℝfld) = (0g‘ℝfld)
56	11, 49, 55	drngunit 20985	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))))
57	54, 56	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))))
58	53, 57	mtbid 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld)))
59	13, 58	mpnanrd 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))
60		nne 2959	. . 3 ⊢ (¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = (0g‘ℝfld))
61	59, 60	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = (0g‘ℝfld))
62		re0g 21918	. 2 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)
63	61, 62	eqtr4di 2813	1 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  {csn 4583   class class class wbr 5102   × cxp 5648  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  tpos ctpos 8242  curry ccur 8282   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  5c5 12400  6c6 12401  ...cfz 13639  ↑cexp 14204  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  CRingccrg 20460  Unitcui 20585  DivRingcdr 20980  Fieldcfield 20981  ℝ_fldcrefld 21910   freeLMod cfrlm 22052   LIndF clindf 22110   Mat cmat 22722   maDet cmdat 22899  veronesecveronese 50968

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-cur 8284  df-unc 8285  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-splice 14899  df-reverse 14908  df-s2 14999  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-mri 17758  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-efmnd 19065  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-gim 19473  df-cntz 19531  df-oppg 19560  df-symg 19584  df-pmtr 19656  df-psgn 19705  df-evpm 19706  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-srg 20413  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-nzr 20763  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-field 20983  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lmhm 21297  df-lbs 21350  df-lvec 21378  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-refld 21911  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-uvc 22089  df-lindf 22112  df-linds 22113  df-assa 22161  df-mamu 22706  df-mat 22723  df-mdet 22900  df-madu 22949  df-veronese 50969

This theorem is used by: (None)