Theorem veroquaddetzerod 50819

Description: The Veronese matrix of six points satisfying a common nonzero homogeneous quadratic equation has determinant zero. (Contributed by Jiamin Zhao, 27-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
veroquad.a	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
veroquad.f	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
veroquad.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...6)⟶ℝ)
veroquad.q	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...6)) → (((((𝐾‘1) · (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2)) + ((𝐾‘2) · (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2))) + ((𝐾‘3) · (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2))) + ((((𝐾‘4) · (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2))) + ((𝐾‘5) · (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)))) + ((𝐾‘6) · (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))) = 0)
veroquadnolindf.n	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ((1...6) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
veroquaddetzerod	⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝜑,𝑖   𝑖,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐾(𝑗)

Proof of Theorem veroquaddetzerod

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21832	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 20903	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	1, 2	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
4	3	simpri 491	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ CRing
5		veroquad.a	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
6		veroquad.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
7	5, 6	veronesematbasd 50813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((1...6) maDet ℝfld) = ((1...6) maDet ℝfld)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((1...6) Mat ℝfld) = ((1...6) Mat ℝfld)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld))
11		rebase 21819	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
12	8, 9, 10, 11	mdetcl 22818	. . . . 5 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ)
13	4, 7, 12	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ)
14	8, 9, 10	mdettpos 22833	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) = (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉))
15	4, 7, 14	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) = (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉))
16		veroquad.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...6)⟶ℝ)
17		veroquad.q	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...6)) → (((((𝐾‘1) · (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2)) + ((𝐾‘2) · (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2))) + ((𝐾‘3) · (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2))) + ((((𝐾‘4) · (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2))) + ((𝐾‘5) · (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)))) + ((𝐾‘6) · (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))) = 0)
18		veroquadnolindf.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ((1...6) × {0}))
19	5, 6, 16, 17, 18	veroquadnolindfd 50818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6)))
20		2fveq3 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → (veronese‘(𝐴‘𝑖)) = (veronese‘(𝐴‘𝑢)))
21	20	fveq1d 6880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗))
22		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑣 → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
23	21, 22	cbvmpov 7508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗)) = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
24	5, 23	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
25	24	tposmpo 8261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ tpos 𝑉 = (𝑣 ∈ (1...6), 𝑢 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 = (𝑣 ∈ (1...6), 𝑢 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣)))
27	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
28		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝑢 ∈ (1...6))
29	27, 28	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → (𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
30		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝑣 ∈ (1...6))
31		veronesefvcl 50805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝑣 ∈ (1...6)) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
32	29, 30, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
33	26, 32	fmpod 8070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
34		reex 11215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
35		ovex 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...6) ∈ V
36		sqxpexg 7754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1...6) ∈ V → ((1...6) × (1...6)) ∈ V)
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...6) × (1...6)) ∈ V
38	34, 37	elmap 8878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (tpos 𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) ↔ tpos 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
39	33, 38	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))))
40		fzfi 14036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...6) ∈ Fin
41	1	elexi 3472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝfld ∈ V
42	9, 11	matbas2 22643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...6) ∈ Fin ∧ ℝfld ∈ V) → (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
43	40, 41, 42	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld))
44	39, 43	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
45		matunitlindf 22903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝfld ∈ Field ∧ tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6))))
46	1, 44, 45	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6))))
47	19, 46	mtbird 328	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)))
48		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) = (Unit‘((1...6) Mat ℝfld))
49		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘ℝfld) = (Unit‘ℝfld)
50	9, 8, 10, 48, 49	matunit 22900	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld)))
51	4, 44, 50	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld)))
52	47, 51	mtbid 327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld))
53	15, 52	eqneltrrd 2881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld))
54	3	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
55		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘ℝfld) = (0g‘ℝfld)
56	11, 49, 55	drngunit 20895	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))))
57	54, 56	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))))
58	53, 57	mtbid 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld)))
59	13, 58	mpnanrd 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))
60		nne 2959	. . 3 ⊢ (¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = (0g‘ℝfld))
61	59, 60	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = (0g‘ℝfld))
62		re0g 21825	. 2 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)
63	61, 62	eqtr4di 2813	1 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5653  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  tpos ctpos 8223  curry ccur 8263   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8952  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  ...cfz 13561  ↑cexp 14125  Basecbs 17301  0_gc0g 17524  CRingccrg 20373  Unitcui 20496  DivRingcdr 20890  Fieldcfield 20891  ℝ_fldcrefld 21817   freeLMod cfrlm 21959   LIndF clindf 22017   Mat cmat 22629   maDet cmdat 22806  veronesecveronese 50801

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-cur 8265  df-unc 8266  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-word 14579  df-lsw 14628  df-concat 14636  df-s1 14663  df-substr 14709  df-pfx 14741  df-splice 14819  df-reverse 14828  df-s2 14919  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-mri 17672  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-efmnd 18978  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-gim 19386  df-cntz 19444  df-oppg 19473  df-symg 19497  df-pmtr 19569  df-psgn 19618  df-evpm 19619  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-srg 20326  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-dvr 20542  df-rhm 20613  df-nzr 20673  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-drng 20892  df-field 20893  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-lsp 21156  df-lmhm 21206  df-lbs 21259  df-lvec 21287  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-cnfld 21586  df-zring 21660  df-zrh 21716  df-refld 21818  df-dsmm 21945  df-frlm 21960  df-uvc 21996  df-lindf 22019  df-linds 22020  df-assa 22068  df-mamu 22613  df-mat 22630  df-mdet 22807  df-madu 22856  df-veronese 50802

This theorem is used by: (None)