Theorem veroquaddetzerod 50884

Description: The Veronese matrix of six points satisfying a common nonzero homogeneous quadratic equation has determinant zero. (Contributed by Jiamin Zhao, 27-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
veroquad.a	⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
veroquad.f	⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
veroquad.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...6)⟶ℝ)
veroquad.q	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...6)) → (((((𝐾‘1) · (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2)) + ((𝐾‘2) · (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2))) + ((𝐾‘3) · (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2))) + ((((𝐾‘4) · (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2))) + ((𝐾‘5) · (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)))) + ((𝐾‘6) · (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))) = 0)
veroquadnolindf.n	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ((1...6) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
veroquaddetzerod	⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑉,𝑗   𝜑,𝑖   𝑖,𝐾

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐾(𝑗)

Proof of Theorem veroquaddetzerod

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refld 21864	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld ∈ Field
2		isfld 20932	. . . . . . 7 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
3	1, 2	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
4	3	simpri 491	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ CRing
5		veroquad.a	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗))
6		veroquad.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
7	5, 6	veronesematbasd 50878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((1...6) maDet ℝfld) = ((1...6) maDet ℝfld)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((1...6) Mat ℝfld) = ((1...6) Mat ℝfld)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld))
11		rebase 21851	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
12	8, 9, 10, 11	mdetcl 22850	. . . . 5 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ)
13	4, 7, 12	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ)
14	8, 9, 10	mdettpos 22865	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) = (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉))
15	4, 7, 14	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) = (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉))
16		veroquad.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾:(1...6)⟶ℝ)
17		veroquad.q	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...6)) → (((((𝐾‘1) · (((𝐴‘𝑖)‘1)↑2)) + ((𝐾‘2) · (((𝐴‘𝑖)‘2)↑2))) + ((𝐾‘3) · (((𝐴‘𝑖)‘3)↑2))) + ((((𝐾‘4) · (((𝐴‘𝑖)‘1) · ((𝐴‘𝑖)‘2))) + ((𝐾‘5) · (((𝐴‘𝑖)‘2) · ((𝐴‘𝑖)‘3)))) + ((𝐾‘6) · (((𝐴‘𝑖)‘3) · ((𝐴‘𝑖)‘1))))) = 0)
18		veroquadnolindf.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ((1...6) × {0}))
19	5, 6, 16, 17, 18	veroquadnolindfd 50883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6)))
20		2fveq3 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → (veronese‘(𝐴‘𝑖)) = (veronese‘(𝐴‘𝑢)))
21	20	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑢 → ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗))
22		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑣 → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑗) = ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
23	21, 22	cbvmpov 7511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1...6), 𝑗 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑖))‘𝑗)) = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
24	5, 23	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (𝑢 ∈ (1...6), 𝑣 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
25	24	tposmpo 8266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ tpos 𝑉 = (𝑣 ∈ (1...6), 𝑢 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 = (𝑣 ∈ (1...6), 𝑢 ∈ (1...6) ↦ ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣)))
27	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝐴:(1...6)⟶(ℝ ↑m (1...3)))
28		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝑢 ∈ (1...6))
29	27, 28	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → (𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)))
30		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → 𝑣 ∈ (1...6))
31		veronesefvcl 50870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴‘𝑢) ∈ (ℝ ↑m (1...3)) ∧ 𝑣 ∈ (1...6)) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
32	29, 30, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (1...6) ∧ 𝑢 ∈ (1...6))) → ((veronese‘(𝐴‘𝑢))‘𝑣) ∈ ℝ)
33	26, 32	fmpod 8075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
34		reex 11240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
35		ovex 7449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1...6) ∈ V
36		sqxpexg 7760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1...6) ∈ V → ((1...6) × (1...6)) ∈ V)
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...6) × (1...6)) ∈ V
38	34, 37	elmap 8885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (tpos 𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) ↔ tpos 𝑉:((1...6) × (1...6))⟶ℝ)
39	33, 38	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 ∈ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))))
40		fzfi 14061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...6) ∈ Fin
41	1	elexi 3472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝfld ∈ V
42	9, 11	matbas2 22675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1...6) ∈ Fin ∧ ℝfld ∈ V) → (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
43	40, 41, 42	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ↑m ((1...6) × (1...6))) = (Base‘((1...6) Mat ℝfld))
44	39, 43	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld)))
45		matunitlindf 22935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝfld ∈ Field ∧ tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6))))
46	1, 44, 45	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ curry tpos 𝑉 LIndF (ℝfld freeLMod (1...6))))
47	19, 46	mtbird 328	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)))
48		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) = (Unit‘((1...6) Mat ℝfld))
49		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘ℝfld) = (Unit‘ℝfld)
50	9, 8, 10, 48, 49	matunit 22932	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝfld ∈ CRing ∧ tpos 𝑉 ∈ (Base‘((1...6) Mat ℝfld))) → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld)))
51	4, 44, 50	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑉 ∈ (Unit‘((1...6) Mat ℝfld)) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld)))
52	47, 51	mtbid 327	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘tpos 𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld))
53	15, 52	eqneltrrd 2881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld))
54	3	simpli 489	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
55		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘ℝfld) = (0g‘ℝfld)
56	11, 49, 55	drngunit 20924	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))))
57	54, 56	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))))
58	53, 57	mtbid 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ∈ ℝ ∧ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld)))
59	13, 58	mpnanrd 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld))
60		nne 2959	. . 3 ⊢ (¬ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) ≠ (0g‘ℝfld) ↔ (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = (0g‘ℝfld))
61	59, 60	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = (0g‘ℝfld))
62		re0g 21857	. 2 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)
63	61, 62	eqtr4di 2813	1 ⊢ (𝜑 → (((1...6) maDet ℝfld)‘𝑉) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5653  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418  tpos ctpos 8228  curry ccur 8268   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8959  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154  2c2 12344  3c3 12345  4c4 12346  5c5 12347  6c6 12348  ...cfz 13586  ↑cexp 14150  Basecbs 17326  0_gc0g 17549  CRingccrg 20399  Unitcui 20524  DivRingcdr 20919  Fieldcfield 20920  ℝ_fldcrefld 21849   freeLMod cfrlm 21991   LIndF clindf 22049   Mat cmat 22661   maDet cmdat 22838  veronesecveronese 50866

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-addf 11228  ax-mulf 11229

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-tpos 8229  df-cur 8270  df-unc 8271  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-sup 9419  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-xnn0 12627  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-rp 13068  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-seq 14091  df-exp 14151  df-hash 14420  df-word 14604  df-lsw 14653  df-concat 14661  df-s1 14688  df-substr 14734  df-pfx 14766  df-splice 14844  df-reverse 14853  df-s2 14944  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-prds 17557  df-pws 17559  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-mri 17697  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-submnd 18918  df-efmnd 19004  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-mulg 19217  df-subg 19272  df-ghm 19367  df-gim 19412  df-cntz 19470  df-oppg 19499  df-symg 19523  df-pmtr 19595  df-psgn 19644  df-evpm 19645  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-srg 20352  df-ring 20400  df-cring 20401  df-oppr 20506  df-dvdsr 20526  df-unit 20527  df-invr 20557  df-dvr 20570  df-rhm 20641  df-nzr 20702  df-subrng 20737  df-subrg 20761  df-drng 20921  df-field 20922  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-lsp 21186  df-lmhm 21236  df-lbs 21289  df-lvec 21317  df-sra 21387  df-rgmod 21388  df-cnfld 21618  df-zring 21692  df-zrh 21748  df-refld 21850  df-dsmm 21977  df-frlm 21992  df-uvc 22028  df-lindf 22051  df-linds 22052  df-assa 22100  df-mamu 22645  df-mat 22662  df-mdet 22839  df-madu 22888  df-veronese 50867

This theorem is used by: (None)