Theorem frgpnabllem2 19892

Description: Lemma for frgpnabl 19893. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpnabl.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpnabl.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpnabl.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpnabl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
frgpnabl.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
frgpnabl.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
frgpnabl.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
frgpnabl.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
frgpnabl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpnabl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
frgpnabl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐼)
frgpnabl.n	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
frgpnabllem2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑣,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥, ∼ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   + (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem frgpnabllem2

Dummy variables 𝑑 𝑚 𝑡 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpnabl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
2		0ex 5307	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
4		frgpnabl.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
5		difss 4136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) ⊆ 𝑊
6	4, 5	eqsstri 4030	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝑊
7		frgpnabl.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8		frgpnabl.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
9		frgpnabl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
10		frgpnabl.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		frgpnabl.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
12		frgpnabl.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
13		frgpnabl.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
14		frgpnabl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
15		frgpnabl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐼)
16	7, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 1	frgpnabllem1 19891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴))))
17	16	elin1d 4204	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
18	6, 17	sselid 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
19		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1))) = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
20	8, 9, 11, 12, 4, 19	efgredeu 19770	. . . . . 6 ⊢ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊 → ∃!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
21		reurmo 3383	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → ∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
22	18, 20, 21	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
23	7, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 1, 15	frgpnabllem1 19891	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))))
24	23	elin1d 4204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
25	8, 9	efger 19736	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ Er 𝑊
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
27	7	frgpgrp 19780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
28	14, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
29		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
30	9, 13, 7, 29	vrgpf 19786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
31	14, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
32	31, 1	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
33	31, 15	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
34	29, 10	grpcl 18959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑈‘𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑈‘𝐵) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
35	28, 32, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
37	7, 36, 9	frgpval 19776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
38	14, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
39		2on 8520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o ∈ On
40		xpexg 7770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
41	14, 39, 40	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
42		wrdexg 14562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
43		fvi 6985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
45	8, 44	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
46		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
47	36, 46	frmdbas 18865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
48	41, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
49	45, 48	eqtr4d 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
50	9	fvexi 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∼ ∈ V
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
52		fvexd 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
53	38, 49, 51, 52	qusbas 17590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
54	35, 53	eleqtrrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ))
55	23	elin2d 4205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)))
56		qsel 8836	. . . . . . . 8 ⊢ (( ∼ Er 𝑊 ∧ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ) ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ )
57	26, 54, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ )
58	16	elin2d 4205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))
59		frgpnabl.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))
60	58, 59	eleqtrrd 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)))
61		qsel 8836	. . . . . . . 8 ⊢ (( ∼ Er 𝑊 ∧ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ) ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
62	26, 54, 60, 61	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
63	57, 62	eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
64	6, 24	sselid 3981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
65	26, 64	erth 8796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
66	63, 65	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
67	26, 18	erref 8765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
68		breq1 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
69		breq1 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
70	68, 69	rmoi 3891	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∧ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩) ∧ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
71	22, 24, 66, 17, 67, 70	syl122anc 1381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
72	71	fveq1d 6908	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0))
73		opex 5469	. . . 4 ⊢ ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V
74		s2fv0 14926	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩)
75	73, 74	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩
76		opex 5469	. . . 4 ⊢ ⟨𝐵, ∅⟩ ∈ V
77		s2fv0 14926	. . . 4 ⊢ (⟨𝐵, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩)
78	76, 77	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩
79	72, 75, 78	3eqtr3g 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩)
80		opthg 5482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩ ↔ (𝐴 = 𝐵 ∧ ∅ = ∅)))
81	80	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ V) ∧ ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩) → 𝐴 = 𝐵)
82	1, 3, 79, 81	syl21anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃!wreu 3378  ∃*wrmo 3379  {crab 3436  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948  ∅c0 4333  {csn 4626  ⟨cop 4632  ⟨cotp 4634  ∪ ciun 4991   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683  ran crn 5686  Oncon0 6384  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  1_oc1o 8499  2_oc2o 8500   Er wer 8742  [cec 8743   / cqs 8744  0cc0 11155  1c1 11156   − cmin 11492  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552   splice csplice 14787  ⟨“cs2 14880  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297   /_s cqus 17550  freeMndcfrmd 18860  Grpcgrp 18951   ~_FG cefg 19724  freeGrpcfrgp 19725  var_FGrpcvrgp 19726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-frmd 18862  df-grp 18954  df-efg 19727  df-frgp 19728  df-vrgp 19729

This theorem is referenced by:  frgpnabl  19893