MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpnabllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpnabllem2 19783
Description: Lemma for frgpnabl 19784. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 25-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpnabl.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpnabl.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpnabl.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpnabl.p + = (+gβ€˜πΊ)
frgpnabl.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
frgpnabl.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
frgpnabl.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
frgpnabl.u π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
frgpnabl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpnabl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
frgpnabl.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐼)
frgpnabl.n (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = ((π‘ˆβ€˜π΅) + (π‘ˆβ€˜π΄)))
Assertion
Ref Expression
frgpnabllem2 (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   𝑣,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   πœ‘,π‘₯   π‘₯, ∼ ,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡   𝑛,π‘Š,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐺   𝑛,𝑀,𝑣,𝑀,π‘₯   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐡(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   + (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem frgpnabllem2
Dummy variables 𝑑 π‘š 𝑑 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpnabl.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
2 0ex 5306 . . 3 βˆ… ∈ V
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ V)
4 frgpnabl.d . . . . . . . 8 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
5 difss 4130 . . . . . . . 8 (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Š
64, 5eqsstri 4015 . . . . . . 7 𝐷 βŠ† π‘Š
7 frgpnabl.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
8 frgpnabl.w . . . . . . . . 9 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
9 frgpnabl.r . . . . . . . . 9 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
10 frgpnabl.p . . . . . . . . 9 + = (+gβ€˜πΊ)
11 frgpnabl.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
12 frgpnabl.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
13 frgpnabl.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
14 frgpnabl.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
15 frgpnabl.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐼)
167, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 1frgpnabllem1 19782 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ (𝐷 ∩ ((π‘ˆβ€˜π΅) + (π‘ˆβ€˜π΄))))
1716elin1d 4197 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ 𝐷)
186, 17sselid 3979 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š)
19 eqid 2730 . . . . . . 7 (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1))) = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
208, 9, 11, 12, 4, 19efgredeu 19661 . . . . . 6 (βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š β†’ βˆƒ!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
21 reurmo 3377 . . . . . 6 (βˆƒ!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© β†’ βˆƒ*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
2218, 20, 213syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
237, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 1, 15frgpnabllem1 19782 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ (𝐷 ∩ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅))))
2423elin1d 4197 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ 𝐷)
258, 9efger 19627 . . . . . . . . 9 ∼ Er π‘Š
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∼ Er π‘Š)
277frgpgrp 19671 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2814, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
29 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
309, 13, 7, 29vrgpf 19677 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
3114, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
3231, 1ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3331, 15ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3429, 10grpcl 18863 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘ˆβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘ˆβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3528, 32, 33, 34syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
36 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
377, 36, 9frgpval 19667 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
3814, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
39 2on 8482 . . . . . . . . . . . . . 14 2o ∈ On
40 xpexg 7739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
4114, 39, 40sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
42 wrdexg 14478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
43 fvi 6966 . . . . . . . . . . . . 13 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
458, 44eqtrid 2782 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
46 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
4736, 46frmdbas 18769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
4945, 48eqtr4d 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
509fvexi 6904 . . . . . . . . . . 11 ∼ ∈ V
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∼ ∈ V)
52 fvexd 6905 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ V)
5338, 49, 51, 52qusbas 17495 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Š / ∼ ) = (Baseβ€˜πΊ))
5435, 53eleqtrrd 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) ∈ (π‘Š / ∼ ))
5523elin2d 4198 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)))
56 qsel 8792 . . . . . . . 8 (( ∼ Er π‘Š ∧ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) ∈ (π‘Š / ∼ ) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅))) β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
5726, 54, 55, 56syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
5816elin2d 4198 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ((π‘ˆβ€˜π΅) + (π‘ˆβ€˜π΄)))
59 frgpnabl.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = ((π‘ˆβ€˜π΅) + (π‘ˆβ€˜π΄)))
6058, 59eleqtrrd 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)))
61 qsel 8792 . . . . . . . 8 (( ∼ Er π‘Š ∧ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) ∈ (π‘Š / ∼ ) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅))) β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
6226, 54, 60, 61syl3anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
6357, 62eqtr3d 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ = [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
646, 24sselid 3979 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š)
6526, 64erth 8754 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ↔ [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ = [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ ))
6663, 65mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
6726, 18erref 8725 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
68 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑑 = βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© β†’ (𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ↔ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©))
69 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑑 = βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© β†’ (𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ↔ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©))
7068, 69rmoi 3884 . . . . 5 ((βˆƒ*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ 𝐷 ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©) ∧ (βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ 𝐷 ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)) β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
7122, 24, 66, 17, 67, 70syl122anc 1377 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
7271fveq1d 6892 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = (βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0))
73 opex 5463 . . . 4 ⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ V
74 s2fv0 14842 . . . 4 (⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ V β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = ⟨𝐴, βˆ…βŸ©)
7573, 74ax-mp 5 . . 3 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = ⟨𝐴, βˆ…βŸ©
76 opex 5463 . . . 4 ⟨𝐡, βˆ…βŸ© ∈ V
77 s2fv0 14842 . . . 4 (⟨𝐡, βˆ…βŸ© ∈ V β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©)
7876, 77ax-mp 5 . . 3 (βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©
7972, 75, 783eqtr3g 2793 . 2 (πœ‘ β†’ ⟨𝐴, βˆ…βŸ© = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©)
80 opthg 5476 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ βˆ… ∈ V) β†’ (⟨𝐴, βˆ…βŸ© = ⟨𝐡, βˆ…βŸ© ↔ (𝐴 = 𝐡 ∧ βˆ… = βˆ…)))
8180simprbda 497 . 2 (((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ βˆ… ∈ V) ∧ ⟨𝐴, βˆ…βŸ© = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©) β†’ 𝐴 = 𝐡)
821, 3, 79, 81syl21anc 834 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒ!wreu 3372  βˆƒ*wrmo 3373  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944  βˆ…c0 4321  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βŸ¨cotp 4635  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   Γ— cxp 5673  ran crn 5676  Oncon0 6363  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1oc1o 8461  2oc2o 8462   Er wer 8702  [cec 8703   / cqs 8704  0cc0 11112  1c1 11113   βˆ’ cmin 11448  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Word cword 14468   splice csplice 14703  βŸ¨β€œcs2 14796  Basecbs 17148  +gcplusg 17201   /s cqus 17455  freeMndcfrmd 18764  Grpcgrp 18855   ~FG cefg 19615  freeGrpcfrgp 19616  varFGrpcvrgp 19617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704  df-reverse 14713  df-s2 14803  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-0g 17391  df-imas 17458  df-qus 17459  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-frmd 18766  df-grp 18858  df-efg 19618  df-frgp 19619  df-vrgp 19620
This theorem is referenced by:  frgpnabl  19784
  Copyright terms: Public domain W3C validator