Theorem frgpnabllem2 19916

Description: Lemma for frgpnabl 19917. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpnabl.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpnabl.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpnabl.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpnabl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
frgpnabl.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
frgpnabl.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
frgpnabl.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
frgpnabl.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
frgpnabl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpnabl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
frgpnabl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐼)
frgpnabl.n	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
frgpnabllem2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑣,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥, ∼ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   + (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem frgpnabllem2

Dummy variables 𝑑 𝑚 𝑡 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpnabl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
2		0ex 5259	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
4		frgpnabl.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
5		difss 4091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) ⊆ 𝑊
6	4, 5	eqsstri 3984	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝑊
7		frgpnabl.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8		frgpnabl.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
9		frgpnabl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
10		frgpnabl.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		frgpnabl.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
12		frgpnabl.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
13		frgpnabl.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
14		frgpnabl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
15		frgpnabl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐼)
16	7, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 1	frgpnabllem1 19915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴))))
17	16	elin1d 4158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
18	6, 17	sselid 3936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
19		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1))) = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
20	8, 9, 11, 12, 4, 19	efgredeu 19794	. . . . . 6 ⊢ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊 → ∃!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
21		reurmo 3372	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → ∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
22	18, 20, 21	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
23	7, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 1, 15	frgpnabllem1 19915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))))
24	23	elin1d 4158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
25	8, 9	efger 19760	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ Er 𝑊
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
27	7	frgpgrp 19804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
28	14, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
29		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
30	9, 13, 7, 29	vrgpf 19810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
31	14, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
32	31, 1	ffvelcdmd 7068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
33	31, 15	ffvelcdmd 7068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
34	29, 10	grpcl 18985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑈‘𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑈‘𝐵) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
35	28, 32, 33, 34	syl3anc 1392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
37	7, 36, 9	frgpval 19800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
38	14, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
39		2on 8453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o ∈ On
40		xpexg 7735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
41	14, 39, 40	sylancl 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
42		wrdexg 14539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
43		fvi 6945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
45	8, 44	eqtrid 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
46		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
47	36, 46	frmdbas 18888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
48	41, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
49	45, 48	eqtr4d 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
50	9	fvexi 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∼ ∈ V
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
52		fvexd 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
53	38, 49, 51, 52	qusbas 17577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
54	35, 53	eleqtrrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ))
55	23	elin2d 4159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)))
56		qsel 8780	. . . . . . . 8 ⊢ (( ∼ Er 𝑊 ∧ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ) ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ )
57	26, 54, 55, 56	syl3anc 1392	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ )
58	16	elin2d 4159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))
59		frgpnabl.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))
60	58, 59	eleqtrrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)))
61		qsel 8780	. . . . . . . 8 ⊢ (( ∼ Er 𝑊 ∧ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ) ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
62	26, 54, 60, 61	syl3anc 1392	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
63	57, 62	eqtr3d 2801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
64	6, 24	sselid 3936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
65	26, 64	erth 8735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
66	63, 65	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
67	26, 18	erref 8701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
68		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
69		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
70	68, 69	rmoi 3846	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∧ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩) ∧ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
71	22, 24, 66, 17, 67, 70	syl122anc 1400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
72	71	fveq1d 6871	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0))
73		opex 5433	. . . 4 ⊢ ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V
74		s2fv0 14902	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩)
75	73, 74	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩
76		opex 5433	. . . 4 ⊢ ⟨𝐵, ∅⟩ ∈ V
77		s2fv0 14902	. . . 4 ⊢ (⟨𝐵, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩)
78	76, 77	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩
79	72, 75, 78	3eqtr3g 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩)
80		opthg 5447	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩ ↔ (𝐴 = 𝐵 ∧ ∅ = ∅)))
81	80	simprbda 502	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ V) ∧ ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩) → 𝐴 = 𝐵)
82	1, 3, 79, 81	syl21anc 848	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078  ∃!wreu 3367  ∃*wrmo 3368  {crab 3416  Vcvv 3456   ∖ cdif 3903  ∅c0 4287  {csn 4584  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   I cid 5543   × cxp 5647  ran crn 5650  Oncon0 6348  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∈ cmpo 7400  1_oc1o 8432  2_oc2o 8433   Er wer 8677  [cec 8678   / cqs 8679  0cc0 11075  1c1 11076   − cmin 11416  ...cfz 13514  ..^cfzo 13661  ♯chash 14345  Word cword 14528   splice csplice 14764  ⟨“cs2 14856  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288   /_s cqus 17537  freeMndcfrmd 18883  Grpcgrp 18977   ~_FG cefg 19748  freeGrpcfrgp 19749  var_FGrpcvrgp 19750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-ec 8682  df-qs 8686  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-hash 14346  df-word 14529  df-lsw 14578  df-concat 14586  df-s1 14612  df-substr 14657  df-pfx 14687  df-splice 14765  df-reverse 14774  df-s2 14863  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-0g 17472  df-imas 17540  df-qus 17541  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-frmd 18885  df-grp 18980  df-efg 19751  df-frgp 19752  df-vrgp 19753

This theorem is referenced by:  frgpnabl  19917