MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpnabllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpnabllem2 19907
Description: Lemma for frgpnabl 19908. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 25-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpnabl.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpnabl.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpnabl.r = ( ~FG𝐼)
frgpnabl.p + = (+g𝐺)
frgpnabl.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
frgpnabl.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
frgpnabl.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
frgpnabl.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
frgpnabl.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpnabl.a (𝜑𝐴𝐼)
frgpnabl.b (𝜑𝐵𝐼)
frgpnabl.n (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴)))
Assertion
Ref Expression
frgpnabllem2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑣,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   + (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem frgpnabllem2
Dummy variables 𝑑 𝑚 𝑡 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpnabl.a . 2 (𝜑𝐴𝐼)
2 0ex 5313 . . 3 ∅ ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ V)
4 frgpnabl.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
5 difss 4146 . . . . . . . 8 (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)) ⊆ 𝑊
64, 5eqsstri 4030 . . . . . . 7 𝐷𝑊
7 frgpnabl.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8 frgpnabl.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
9 frgpnabl.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
10 frgpnabl.p . . . . . . . . 9 + = (+g𝐺)
11 frgpnabl.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
12 frgpnabl.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
13 frgpnabl.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (varFGrp𝐼)
14 frgpnabl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
15 frgpnabl.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐼)
167, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 1frgpnabllem1 19906 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴))))
1716elin1d 4214 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
186, 17sselid 3993 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
19 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1))) = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
208, 9, 11, 12, 4, 19efgredeu 19785 . . . . . 6 (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊 → ∃!𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
21 reurmo 3381 . . . . . 6 (∃!𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → ∃*𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
2218, 20, 213syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
237, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 1, 15frgpnabllem1 19906 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵))))
2423elin1d 4214 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
258, 9efger 19751 . . . . . . . . 9 Er 𝑊
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 Er 𝑊)
277frgpgrp 19795 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Grp)
2814, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
29 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
309, 13, 7, 29vrgpf 19801 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
3114, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
3231, 1ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
3331, 15ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
3429, 10grpcl 18972 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑈𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑈𝐵) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
3528, 32, 33, 34syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
36 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
377, 36, 9frgpval 19791 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
3814, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
39 2on 8519 . . . . . . . . . . . . . 14 2o ∈ On
40 xpexg 7769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
4114, 39, 40sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
42 wrdexg 14559 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
43 fvi 6985 . . . . . . . . . . . . 13 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
458, 44eqtrid 2787 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
46 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
4736, 46frmdbas 18878 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
4945, 48eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
509fvexi 6921 . . . . . . . . . . 11 ∈ V
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 ∈ V)
52 fvexd 6922 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
5338, 49, 51, 52qusbas 17592 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
5435, 53eleqtrrd 2842 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (𝑊 / ))
5523elin2d 4215 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)))
56 qsel 8835 . . . . . . . 8 (( Er 𝑊 ∧ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (𝑊 / ) ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵))) → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] )
5726, 54, 55, 56syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] )
5816elin2d 4215 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴)))
59 frgpnabl.n . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴)))
6058, 59eleqtrrd 2842 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)))
61 qsel 8835 . . . . . . . 8 (( Er 𝑊 ∧ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (𝑊 / ) ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵))) → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
6226, 54, 60, 61syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
6357, 62eqtr3d 2777 . . . . . 6 (𝜑 → [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
646, 24sselid 3993 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
6526, 64erth 8795 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ))
6663, 65mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
6726, 18erref 8764 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
68 breq1 5151 . . . . . 6 (𝑑 = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
69 breq1 5151 . . . . . 6 (𝑑 = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
7068, 69rmoi 3900 . . . . 5 ((∃*𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∧ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩) ∧ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
7122, 24, 66, 17, 67, 70syl122anc 1378 . . . 4 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
7271fveq1d 6909 . . 3 (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0))
73 opex 5475 . . . 4 𝐴, ∅⟩ ∈ V
74 s2fv0 14923 . . . 4 (⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩)
7573, 74ax-mp 5 . . 3 (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩
76 opex 5475 . . . 4 𝐵, ∅⟩ ∈ V
77 s2fv0 14923 . . . 4 (⟨𝐵, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩)
7876, 77ax-mp 5 . . 3 (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩
7972, 75, 783eqtr3g 2798 . 2 (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩)
80 opthg 5488 . . 3 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩ ↔ (𝐴 = 𝐵 ∧ ∅ = ∅)))
8180simprbda 498 . 2 (((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ V) ∧ ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩) → 𝐴 = 𝐵)
821, 3, 79, 81syl21anc 838 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  ∃!wreu 3376  ∃*wrmo 3377  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  c0 4339  {csn 4631  cop 4637  cotp 4639   ciun 4996   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687  ran crn 5690  Oncon0 6386  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8498  2oc2o 8499   Er wer 8741  [cec 8742   / cqs 8743  0cc0 11153  1c1 11154  cmin 11490  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   splice csplice 14784  ⟨“cs2 14877  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   /s cqus 17552  freeMndcfrmd 18873  Grpcgrp 18964   ~FG cefg 19739  freeGrpcfrgp 19740  varFGrpcvrgp 19741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-frmd 18875  df-grp 18967  df-efg 19742  df-frgp 19743  df-vrgp 19744
This theorem is referenced by:  frgpnabl  19908
  Copyright terms: Public domain W3C validator