MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpnabllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpnabllem2 19742
Description: Lemma for frgpnabl 19743. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 25-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpnabl.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpnabl.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpnabl.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpnabl.p + = (+gβ€˜πΊ)
frgpnabl.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
frgpnabl.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
frgpnabl.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
frgpnabl.u π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
frgpnabl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpnabl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
frgpnabl.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐼)
frgpnabl.n (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = ((π‘ˆβ€˜π΅) + (π‘ˆβ€˜π΄)))
Assertion
Ref Expression
frgpnabllem2 (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐡)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   𝑣,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   πœ‘,π‘₯   π‘₯, ∼ ,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡   𝑛,π‘Š,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐺   𝑛,𝑀,𝑣,𝑀,π‘₯   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐡(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   + (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem frgpnabllem2
Dummy variables 𝑑 π‘š 𝑑 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpnabl.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
2 0ex 5308 . . 3 βˆ… ∈ V
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ V)
4 frgpnabl.d . . . . . . . 8 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
5 difss 4132 . . . . . . . 8 (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯)) βŠ† π‘Š
64, 5eqsstri 4017 . . . . . . 7 𝐷 βŠ† π‘Š
7 frgpnabl.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
8 frgpnabl.w . . . . . . . . 9 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
9 frgpnabl.r . . . . . . . . 9 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
10 frgpnabl.p . . . . . . . . 9 + = (+gβ€˜πΊ)
11 frgpnabl.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
12 frgpnabl.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
13 frgpnabl.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
14 frgpnabl.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
15 frgpnabl.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐼)
167, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 1frgpnabllem1 19741 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ (𝐷 ∩ ((π‘ˆβ€˜π΅) + (π‘ˆβ€˜π΄))))
1716elin1d 4199 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ 𝐷)
186, 17sselid 3981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š)
19 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1))) = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
208, 9, 11, 12, 4, 19efgredeu 19620 . . . . . 6 (βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š β†’ βˆƒ!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
21 reurmo 3380 . . . . . 6 (βˆƒ!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© β†’ βˆƒ*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
2218, 20, 213syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
237, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 1, 15frgpnabllem1 19741 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ (𝐷 ∩ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅))))
2423elin1d 4199 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ 𝐷)
258, 9efger 19586 . . . . . . . . 9 ∼ Er π‘Š
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ∼ Er π‘Š)
277frgpgrp 19630 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
2814, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
29 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
309, 13, 7, 29vrgpf 19636 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
3114, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
3231, 1ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3331, 15ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3429, 10grpcl 18827 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘ˆβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘ˆβ€˜π΅) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
3528, 32, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
36 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) = (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))
377, 36, 9frgpval 19626 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
3814, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) /s ∼ ))
39 2on 8480 . . . . . . . . . . . . . 14 2o ∈ On
40 xpexg 7737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
4114, 39, 40sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
42 wrdexg 14474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
43 fvi 6968 . . . . . . . . . . . . 13 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
458, 44eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
46 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)))
4736, 46frmdbas 18733 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))) = Word (𝐼 Γ— 2o))
4945, 48eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o))))
509fvexi 6906 . . . . . . . . . . 11 ∼ ∈ V
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ∼ ∈ V)
52 fvexd 6907 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (freeMndβ€˜(𝐼 Γ— 2o)) ∈ V)
5338, 49, 51, 52qusbas 17491 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Š / ∼ ) = (Baseβ€˜πΊ))
5435, 53eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) ∈ (π‘Š / ∼ ))
5523elin2d 4200 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)))
56 qsel 8790 . . . . . . . 8 (( ∼ Er π‘Š ∧ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) ∈ (π‘Š / ∼ ) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅))) β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
5726, 54, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
5816elin2d 4200 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ((π‘ˆβ€˜π΅) + (π‘ˆβ€˜π΄)))
59 frgpnabl.n . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = ((π‘ˆβ€˜π΅) + (π‘ˆβ€˜π΄)))
6058, 59eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)))
61 qsel 8790 . . . . . . . 8 (( ∼ Er π‘Š ∧ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) ∈ (π‘Š / ∼ ) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅))) β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
6226, 54, 60, 61syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
6357, 62eqtr3d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ = [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
646, 24sselid 3981 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š)
6526, 64erth 8752 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ↔ [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ = [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ ))
6663, 65mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
6726, 18erref 8723 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
68 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑑 = βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© β†’ (𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ↔ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©))
69 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑑 = βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© β†’ (𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ↔ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©))
7068, 69rmoi 3886 . . . . 5 ((βˆƒ*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∧ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ 𝐷 ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©) ∧ (βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ 𝐷 ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)) β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
7122, 24, 66, 17, 67, 70syl122anc 1380 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
7271fveq1d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = (βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0))
73 opex 5465 . . . 4 ⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ V
74 s2fv0 14838 . . . 4 (⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ V β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = ⟨𝐴, βˆ…βŸ©)
7573, 74ax-mp 5 . . 3 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = ⟨𝐴, βˆ…βŸ©
76 opex 5465 . . . 4 ⟨𝐡, βˆ…βŸ© ∈ V
77 s2fv0 14838 . . . 4 (⟨𝐡, βˆ…βŸ© ∈ V β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©)
7876, 77ax-mp 5 . . 3 (βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©
7972, 75, 783eqtr3g 2796 . 2 (πœ‘ β†’ ⟨𝐴, βˆ…βŸ© = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©)
80 opthg 5478 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ βˆ… ∈ V) β†’ (⟨𝐴, βˆ…βŸ© = ⟨𝐡, βˆ…βŸ© ↔ (𝐴 = 𝐡 ∧ βˆ… = βˆ…)))
8180simprbda 500 . 2 (((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ βˆ… ∈ V) ∧ ⟨𝐴, βˆ…βŸ© = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©) β†’ 𝐴 = 𝐡)
821, 3, 79, 81syl21anc 837 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒ!wreu 3375  βˆƒ*wrmo 3376  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βŸ¨cotp 4637  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   Γ— cxp 5675  ran crn 5678  Oncon0 6365  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  1oc1o 8459  2oc2o 8460   Er wer 8700  [cec 8701   / cqs 8702  0cc0 11110  1c1 11111   βˆ’ cmin 11444  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464   splice csplice 14699  βŸ¨β€œcs2 14792  Basecbs 17144  +gcplusg 17197   /s cqus 17451  freeMndcfrmd 18728  Grpcgrp 18819   ~FG cefg 19574  freeGrpcfrgp 19575  varFGrpcvrgp 19576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-splice 14700  df-reverse 14709  df-s2 14799  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-frmd 18730  df-grp 18822  df-efg 19577  df-frgp 19578  df-vrgp 19579
This theorem is referenced by:  frgpnabl  19743
  Copyright terms: Public domain W3C validator