Theorem frgpnabllem2 19807

Description: Lemma for frgpnabl 19808. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpnabl.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpnabl.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpnabl.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpnabl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
frgpnabl.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
frgpnabl.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
frgpnabl.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
frgpnabl.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
frgpnabl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpnabl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
frgpnabl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐼)
frgpnabl.n	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
frgpnabllem2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑣,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥, ∼ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   + (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem frgpnabllem2

Dummy variables 𝑑 𝑚 𝑡 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpnabl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
2		0ex 5253	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
4		frgpnabl.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
5		difss 4089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) ⊆ 𝑊
6	4, 5	eqsstri 3981	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝑊
7		frgpnabl.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8		frgpnabl.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
9		frgpnabl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
10		frgpnabl.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		frgpnabl.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
12		frgpnabl.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
13		frgpnabl.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
14		frgpnabl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
15		frgpnabl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐼)
16	7, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 1	frgpnabllem1 19806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴))))
17	16	elin1d 4157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
18	6, 17	sselid 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
19		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1))) = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
20	8, 9, 11, 12, 4, 19	efgredeu 19685	. . . . . 6 ⊢ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊 → ∃!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
21		reurmo 3354	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → ∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
22	18, 20, 21	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
23	7, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 1, 15	frgpnabllem1 19806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))))
24	23	elin1d 4157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
25	8, 9	efger 19651	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ Er 𝑊
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
27	7	frgpgrp 19695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
28	14, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
29		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
30	9, 13, 7, 29	vrgpf 19701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
31	14, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
32	31, 1	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
33	31, 15	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
34	29, 10	grpcl 18875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑈‘𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑈‘𝐵) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
35	28, 32, 33, 34	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
37	7, 36, 9	frgpval 19691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
38	14, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
39		2on 8412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o ∈ On
40		xpexg 7697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
41	14, 39, 40	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
42		wrdexg 14451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
43		fvi 6911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
45	8, 44	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
46		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
47	36, 46	frmdbas 18781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
48	41, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
49	45, 48	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
50	9	fvexi 6849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∼ ∈ V
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
52		fvexd 6850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
53	38, 49, 51, 52	qusbas 17470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
54	35, 53	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ))
55	23	elin2d 4158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)))
56		qsel 8737	. . . . . . . 8 ⊢ (( ∼ Er 𝑊 ∧ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ) ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ )
57	26, 54, 55, 56	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ )
58	16	elin2d 4158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))
59		frgpnabl.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))
60	58, 59	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)))
61		qsel 8737	. . . . . . . 8 ⊢ (( ∼ Er 𝑊 ∧ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ) ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
62	26, 54, 60, 61	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
63	57, 62	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
64	6, 24	sselid 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
65	26, 64	erth 8692	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
66	63, 65	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
67	26, 18	erref 8658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
68		breq1 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
69		breq1 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
70	68, 69	rmoi 3842	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∧ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩) ∧ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
71	22, 24, 66, 17, 67, 70	syl122anc 1382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
72	71	fveq1d 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0))
73		opex 5413	. . . 4 ⊢ ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V
74		s2fv0 14814	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩)
75	73, 74	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩
76		opex 5413	. . . 4 ⊢ ⟨𝐵, ∅⟩ ∈ V
77		s2fv0 14814	. . . 4 ⊢ (⟨𝐵, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩)
78	76, 77	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩
79	72, 75, 78	3eqtr3g 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩)
80		opthg 5426	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩ ↔ (𝐴 = 𝐵 ∧ ∅ = ∅)))
81	80	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ V) ∧ ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩) → 𝐴 = 𝐵)
82	1, 3, 79, 81	syl21anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃!wreu 3349  ∃*wrmo 3350  {crab 3400  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899  ∅c0 4286  {csn 4581  ⟨cop 4587  ⟨cotp 4589  ∪ ciun 4947   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   I cid 5519   × cxp 5623  ran crn 5626  Oncon0 6318  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  1_oc1o 8392  2_oc2o 8393   Er wer 8634  [cec 8635   / cqs 8636  0cc0 11030  1c1 11031   − cmin 11368  ...cfz 13427  ..^cfzo 13574  ♯chash 14257  Word cword 14440   splice csplice 14676  ⟨“cs2 14768  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181   /_s cqus 17430  freeMndcfrmd 18776  Grpcgrp 18867   ~_FG cefg 19639  freeGrpcfrgp 19640  var_FGrpcvrgp 19641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-lsw 14490  df-concat 14498  df-s1 14524  df-substr 14569  df-pfx 14599  df-splice 14677  df-reverse 14686  df-s2 14775  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-0g 17365  df-imas 17433  df-qus 17434  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-frmd 18778  df-grp 18870  df-efg 19642  df-frgp 19643  df-vrgp 19644

This theorem is referenced by:  frgpnabl  19808