MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpnabllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpnabllem2 19892
Description: Lemma for frgpnabl 19893. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 25-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpnabl.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpnabl.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpnabl.r = ( ~FG𝐼)
frgpnabl.p + = (+g𝐺)
frgpnabl.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
frgpnabl.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
frgpnabl.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
frgpnabl.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
frgpnabl.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpnabl.a (𝜑𝐴𝐼)
frgpnabl.b (𝜑𝐵𝐼)
frgpnabl.n (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴)))
Assertion
Ref Expression
frgpnabllem2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑣,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   + (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem frgpnabllem2
Dummy variables 𝑑 𝑚 𝑡 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpnabl.a . 2 (𝜑𝐴𝐼)
2 0ex 5307 . . 3 ∅ ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ V)
4 frgpnabl.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
5 difss 4136 . . . . . . . 8 (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)) ⊆ 𝑊
64, 5eqsstri 4030 . . . . . . 7 𝐷𝑊
7 frgpnabl.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8 frgpnabl.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
9 frgpnabl.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
10 frgpnabl.p . . . . . . . . 9 + = (+g𝐺)
11 frgpnabl.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
12 frgpnabl.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
13 frgpnabl.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (varFGrp𝐼)
14 frgpnabl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
15 frgpnabl.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐼)
167, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 1frgpnabllem1 19891 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴))))
1716elin1d 4204 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
186, 17sselid 3981 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
19 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1))) = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
208, 9, 11, 12, 4, 19efgredeu 19770 . . . . . 6 (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊 → ∃!𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
21 reurmo 3383 . . . . . 6 (∃!𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → ∃*𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
2218, 20, 213syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
237, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 1, 15frgpnabllem1 19891 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵))))
2423elin1d 4204 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
258, 9efger 19736 . . . . . . . . 9 Er 𝑊
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 Er 𝑊)
277frgpgrp 19780 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝑉𝐺 ∈ Grp)
2814, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
29 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
309, 13, 7, 29vrgpf 19786 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
3114, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
3231, 1ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
3331, 15ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
3429, 10grpcl 18959 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑈𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑈𝐵) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
3528, 32, 33, 34syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
36 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
377, 36, 9frgpval 19776 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
3814, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ))
39 2on 8520 . . . . . . . . . . . . . 14 2o ∈ On
40 xpexg 7770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
4114, 39, 40sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
42 wrdexg 14562 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
43 fvi 6985 . . . . . . . . . . . . 13 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
458, 44eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
46 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
4736, 46frmdbas 18865 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
4945, 48eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
509fvexi 6920 . . . . . . . . . . 11 ∈ V
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 ∈ V)
52 fvexd 6921 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
5338, 49, 51, 52qusbas 17590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
5435, 53eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (𝑊 / ))
5523elin2d 4205 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)))
56 qsel 8836 . . . . . . . 8 (( Er 𝑊 ∧ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (𝑊 / ) ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵))) → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] )
5726, 54, 55, 56syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] )
5816elin2d 4205 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴)))
59 frgpnabl.n . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴)))
6058, 59eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)))
61 qsel 8836 . . . . . . . 8 (( Er 𝑊 ∧ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (𝑊 / ) ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵))) → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
6226, 54, 60, 61syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
6357, 62eqtr3d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
646, 24sselid 3981 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
6526, 64erth 8796 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ))
6663, 65mpbird 257 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
6726, 18erref 8765 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
68 breq1 5146 . . . . . 6 (𝑑 = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
69 breq1 5146 . . . . . 6 (𝑑 = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
7068, 69rmoi 3891 . . . . 5 ((∃*𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∧ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩) ∧ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
7122, 24, 66, 17, 67, 70syl122anc 1381 . . . 4 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
7271fveq1d 6908 . . 3 (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0))
73 opex 5469 . . . 4 𝐴, ∅⟩ ∈ V
74 s2fv0 14926 . . . 4 (⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩)
7573, 74ax-mp 5 . . 3 (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩
76 opex 5469 . . . 4 𝐵, ∅⟩ ∈ V
77 s2fv0 14926 . . . 4 (⟨𝐵, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩)
7876, 77ax-mp 5 . . 3 (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩
7972, 75, 783eqtr3g 2800 . 2 (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩)
80 opthg 5482 . . 3 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩ ↔ (𝐴 = 𝐵 ∧ ∅ = ∅)))
8180simprbda 498 . 2 (((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ V) ∧ ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩) → 𝐴 = 𝐵)
821, 3, 79, 81syl21anc 838 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  ∃!wreu 3378  ∃*wrmo 3379  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  c0 4333  {csn 4626  cop 4632  cotp 4634   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683  ran crn 5686  Oncon0 6384  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8499  2oc2o 8500   Er wer 8742  [cec 8743   / cqs 8744  0cc0 11155  1c1 11156  cmin 11492  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   splice csplice 14787  ⟨“cs2 14880  Basecbs 17247  +gcplusg 17297   /s cqus 17550  freeMndcfrmd 18860  Grpcgrp 18951   ~FG cefg 19724  freeGrpcfrgp 19725  varFGrpcvrgp 19726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-frmd 18862  df-grp 18954  df-efg 19727  df-frgp 19728  df-vrgp 19729
This theorem is referenced by:  frgpnabl  19893
  Copyright terms: Public domain W3C validator