Theorem frgpnabllem2 19950

Description: Lemma for frgpnabl 19951. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpnabl.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpnabl.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpnabl.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpnabl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
frgpnabl.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
frgpnabl.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
frgpnabl.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
frgpnabl.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
frgpnabl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpnabl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
frgpnabl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐼)
frgpnabl.n	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
frgpnabllem2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑣,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥, ∼ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝐴(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝐵(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   + (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   ∼ (𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑇(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝐺(𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝑀(𝑦, 𝑧)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑛)

Proof of Theorem frgpnabllem2

Dummy variables 𝑑 𝑚 𝑡 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpnabl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
2		0ex 5269	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
4		frgpnabl.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
5		difss 4089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) ⊆ 𝑊
6	4, 5	eqsstri 3982	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝑊
7		frgpnabl.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8		frgpnabl.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
9		frgpnabl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
10		frgpnabl.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		frgpnabl.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
12		frgpnabl.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
13		frgpnabl.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
14		frgpnabl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
15		frgpnabl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐼)
16	7, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 1	frgpnabllem1 19949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴))))
17	16	elin1d 4156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
18	6, 17	sselid 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
19		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1))) = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
20	8, 9, 11, 12, 4, 19	efgredeu 19828	. . . . . 6 ⊢ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊 → ∃!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
21		reurmo 3371	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → ∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
22	18, 20, 21	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
23	7, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 13, 14, 1, 15	frgpnabllem1 19949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))))
24	23	elin1d 4156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
25	8, 9	efger 19794	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ Er 𝑊
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
27	7	frgpgrp 19838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
28	14, 27	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
29		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
30	9, 13, 7, 29	vrgpf 19844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
31	14, 30	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
32	31, 1	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
33	31, 15	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
34	29, 10	grpcl 19014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑈‘𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑈‘𝐵) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
35	28, 32, 33, 34	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
36		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2o))
37	7, 36, 9	frgpval 19834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
38	14, 37	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2o)) /s ∼ ))
39		2on 8465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o ∈ On
40		xpexg 7747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
41	14, 39, 40	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
42		wrdexg 14568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
43		fvi 6957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
44	41, 42, 43	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
45	8, 44	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
46		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o)))
47	36, 46	frmdbas 18917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
48	41, 47	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))) = Word (𝐼 × 2o))
49	45, 48	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2o))))
50	9	fvexi 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∼ ∈ V
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
52		fvexd 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2o)) ∈ V)
53	38, 49, 51, 52	qusbas 17605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
54	35, 53	eleqtrrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ))
55	23	elin2d 4157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)))
56		qsel 8792	. . . . . . . 8 ⊢ (( ∼ Er 𝑊 ∧ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ) ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ )
57	26, 54, 55, 56	syl3anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ )
58	16	elin2d 4157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))
59		frgpnabl.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))
60	58, 59	eleqtrrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)))
61		qsel 8792	. . . . . . . 8 ⊢ (( ∼ Er 𝑊 ∧ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ) ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
62	26, 54, 60, 61	syl3anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
63	57, 62	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
64	6, 24	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
65	26, 64	erth 8747	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
66	63, 65	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
67	26, 18	erref 8713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
68		breq1 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
69		breq1 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
70	68, 69	rmoi 3843	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∧ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩) ∧ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
71	22, 24, 66, 17, 67, 70	syl122anc 1405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
72	71	fveq1d 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0))
73		opex 5444	. . . 4 ⊢ ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V
74		s2fv0 14931	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩)
75	73, 74	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩
76		opex 5444	. . . 4 ⊢ ⟨𝐵, ∅⟩ ∈ V
77		s2fv0 14931	. . . 4 ⊢ (⟨𝐵, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩)
78	76, 77	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩
79	72, 75, 78	3eqtr3g 2820	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩)
80		opthg 5458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩ ↔ (𝐴 = 𝐵 ∧ ∅ = ∅)))
81	80	simprbda 503	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ V) ∧ ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩) → 𝐴 = 𝐵)
82	1, 3, 79, 81	syl21anc 850	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃!wreu 3366  ∃*wrmo 3367  {crab 3415  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901  ∅c0 4285  {csn 4588  ⟨cop 4594  ⟨cotp 4596  ∪ ciun 4955   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   I cid 5554   × cxp 5658  ran crn 5661  Oncon0 6360  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1_oc1o 8444  2_oc2o 8445   Er wer 8689  [cec 8690   / cqs 8691  0cc0 11106  1c1 11107   − cmin 11447  ...cfz 13541  ..^cfzo 13689  ♯chash 14373  Word cword 14557   splice csplice 14793  ⟨“cs2 14885  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316   /_s cqus 17565  freeMndcfrmd 18912  Grpcgrp 19006   ~_FG cefg 19782  freeGrpcfrgp 19783  var_FGrpcvrgp 19784

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-ec 8694  df-qs 8698  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-lsw 14607  df-concat 14615  df-s1 14641  df-substr 14686  df-pfx 14716  df-splice 14794  df-reverse 14803  df-s2 14892  df-struct 17213  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-0g 17500  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-frmd 18914  df-grp 19009  df-efg 19785  df-frgp 19786  df-vrgp 19787

This theorem is used by:  frgpnabl  19951