Theorem frgpnabllem2 18478

Description: Lemma for frgpnabl 18479. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpnabl.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpnabl.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpnabl.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpnabl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
frgpnabl.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩)
frgpnabl.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
frgpnabl.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
frgpnabl.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
frgpnabl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
frgpnabl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
frgpnabl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐼)
frgpnabl.n	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
frgpnabllem2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑣,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥, ∼ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   + (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frgpnabllem2

Dummy variables 𝑑 𝑚 𝑡 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpnabl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
2		0ex 4984	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
4		frgpnabl.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
5		difss 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) ⊆ 𝑊
6	4, 5	eqsstri 3832	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝑊
7		inss1 4029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴))) ⊆ 𝐷
8		frgpnabl.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
9		frgpnabl.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
10		frgpnabl.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
11		frgpnabl.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		frgpnabl.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩)
13		frgpnabl.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
14		frgpnabl.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
15		frgpnabl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
16		frgpnabl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐼)
17	8, 9, 10, 11, 12, 13, 4, 14, 15, 16, 1	frgpnabllem1 18477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴))))
18	7, 17	sseldi 3796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
19	6, 18	sseldi 3796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
20		eqid 2806	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1))) = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
21	9, 10, 12, 13, 4, 20	efgredeu 18366	. . . . . 6 ⊢ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊 → ∃!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
22		reurmo 3350	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → ∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
23	19, 21, 22	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
24		inss1 4029	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))) ⊆ 𝐷
25	8, 9, 10, 11, 12, 13, 4, 14, 15, 1, 16	frgpnabllem1 18477	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))))
26	24, 25	sseldi 3796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
27	9, 10	efger 18332	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ Er 𝑊
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∼ Er 𝑊)
29	8	frgpgrp 18376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
30	15, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
31		eqid 2806	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
32	10, 14, 8, 31	vrgpf 18382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
33	15, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
34	33, 1	ffvelrnd 6582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
35	33, 16	ffvelrnd 6582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
36	31, 11	grpcl 17635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑈‘𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑈‘𝐵) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
37	30, 34, 35, 36	syl3anc 1483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
38		eqid 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
39	8, 38, 10	frgpval 18372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ∼ ))
40	15, 39	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ∼ ))
41		2on 7805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2𝑜 ∈ On
42		xpexg 7190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
43	15, 41, 42	sylancl 576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
44		wrdexg 13526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
45		fvi 6476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
46	43, 44, 45	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
47	9, 46	syl5eq 2852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
48		eqid 2806	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
49	38, 48	frmdbas 17594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
50	43, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
51	47, 50	eqtr4d 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
52	10	fvexi 6422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∼ ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
54		fvexd 6423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ V)
55	40, 51, 53, 54	qusbas 16410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑊 / ∼ ) = (Base‘𝐺))
56	37, 55	eleqtrrd 2888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ))
57		inss2 4030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))) ⊆ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))
58	57, 25	sseldi 3796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)))
59		qsel 8061	. . . . . . . 8 ⊢ (( ∼ Er 𝑊 ∧ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ) ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ )
60	28, 56, 58, 59	syl3anc 1483	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ )
61		inss2 4030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∩ ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴))) ⊆ ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴))
62	61, 17	sseldi 3796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))
63		frgpnabl.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = ((𝑈‘𝐵) + (𝑈‘𝐴)))
64	62, 63	eleqtrrd 2888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)))
65		qsel 8061	. . . . . . . 8 ⊢ (( ∼ Er 𝑊 ∧ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) ∈ (𝑊 / ∼ ) ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵))) → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
66	28, 56, 64, 65	syl3anc 1483	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐴) + (𝑈‘𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
67	60, 66	eqtr3d 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
68	6, 26	sseldi 3796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
69	28, 68	erth 8026	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] ∼ = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
70	67, 69	mpbird 248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
71	28, 19	erref 7999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
72		breq1 4847	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
73		breq1 4847	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
74	72, 73	rmoi 3725	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑑 ∈ 𝐷 𝑑 ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∧ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩) ∧ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∼ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
75	23, 26, 70, 18, 71, 74	syl122anc 1491	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
76	75	fveq1d 6410	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0))
77		opex 5122	. . . 4 ⊢ ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V
78		s2fv0 13856	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩)
79	77, 78	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩
80		opex 5122	. . . 4 ⊢ ⟨𝐵, ∅⟩ ∈ V
81		s2fv0 13856	. . . 4 ⊢ (⟨𝐵, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩)
82	80, 81	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩
83	76, 79, 82	3eqtr3g 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩)
84		opthg 5135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩ ↔ (𝐴 = 𝐵 ∧ ∅ = ∅)))
85	84	simprbda 488	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ V) ∧ ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩) → 𝐴 = 𝐵)
86	1, 3, 83, 85	syl21anc 857	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1637   ∈ wcel 2156  ∀wral 3096  ∃!wreu 3098  ∃*wrmo 3099  {crab 3100  Vcvv 3391   ∖ cdif 3766   ∩ cin 3768  ∅c0 4116  {csn 4370  ⟨cop 4376  ⟨cotp 4378  ∪ ciun 4712   class class class wbr 4844   ↦ cmpt 4923   I cid 5218   × cxp 5309  ran crn 5312  Oncon0 5936  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6874   ↦ cmpt2 6876  1_𝑜c1o 7789  2_𝑜c2o 7790   Er wer 7976  [cec 7977   / cqs 7978  0cc0 10221  1c1 10222   − cmin 10551  ...cfz 12549  ..^cfzo 12689  ♯chash 13337  Word cword 13502   splice csplice 13507  ⟨“cs2 13810  Basecbs 16068  +_gcplusg 16153   /_s cqus 16370  freeMndcfrmd 17589  Grpcgrp 17627   ~_FG cefg 18320  freeGrpcfrgp 18321  var_FGrpcvrgp 18322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-ot 4379  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-ec 7981  df-qs 7985  df-map 8094  df-pm 8095  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-sup 8587  df-inf 8588  df-card 9048  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-xnn0 11630  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-rp 12047  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-hash 13338  df-word 13510  df-lsw 13511  df-concat 13512  df-s1 13513  df-substr 13514  df-splice 13515  df-reverse 13516  df-s2 13817  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-0g 16307  df-imas 16373  df-qus 16374  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-frmd 17591  df-grp 17630  df-efg 18323  df-frgp 18324  df-vrgp 18325

This theorem is referenced by:  frgpnabl  18479