Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdexb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdexb 13929
 Description: The set of words over a set is a set, bidirectional version. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdexb (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexb
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdexg 13928 . 2 (𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
2 opex 5327 . . . . . . . 8 ⟨0, 𝑠⟩ ∈ V
32snid 4561 . . . . . . 7 ⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩}
4 snopiswrd 13927 . . . . . . 7 (𝑠𝑆 → {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆)
5 elunii 4806 . . . . . . 7 ((⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩} ∧ {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ Word 𝑆)
63, 4, 5sylancr 590 . . . . . 6 (𝑠𝑆 → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ Word 𝑆)
7 c0ex 10678 . . . . . . 7 0 ∈ V
8 vex 3413 . . . . . . 7 𝑠 ∈ V
97, 8opeluu 5333 . . . . . 6 (⟨0, 𝑠⟩ ∈ Word 𝑆 → (0 ∈ Word 𝑆𝑠 Word 𝑆))
106, 9syl 17 . . . . 5 (𝑠𝑆 → (0 ∈ Word 𝑆𝑠 Word 𝑆))
1110simprd 499 . . . 4 (𝑠𝑆𝑠 Word 𝑆)
1211ssriv 3898 . . 3 𝑆 Word 𝑆
13 uniexg 7469 . . . 4 (Word 𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
14 uniexg 7469 . . . 4 ( Word 𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
15 uniexg 7469 . . . 4 ( Word 𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
1613, 14, 153syl 18 . . 3 (Word 𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
17 ssexg 5196 . . 3 ((𝑆 Word 𝑆 Word 𝑆 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
1812, 16, 17sylancr 590 . 2 (Word 𝑆 ∈ V → 𝑆 ∈ V)
191, 18impbii 212 1 (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  {csn 4525  ⟨cop 4531  ∪ cuni 4801  0cc0 10580  Word cword 13918 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-word 13919 This theorem is referenced by:  efgrcl  18913
 Copyright terms: Public domain W3C validator