Theorem wrdexb 14490

Description: The set of words over a set is a set, bidirectional version. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexb	⊢ (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexb

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdexg 14489	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
2		opex 5424	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ V
3	2	snid 4626	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩}
4		snopiswrd 14488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆)
5		elunii 4876	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩} ∧ {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆)
7		c0ex 11168	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
8		vex 3451	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
9	7, 8	opeluu 5430	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆 → (0 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆))
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → (0 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆))
11	10	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆)
12	11	ssriv 3950	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆
13		uniexg 7716	. . . 4 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → ∪ Word 𝑆 ∈ V)
14		uniexg 7716	. . . 4 ⊢ (∪ Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
15		uniexg 7716	. . . 4 ⊢ (∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
17		ssexg 5278	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
18	12, 16, 17	sylancr 587	. 2 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → 𝑆 ∈ V)
19	1, 18	impbii 209	1 ⊢ (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ⟨cop 4595  ∪ cuni 4871  0cc0 11068  Word cword 14478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-word 14479

This theorem is referenced by:  efgrcl  19645