Theorem wrdexb 14450

Description: The set of words over a set is a set, bidirectional version. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexb	⊢ (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexb

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdexg 14449	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
2		opex 5411	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ V
3	2	snid 4616	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩}
4		snopiswrd 14448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆)
5		elunii 4866	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩} ∧ {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆)
7		c0ex 11128	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
8		vex 3442	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
9	7, 8	opeluu 5417	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆 → (0 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆))
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → (0 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆))
11	10	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆)
12	11	ssriv 3941	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆
13		uniexg 7680	. . . 4 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → ∪ Word 𝑆 ∈ V)
14		uniexg 7680	. . . 4 ⊢ (∪ Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
15		uniexg 7680	. . . 4 ⊢ (∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
17		ssexg 5265	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
18	12, 16, 17	sylancr 587	. 2 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → 𝑆 ∈ V)
19	1, 18	impbii 209	1 ⊢ (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579  ⟨cop 4585  ∪ cuni 4861  0cc0 11028  Word cword 14438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-word 14439

This theorem is referenced by:  efgrcl  19612