Theorem wrdexb 14436

Description: The set of words over a set is a set, bidirectional version. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexb	⊢ (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexb

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdexg 14435	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ V → Word 𝑆 ∈ V)
2		opex 5409	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ V
3	2	snid 4616	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩}
4		snopiswrd 14434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆)
5		elunii 4865	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨0, 𝑠⟩ ∈ {⟨0, 𝑠⟩} ∧ {⟨0, 𝑠⟩} ∈ Word 𝑆) → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → ⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆)
7		c0ex 11115	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
8		vex 3441	. . . . . . 7 ⊢ 𝑠 ∈ V
9	7, 8	opeluu 5415	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 𝑠⟩ ∈ ∪ Word 𝑆 → (0 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆))
10	6, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → (0 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆))
11	10	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑆 → 𝑠 ∈ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆)
12	11	ssriv 3934	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆
13		uniexg 7681	. . . 4 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → ∪ Word 𝑆 ∈ V)
14		uniexg 7681	. . . 4 ⊢ (∪ Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
15		uniexg 7681	. . . 4 ⊢ (∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V)
17		ssexg 5265	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∧ ∪ ∪ ∪ Word 𝑆 ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
18	12, 16, 17	sylancr 587	. 2 ⊢ (Word 𝑆 ∈ V → 𝑆 ∈ V)
19	1, 18	impbii 209	1 ⊢ (𝑆 ∈ V ↔ Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ⟨cop 4583  ∪ cuni 4860  0cc0 11015  Word cword 14424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-word 14425

This theorem is referenced by:  efgrcl  19631