MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlk 28976
Description: The set of closed walks (in an undirected graph) as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlk.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
clwwlk.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlk (ClWWalksβ€˜πΊ) = {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)}
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺,𝑀   𝑀,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑀,𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem clwwlk
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-clwwlk 28975 . . 3 ClWWalks = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜π‘”) ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜π‘”) ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜π‘”))})
2 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Vtxβ€˜π‘”) = (Vtxβ€˜πΊ))
3 clwwlk.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
42, 3eqtr4di 2791 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Vtxβ€˜π‘”) = 𝑉)
5 wrdeq 14433 . . . . 5 ((Vtxβ€˜π‘”) = 𝑉 β†’ Word (Vtxβ€˜π‘”) = Word 𝑉)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 β†’ Word (Vtxβ€˜π‘”) = Word 𝑉)
7 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Edgβ€˜π‘”) = (Edgβ€˜πΊ))
8 clwwlk.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
97, 8eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Edgβ€˜π‘”) = 𝐸)
109eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 β†’ ({(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜π‘”) ↔ {(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
1110ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜π‘”) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
129eleq2d 2820 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 β†’ ({(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜π‘”) ↔ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸))
1311, 123anbi23d 1440 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜π‘”) ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜π‘”)) ↔ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)))
146, 13rabeqbidv 3423 . . 3 (𝑔 = 𝐺 β†’ {𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜π‘”) ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜π‘”) ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜π‘”))} = {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)})
15 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ V β†’ 𝐺 ∈ V)
163fvexi 6860 . . . . 5 𝑉 ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ V β†’ 𝑉 ∈ V)
18 wrdexg 14421 . . . 4 (𝑉 ∈ V β†’ Word 𝑉 ∈ V)
19 rabexg 5292 . . . 4 (Word 𝑉 ∈ V β†’ {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)} ∈ V)
2017, 18, 193syl 18 . . 3 (𝐺 ∈ V β†’ {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)} ∈ V)
211, 14, 15, 20fvmptd3 6975 . 2 (𝐺 ∈ V β†’ (ClWWalksβ€˜πΊ) = {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)})
22 fvprc 6838 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (ClWWalksβ€˜πΊ) = βˆ…)
23 noel 4294 . . . . . . . 8 Β¬ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ βˆ…
24 fvprc 6838 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (Edgβ€˜πΊ) = βˆ…)
258, 24eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ 𝐸 = βˆ…)
2625eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ ({(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸 ↔ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ βˆ…))
2723, 26mtbiri 327 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ Β¬ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)
2827adantr 482 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ Word 𝑉) β†’ Β¬ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)
2928intn3an3d 1482 . . . . 5 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ Word 𝑉) β†’ Β¬ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸))
3029ralrimiva 3140 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ βˆ€π‘€ ∈ Word 𝑉 Β¬ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸))
31 rabeq0 4348 . . . 4 ({𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ Word 𝑉 Β¬ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸))
3230, 31sylibr 233 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)} = βˆ…)
3322, 32eqtr4d 2776 . 2 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (ClWWalksβ€˜πΊ) = {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)})
3421, 33pm2.61i 182 1 (ClWWalksβ€˜πΊ) = {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286  {cpr 4592  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   βˆ’ cmin 11393  ..^cfzo 13576  β™―chash 14239  Word cword 14411  lastSclsw 14459  Vtxcvtx 27996  Edgcedg 28047  ClWWalkscclwwlk 28974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-clwwlk 28975
This theorem is referenced by:  isclwwlk  28977  clwwlksswrd  28980
  Copyright terms: Public domain W3C validator