MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlk 29236
Description: The set of closed walks (in an undirected graph) as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlk.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
clwwlk.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
clwwlk (ClWWalksβ€˜πΊ) = {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)}
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺,𝑀   𝑀,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑀,𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem clwwlk
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-clwwlk 29235 . . 3 ClWWalks = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜π‘”) ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜π‘”) ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜π‘”))})
2 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Vtxβ€˜π‘”) = (Vtxβ€˜πΊ))
3 clwwlk.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
42, 3eqtr4di 2791 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Vtxβ€˜π‘”) = 𝑉)
5 wrdeq 14486 . . . . 5 ((Vtxβ€˜π‘”) = 𝑉 β†’ Word (Vtxβ€˜π‘”) = Word 𝑉)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 β†’ Word (Vtxβ€˜π‘”) = Word 𝑉)
7 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Edgβ€˜π‘”) = (Edgβ€˜πΊ))
8 clwwlk.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
97, 8eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 β†’ (Edgβ€˜π‘”) = 𝐸)
109eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 β†’ ({(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜π‘”) ↔ {(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
1110ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜π‘”) ↔ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
129eleq2d 2820 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 β†’ ({(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜π‘”) ↔ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸))
1311, 123anbi23d 1440 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 β†’ ((𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜π‘”) ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜π‘”)) ↔ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)))
146, 13rabeqbidv 3450 . . 3 (𝑔 = 𝐺 β†’ {𝑀 ∈ Word (Vtxβ€˜π‘”) ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ (Edgβ€˜π‘”) ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ (Edgβ€˜π‘”))} = {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)})
15 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ V β†’ 𝐺 ∈ V)
163fvexi 6906 . . . . 5 𝑉 ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ V β†’ 𝑉 ∈ V)
18 wrdexg 14474 . . . 4 (𝑉 ∈ V β†’ Word 𝑉 ∈ V)
19 rabexg 5332 . . . 4 (Word 𝑉 ∈ V β†’ {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)} ∈ V)
2017, 18, 193syl 18 . . 3 (𝐺 ∈ V β†’ {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)} ∈ V)
211, 14, 15, 20fvmptd3 7022 . 2 (𝐺 ∈ V β†’ (ClWWalksβ€˜πΊ) = {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)})
22 fvprc 6884 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (ClWWalksβ€˜πΊ) = βˆ…)
23 noel 4331 . . . . . . . 8 Β¬ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ βˆ…
24 fvprc 6884 . . . . . . . . . 10 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (Edgβ€˜πΊ) = βˆ…)
258, 24eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ 𝐸 = βˆ…)
2625eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ ({(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸 ↔ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ βˆ…))
2723, 26mtbiri 327 . . . . . . 7 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ Β¬ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)
2827adantr 482 . . . . . 6 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ Word 𝑉) β†’ Β¬ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)
2928intn3an3d 1482 . . . . 5 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ Word 𝑉) β†’ Β¬ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸))
3029ralrimiva 3147 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ βˆ€π‘€ ∈ Word 𝑉 Β¬ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸))
31 rabeq0 4385 . . . 4 ({𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘€ ∈ Word 𝑉 Β¬ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸))
3230, 31sylibr 233 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)} = βˆ…)
3322, 32eqtr4d 2776 . 2 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (ClWWalksβ€˜πΊ) = {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)})
3421, 33pm2.61i 182 1 (ClWWalksβ€˜πΊ) = {𝑀 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑀 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^((β™―β€˜π‘€) βˆ’ 1)){(π‘€β€˜π‘–), (π‘€β€˜(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastSβ€˜π‘€), (π‘€β€˜0)} ∈ 𝐸)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  {cpr 4631  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   βˆ’ cmin 11444  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  Word cword 14464  lastSclsw 14512  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307  ClWWalkscclwwlk 29234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-clwwlk 29235
This theorem is referenced by:  isclwwlk  29237  clwwlksswrd  29240
  Copyright terms: Public domain W3C validator