Theorem clwwlk 28066

Description: The set of closed walks (in an undirected graph) as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlk	⊢ (ClWWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)}

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺,𝑤   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤,𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem clwwlk

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-clwwlk 28065	. . 3 ⊢ ClWWalks = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝑔))})
2		fveq2 6717	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
3		clwwlk.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	2, 3	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
5		wrdeq 14091	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
7		fveq2 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = (Edg‘𝐺))
8		clwwlk.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9	7, 8	eqtr4di 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = 𝐸)
10	9	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
11	10	ralbidv 3118	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
12	9	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ({(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸))
13	11, 12	3anbi23d 1441	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝑔)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)))
14	6, 13	rabeqbidv 3396	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝑔))} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)})
15		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
16	3	fvexi 6731	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑉 ∈ V)
18		wrdexg 14079	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → Word 𝑉 ∈ V)
19		rabexg 5224	. . . 4 ⊢ (Word 𝑉 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)} ∈ V)
20	17, 18, 19	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)} ∈ V)
21	1, 14, 15, 20	fvmptd3 6841	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (ClWWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)})
22		fvprc 6709	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ClWWalks‘𝐺) = ∅)
23		noel 4245	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ∅
24		fvprc 6709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (Edg‘𝐺) = ∅)
25	8, 24	syl5eq 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝐸 = ∅)
26	25	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ({(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ∅))
27	23, 26	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)
28	27	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ¬ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)
29	28	intn3an3d 1483	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸))
30	29	ralrimiva 3105	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸))
31		rabeq0 4299	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸))
32	30, 31	sylibr 237	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)} = ∅)
33	22, 32	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ClWWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)})
34	21, 33	pm2.61i 185	1 ⊢ (ClWWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3408  ∅c0 4237  {cpr 4543  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   − cmin 11062  ..^cfzo 13238  ♯chash 13896  Word cword 14069  lastSclsw 14117  Vtxcvtx 27087  Edgcedg 27138  ClWWalkscclwwlk 28064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-clwwlk 28065

This theorem is referenced by:  isclwwlk  28067  clwwlksswrd  28070