Theorem clwwlk 30371

Description: The set of closed walks (in an undirected graph) as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlk.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlk.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
clwwlk	⊢ (ClWWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)}

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺,𝑤   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤, 𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem clwwlk

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-clwwlk 30370	. . 3 ⊢ ClWWalks = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝑔))})
2		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
3		clwwlk.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	2, 3	eqtr4di 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
5		wrdeq 14593	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
7		fveq2 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = (Edg‘𝐺))
8		clwwlk.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9	7, 8	eqtr4di 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = 𝐸)
10	9	eleq2d 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
11	10	ralbidv 3191	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
12	9	eleq2d 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ({(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸))
13	11, 12	3anbi23d 1467	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝑔)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)))
14	6, 13	rabeqbidv 3437	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ (Edg‘𝑔))} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)})
15		id 23	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
16	3	fvexi 6902	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑉 ∈ V)
18		wrdexg 14581	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → Word 𝑉 ∈ V)
19		rabexg 5313	. . . 4 ⊢ (Word 𝑉 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)} ∈ V)
20	17, 18, 19	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)} ∈ V)
21	1, 14, 15, 20	fvmptd3 7020	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (ClWWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)})
22		fvprc 6880	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ClWWalks‘𝐺) = ∅)
23		noel 4294	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ∅
24		fvprc 6880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (Edg‘𝐺) = ∅)
25	8, 24	eqtrid 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝐸 = ∅)
26	25	eleq2d 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ({(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ∅))
27	23, 26	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ¬ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ¬ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)
29	28	intn3an3d 1512	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉) → ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸))
30	29	ralrimiva 3160	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸))
31		rabeq0 4348	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸))
32	30, 31	sylibr 237	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)} = ∅)
33	22, 32	eqtr4d 2804	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (ClWWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)})
34	21, 33	pm2.61i 184	1 ⊢ (ClWWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ 𝐸)}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  {crab 3419  Vcvv 3458  ∅c0 4289  {cpr 4596  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   − cmin 11459  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570  lastSclsw 14619  Vtxcvtx 29383  Edgcedg 29434  ClWWalkscclwwlk 30369

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-clwwlk 30370

This theorem is used by:  isclwwlk  30372  clwwlksswrd  30375