MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vrgpf 18381
Description: The mapping from the index set to the generators is a function into the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r = ( ~FG𝐼)
vrgpfval.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
vrgpf.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpf.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vrgpf (𝐼𝑉𝑈:𝐼𝑋)

Proof of Theorem vrgpf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4924 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
21prid1 4433 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
3 df2o3 7725 . . . . . . . . 9 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
42, 3eleqtrri 2849 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 2𝑜
5 opelxpi 5286 . . . . . . . 8 ((𝑗𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
64, 5mpan2 671 . . . . . . 7 (𝑗𝐼 → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
76adantl 467 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
87s1cld 13576 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
9 2on 7720 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ On
10 xpexg 7105 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
119, 10mpan2 671 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
1211adantr 466 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
13 wrdexg 13504 . . . . . 6 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
14 fvi 6395 . . . . . 6 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1512, 13, 143syl 18 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
168, 15eleqtrrd 2853 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
17 vrgpf.m . . . . 5 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
18 vrgpfval.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
19 eqid 2771 . . . . 5 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
20 vrgpf.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
2117, 18, 19, 20frgpeccl 18374 . . . 4 (⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] 𝑋)
2216, 21syl 17 . . 3 ((𝐼𝑉𝑗𝐼) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] 𝑋)
23 eqid 2771 . . 3 (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ) = (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] )
2422, 23fmptd 6525 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ):𝐼𝑋)
25 vrgpfval.u . . . 4 𝑈 = (varFGrp𝐼)
2618, 25vrgpfval 18379 . . 3 (𝐼𝑉𝑈 = (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ))
2726feq1d 6168 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑈:𝐼𝑋 ↔ (𝑗𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ):𝐼𝑋))
2824, 27mpbird 247 1 (𝐼𝑉𝑈:𝐼𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  c0 4063  {cpr 4318  cop 4322  cmpt 4863   I cid 5156   × cxp 5247  Oncon0 5864  wf 6025  cfv 6029  1𝑜c1o 7704  2𝑜c2o 7705  [cec 7892  Word cword 13480  ⟨“cs1 13483  Basecbs 16057   ~FG cefg 18319  freeGrpcfrgp 18320  varFGrpcvrgp 18321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-ec 7896  df-qs 7900  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-fz 12527  df-fzo 12667  df-hash 13315  df-word 13488  df-s1 13491  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-plusg 16155  df-mulr 16156  df-sca 16158  df-vsca 16159  df-ip 16160  df-tset 16161  df-ple 16162  df-ds 16165  df-imas 16369  df-qus 16370  df-frmd 17587  df-frgp 18323  df-vrgp 18324
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18390  frgpup3  18391  0frgp  18392  frgpnabllem2  18477  frgpnabl  18478  frgpcyg  20130
  Copyright terms: Public domain W3C validator