Theorem vrgpf 19838

Description: The mapping from the index set to the generators is a function into the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vrgpfval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
vrgpfval.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
vrgpf.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vrgpf	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶𝑋)

Proof of Theorem vrgpf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vrgpfval.r	. . 3 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2		vrgpfval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
3	1, 2	vrgpfval 19836	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ))
4		0ex 5272	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	prid1 4733	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
6		df2o3 8461	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
7	5, 6	eleqtrri 2868	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 2o
8		opelxpi 5699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
9	7, 8	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
10	9	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
11	10	s1cld 14641	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
12		2on 8467	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
13		xpexg 7749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
14	12, 13	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
16		wrdexg 14561	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
17		fvi 6958	. . . . 5 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
18	15, 16, 17	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
19	11, 18	eleqtrrd 2872	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
20		vrgpf.m	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
21		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
22		vrgpf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
23	20, 1, 21, 22	frgpeccl 19831	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ∈ 𝑋)
24	19, 23	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ∈ 𝑋)
25	3, 24	fmpt3d 7112	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ∅c0 4294  {cpr 4596  ⟨cop 4600   I cid 5556   × cxp 5660  Oncon0 6361  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447  [cec 8692  Word cword 14550  ⟨“cs1 14633  Basecbs 17269   ~_FG cefg 19776  freeGrpcfrgp 19777  var_FGrpcvrgp 19778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-s1 14634  df-struct 17207  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-imas 17562  df-qus 17563  df-frmd 18908  df-frgp 19780  df-vrgp 19781

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19847  frgpup3  19848  0frgp  19849  frgpnabllem2  19944  frgpnabl  19945  frgpcyg  21692