Theorem vrgpf 19680

Description: The mapping from the index set to the generators is a function into the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vrgpfval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
vrgpfval.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
vrgpf.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vrgpf	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶𝑋)

Proof of Theorem vrgpf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vrgpfval.r	. . 3 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2		vrgpfval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
3	1, 2	vrgpfval 19678	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ))
4		0ex 5243	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	prid1 4712	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
6		df2o3 8393	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
7	5, 6	eleqtrri 2830	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 2o
8		opelxpi 5651	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
9	7, 8	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
11	10	s1cld 14511	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
12		2on 8398	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
13		xpexg 7683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
14	12, 13	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
16		wrdexg 14431	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
17		fvi 6898	. . . . 5 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
19	11, 18	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
20		vrgpf.m	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
21		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
22		vrgpf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
23	20, 1, 21, 22	frgpeccl 19673	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ∈ 𝑋)
24	19, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ∈ 𝑋)
25	3, 24	fmpt3d 7049	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4280  {cpr 4575  ⟨cop 4579   I cid 5508   × cxp 5612  Oncon0 6306  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  1_oc1o 8378  2_oc2o 8379  [cec 8620  Word cword 14420  ⟨“cs1 14503  Basecbs 17120   ~_FG cefg 19618  freeGrpcfrgp 19619  var_FGrpcvrgp 19620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-s1 14504  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-imas 17412  df-qus 17413  df-frmd 18757  df-frgp 19622  df-vrgp 19623

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19689  frgpup3  19690  0frgp  19691  frgpnabllem2  19786  frgpnabl  19787  frgpcyg  21510