Theorem vrgpf 19289

Description: The mapping from the index set to the generators is a function into the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vrgpfval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
vrgpfval.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
vrgpf.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vrgpf	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶𝑋)

Proof of Theorem vrgpf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vrgpfval.r	. . 3 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2		vrgpfval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
3	1, 2	vrgpfval 19287	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ))
4		0ex 5226	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	prid1 4695	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
6		df2o3 8282	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
7	5, 6	eleqtrri 2838	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 2o
8		opelxpi 5617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
9	7, 8	mpan2 687	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
11	10	s1cld 14236	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
12		2on 8275	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
13		xpexg 7578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
14	12, 13	mpan2 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
16		wrdexg 14155	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
17		fvi 6826	. . . . 5 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
19	11, 18	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
20		vrgpf.m	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
21		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
22		vrgpf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
23	20, 1, 21, 22	frgpeccl 19282	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ∈ 𝑋)
24	19, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ∈ 𝑋)
25	3, 24	fmpt3d 6972	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  {cpr 4560  ⟨cop 4564   I cid 5479   × cxp 5578  Oncon0 6251  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  1_oc1o 8260  2_oc2o 8261  [cec 8454  Word cword 14145  ⟨“cs1 14228  Basecbs 16840   ~_FG cefg 19227  freeGrpcfrgp 19228  var_FGrpcvrgp 19229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-s1 14229  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-imas 17136  df-qus 17137  df-frmd 18403  df-frgp 19231  df-vrgp 19232

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19298  frgpup3  19299  0frgp  19300  frgpnabllem2  19390  frgpnabl  19391  frgpcyg  20693