Theorem vrgpf 19833

Description: The mapping from the index set to the generators is a function into the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vrgpfval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
vrgpfval.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
vrgpf.m	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
vrgpf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vrgpf	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶𝑋)

Proof of Theorem vrgpf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vrgpfval.r	. . 3 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
2		vrgpfval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
3	1, 2	vrgpfval 19831	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ))
4		0ex 5270	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	prid1 4728	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
6		df2o3 8457	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
7	5, 6	eleqtrri 2862	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 2o
8		opelxpi 5698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
9	7, 8	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
10	9	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨𝑗, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
11	10	s1cld 14637	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
12		2on 8463	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
13		xpexg 7745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
14	12, 13	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
16		wrdexg 14557	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
17		fvi 6957	. . . . 5 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
18	15, 16, 17	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
19	11, 18	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → ⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)))
20		vrgpf.m	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
22		vrgpf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
23	20, 1, 21, 22	frgpeccl 19826	. . 3 ⊢ (⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩ ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ∈ 𝑋)
24	19, 23	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → [⟨“⟨𝑗, ∅⟩”⟩] ∼ ∈ 𝑋)
25	3, 24	fmpt3d 7111	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286  {cpr 4591  ⟨cop 4595   I cid 5555   × cxp 5659  Oncon0 6360  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  1_oc1o 8442  2_oc2o 8443  [cec 8688  Word cword 14546  ⟨“cs1 14629  Basecbs 17264   ~_FG cefg 19771  freeGrpcfrgp 19772  var_FGrpcvrgp 19773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-s1 14630  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-imas 17557  df-qus 17558  df-frmd 18903  df-frgp 19775  df-vrgp 19776

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  19842  frgpup3  19843  0frgp  19844  frgpnabllem2  19939  frgpnabl  19940  frgpcyg  21723