Theorem elovmptnn0wrd 14707

Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a function of nonnegative integers into a class abstraction of words as a result having an element. Note that 𝜑 may depend on 𝑧 as well as on 𝑣 and 𝑦 and 𝑛. (Contributed by AV, 16-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-May-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
elovmptnn0wrd.o	⊢ 𝑂 = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑧 ∈ Word 𝑣 ∣ 𝜑}))

Assertion

Ref	Expression
elovmptnn0wrd	⊢ (𝑍 ∈ ((𝑉𝑂𝑌)‘𝑁) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑣,𝑦,𝑧   𝑛,𝑁,𝑧   𝑛,𝑌,𝑣,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑧, 𝑣, 𝑛)   𝑁(𝑦, 𝑣)   𝑂(𝑦, 𝑧, 𝑣, 𝑛)   𝑍(𝑦, 𝑣, 𝑛)

Proof of Theorem elovmptnn0wrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmptnn0wrd.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑧 ∈ Word 𝑣 ∣ 𝜑}))
2	1	elovmpt3imp 7678	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ((𝑉𝑂𝑌)‘𝑁) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
3		wrdexg 14672	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → Word 𝑉 ∈ V)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → Word 𝑉 ∈ V)
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ((𝑉𝑂𝑌)‘𝑁) → Word 𝑉 ∈ V)
6		nn0ex 12615	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	5, 6	jctil 529	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ((𝑉𝑂𝑌)‘𝑁) → (ℕ0 ∈ V ∧ Word 𝑉 ∈ V))
8		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ℕ0 = ℕ0)
9		wrdeq 14684	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → Word 𝑣 = Word 𝑉)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ 𝑦 = 𝑌) → Word 𝑣 = Word 𝑉)
11	1, 8, 10	elovmpt3rab1 7681	. 2 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ Word 𝑉 ∈ V) → (𝑍 ∈ ((𝑉𝑂𝑌)‘𝑁) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))))
12	7, 11	mpcom 39	1 ⊢ (𝑍 ∈ ((𝑉𝑂𝑌)‘𝑁) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ℕ₀cn0 12609  Word cword 14661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662

This theorem is used by: (None)