Theorem elovmptnn0wrd 14684

Description: Implications for the value of an operation defined by the maps-to notation with a function of nonnegative integers into a class abstraction of words as a result having an element. Note that 𝜑 may depend on 𝑧 as well as on 𝑣 and 𝑦 and 𝑛. (Contributed by AV, 16-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-May-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
elovmptnn0wrd.o	⊢ 𝑂 = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑧 ∈ Word 𝑣 ∣ 𝜑}))

Assertion

Ref	Expression
elovmptnn0wrd	⊢ (𝑍 ∈ ((𝑉𝑂𝑌)‘𝑁) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑉,𝑣,𝑦,𝑧   𝑛,𝑁,𝑧   𝑛,𝑌,𝑣,𝑦,𝑧   𝑧,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑧, 𝑣, 𝑛)   𝑁(𝑦, 𝑣)   𝑂(𝑦, 𝑧, 𝑣, 𝑛)   𝑍(𝑦, 𝑣, 𝑛)

Proof of Theorem elovmptnn0wrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elovmptnn0wrd.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑣 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑧 ∈ Word 𝑣 ∣ 𝜑}))
2	1	elovmpt3imp 7670	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ((𝑉𝑂𝑌)‘𝑁) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V))
3		wrdexg 14649	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → Word 𝑉 ∈ V)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → Word 𝑉 ∈ V)
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ((𝑉𝑂𝑌)‘𝑁) → Word 𝑉 ∈ V)
6		nn0ex 12593	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	5, 6	jctil 529	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ ((𝑉𝑂𝑌)‘𝑁) → (ℕ0 ∈ V ∧ Word 𝑉 ∈ V))
8		eqidd 2762	. . 3 ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ℕ0 = ℕ0)
9		wrdeq 14661	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → Word 𝑣 = Word 𝑉)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑣 = 𝑉 ∧ 𝑦 = 𝑌) → Word 𝑣 = Word 𝑉)
11	1, 8, 10	elovmpt3rab1 7673	. 2 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ Word 𝑉 ∈ V) → (𝑍 ∈ ((𝑉𝑂𝑌)‘𝑁) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉))))
12	7, 11	mpcom 39	1 ⊢ (𝑍 ∈ ((𝑉𝑂𝑌)‘𝑁) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ Word 𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℕ₀cn0 12587  Word cword 14638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639

This theorem is used by: (None)