Theorem frmdbas 18491

Description: The base set of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdbas.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
frmdbas	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)

Proof of Theorem frmdbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdbas.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		frmdbas.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
3		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → Word 𝐼 = Word 𝐼)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼)) = ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))
5	2, 3, 4	frmdval 18490	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), Word 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))⟩})
6	5	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), Word 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))⟩}))
7		wrdexg 14227	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → Word 𝐼 ∈ V)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), Word 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))⟩} = {⟨(Base‘ndx), Word 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))⟩}
9	8	grpbase 16996	. . . 4 ⊢ (Word 𝐼 ∈ V → Word 𝐼 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), Word 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))⟩}))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → Word 𝐼 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), Word 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))⟩}))
11	6, 10	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
12	1, 11	eqtrid 2790	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  {cpr 4563  ⟨cop 4567   × cxp 5587   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  Word cword 14217   ++ cconcat 14273  ndxcnx 16894  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  freeMndcfrmd 18486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-frmd 18488

This theorem is referenced by:  frmdelbas  18492  frmdplusg  18493  frmdmnd  18498  frmd0  18499  frmdsssubm  18500  frmdgsum  18501  frmdup1  18503  frmdup3lem  18505  frmdup3  18506  frgpcpbl  19365  frgp0  19366  frgpeccl  19367  frgpadd  19369  frgpmhm  19371  frgpupf  19379  frgpup1  19381  frgpup3lem  19383  frgpnabllem2  19475  mrsubcv  33472  mrsubff  33474  mrsubccat  33480  elmrsubrn  33482