Theorem frmdbas 18878

Description: The base set of a free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdbas.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
frmdbas	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)

Proof of Theorem frmdbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdbas.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		frmdbas.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
3		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → Word 𝐼 = Word 𝐼)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼)) = ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))
5	2, 3, 4	frmdval 18877	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), Word 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))⟩})
6	5	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), Word 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))⟩}))
7		wrdexg 14559	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → Word 𝐼 ∈ V)
8		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), Word 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))⟩} = {⟨(Base‘ndx), Word 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))⟩}
9	8	grpbase 17332	. . . 4 ⊢ (Word 𝐼 ∈ V → Word 𝐼 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), Word 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))⟩}))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → Word 𝐼 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), Word 𝐼⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ++ ↾ (Word 𝐼 × Word 𝐼))⟩}))
11	6, 10	eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
12	1, 11	eqtrid 2787	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = Word 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {cpr 4633  ⟨cop 4637   × cxp 5687   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  freeMndcfrmd 18873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-frmd 18875

This theorem is referenced by:  frmdelbas  18879  frmdplusg  18880  frmdmnd  18885  frmd0  18886  frmdsssubm  18887  frmdgsum  18888  frmdup1  18890  frmdup3lem  18892  frmdup3  18893  frgpcpbl  19792  frgp0  19793  frgpeccl  19794  frgpadd  19796  frgpmhm  19798  frgpupf  19806  frgpup1  19808  frgpup3lem  19810  frgpnabllem2  19907  mrsubcv  35495  mrsubff  35497  mrsubccat  35503  elmrsubrn  35505