Theorem tocycval 33084

Description: Value of the cycle builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycval	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))

Distinct variable group:   𝑢,𝐷,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑢)   𝑉(𝑤,𝑢)

Proof of Theorem tocycval

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. 2 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		df-tocyc 33083	. . 3 ⊢ toCyc = (𝑑 ∈ V ↦ (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} ↦ (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
3		wrdeq 14445	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → Word 𝑑 = Word 𝐷)
4		f1eq3 6721	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
5	3, 4	rabeqbidv 3414	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} = {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷})
6		difeq1 4068	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ∖ ran 𝑤) = (𝐷 ∖ ran 𝑤))
7	6	reseq2d 5932	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)))
8	7	uneq1d 4116	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)))
9	5, 8	mpteq12dv 5180	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} ↦ (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))) = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
10		elex 3458	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ V)
11		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} = {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷}
12		wrdexg 14433	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → Word 𝐷 ∈ V)
13	11, 12	rabexd 5280	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ∈ V)
14	13	mptexd 7164	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))) ∈ V)
15	2, 9, 10, 14	fvmptd3 6958	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (toCyc‘𝐷) = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
16	1, 15	eqtrid 2780	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ↦ cmpt 5174   I cid 5513  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619  ran crn 5620   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  –1-1→wf1 6483  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  1c1 11014  Word cword 14422   cyclShift ccsh 14697  toCycctocyc 33082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-tocyc 33083

This theorem is referenced by:  tocycfv  33085  tocycf  33093