Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocycval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tocycval 32858
Description: Value of the cycle builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tocycval (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
Distinct variable group:   𝑒,𝐷,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑀,𝑒)   𝑉(𝑀,𝑒)

Proof of Theorem tocycval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocycval.1 . 2 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 df-tocyc 32857 . . 3 toCyc = (𝑑 ∈ V ↦ (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝑑} ↦ (( I β†Ύ (𝑑 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
3 wrdeq 14528 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ Word 𝑑 = Word 𝐷)
4 f1eq3 6795 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑒:dom 𝑒–1-1→𝑑 ↔ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
53, 4rabeqbidv 3448 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ {𝑒 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝑑} = {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷})
6 difeq1 4115 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 βˆ– ran 𝑀) = (𝐷 βˆ– ran 𝑀))
76reseq2d 5989 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ ( I β†Ύ (𝑑 βˆ– ran 𝑀)) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)))
87uneq1d 4163 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ (( I β†Ύ (𝑑 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀)) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀)))
95, 8mpteq12dv 5243 . . 3 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝑑} ↦ (( I β†Ύ (𝑑 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))) = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
10 elex 3492 . . 3 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 ∈ V)
11 eqid 2728 . . . . 5 {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} = {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷}
12 wrdexg 14516 . . . . 5 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ Word 𝐷 ∈ V)
1311, 12rabexd 5339 . . . 4 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ∈ V)
1413mptexd 7242 . . 3 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))) ∈ V)
152, 9, 10, 14fvmptd3 7033 . 2 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (toCycβ€˜π·) = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
161, 15eqtrid 2780 1 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ↦ cmpt 5235   I cid 5579  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  β€“1-1β†’wf1 6550  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11149  Word cword 14506   cyclShift ccsh 14780  toCycctocyc 32856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-hash 14332  df-word 14507  df-tocyc 32857
This theorem is referenced by:  tocycfv  32859  tocycf  32867
  Copyright terms: Public domain W3C validator