Theorem tocycval 33715

Description: Value of the cycle builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycval	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))

Distinct variable group:   𝑢,𝐷,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤, 𝑢)   𝑉(𝑤, 𝑢)

Proof of Theorem tocycval

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. 2 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		df-tocyc 33714	. . 3 ⊢ toCyc = (𝑑 ∈ V ↦ (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} ↦ (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
3		wrdeq 14684	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → Word 𝑑 = Word 𝐷)
4		f1eq3 6775	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
5	3, 4	rabeqbidv 3429	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} = {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷})
6		difeq1 4056	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ∖ ran 𝑤) = (𝐷 ∖ ran 𝑤))
7	6	reseq2d 5969	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)))
8	7	uneq1d 4166	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)))
9	5, 8	mpteq12dv 5191	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} ↦ (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))) = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
10		elex 3471	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ V)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} = {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷}
12		wrdexg 14672	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → Word 𝐷 ∈ V)
13	11, 12	rabexd 5300	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ∈ V)
14	13	mptexd 7230	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))) ∈ V)
15	2, 9, 10, 14	fvmptd3 7017	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (toCyc‘𝐷) = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
16	1, 15	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149   ↦ cmpt 5185   I cid 5544  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  –1-1→wf1 6535  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11204  Word cword 14661   cyclShift ccsh 14943  toCycctocyc 33713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-tocyc 33714

This theorem is used by:  tocycfv  33716  tocycf  33724