Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tocycval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tocycval 32006
Description: Value of the cycle builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
tocycval.1 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tocycval (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
Distinct variable group:   𝑒,𝐷,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑀,𝑒)   𝑉(𝑀,𝑒)

Proof of Theorem tocycval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tocycval.1 . 2 𝐢 = (toCycβ€˜π·)
2 df-tocyc 32005 . . 3 toCyc = (𝑑 ∈ V ↦ (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝑑} ↦ (( I β†Ύ (𝑑 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
3 wrdeq 14430 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ Word 𝑑 = Word 𝐷)
4 f1eq3 6736 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑒:dom 𝑒–1-1→𝑑 ↔ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷))
53, 4rabeqbidv 3423 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ {𝑒 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝑑} = {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷})
6 difeq1 4076 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑑 βˆ– ran 𝑀) = (𝐷 βˆ– ran 𝑀))
76reseq2d 5938 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ ( I β†Ύ (𝑑 βˆ– ran 𝑀)) = ( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)))
87uneq1d 4123 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ (( I β†Ύ (𝑑 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀)) = (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀)))
95, 8mpteq12dv 5197 . . 3 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝑑} ↦ (( I β†Ύ (𝑑 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))) = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
10 elex 3462 . . 3 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 ∈ V)
11 eqid 2733 . . . . 5 {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} = {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷}
12 wrdexg 14418 . . . . 5 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ Word 𝐷 ∈ V)
1311, 12rabexd 5291 . . . 4 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ∈ V)
1413mptexd 7175 . . 3 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))) ∈ V)
152, 9, 10, 14fvmptd3 6972 . 2 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ (toCycβ€˜π·) = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
161, 15eqtrid 2785 1 (𝐷 ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 = (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑒:dom 𝑒–1-1→𝐷} ↦ (( I β†Ύ (𝐷 βˆ– ran 𝑀)) βˆͺ ((𝑀 cyclShift 1) ∘ ◑𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ↦ cmpt 5189   I cid 5531  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€“1-1β†’wf1 6494  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057  Word cword 14408   cyclShift ccsh 14682  toCycctocyc 32004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-hash 14237  df-word 14409  df-tocyc 32005
This theorem is referenced by:  tocycfv  32007  tocycf  32015
  Copyright terms: Public domain W3C validator