Theorem tocycval 31094

Description: Value of the cycle builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycval	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))

Distinct variable group:   𝑢,𝐷,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑢)   𝑉(𝑤,𝑢)

Proof of Theorem tocycval

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. 2 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		df-tocyc 31093	. . 3 ⊢ toCyc = (𝑑 ∈ V ↦ (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} ↦ (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
3		wrdeq 14091	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → Word 𝑑 = Word 𝐷)
4		f1eq3 6612	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
5	3, 4	rabeqbidv 3396	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} = {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷})
6		difeq1 4030	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ∖ ran 𝑤) = (𝐷 ∖ ran 𝑤))
7	6	reseq2d 5851	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)))
8	7	uneq1d 4076	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)))
9	5, 8	mpteq12dv 5140	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} ↦ (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))) = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
10		elex 3426	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ V)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} = {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷}
12		wrdexg 14079	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → Word 𝐷 ∈ V)
13	11, 12	rabexd 5226	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ∈ V)
14	13	mptexd 7040	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))) ∈ V)
15	2, 9, 10, 14	fvmptd3 6841	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (toCyc‘𝐷) = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
16	1, 15	syl5eq 2790	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  {crab 3065  Vcvv 3408   ∖ cdif 3863   ∪ cun 3864   ↦ cmpt 5135   I cid 5454  ^◡ccnv 5550  dom cdm 5551  ran crn 5552   ↾ cres 5553   ∘ ccom 5555  –1-1→wf1 6377  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  1c1 10730  Word cword 14069   cyclShift ccsh 14353  toCycctocyc 31092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-tocyc 31093

This theorem is referenced by:  tocycfv  31095  tocycf  31103