Theorem tocycval 33249

Description: Value of the cycle builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycval	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))

Distinct variable group:   𝑢,𝐷,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑢)   𝑉(𝑤,𝑢)

Proof of Theorem tocycval

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. 2 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		df-tocyc 33248	. . 3 ⊢ toCyc = (𝑑 ∈ V ↦ (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} ↦ (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
3		wrdeq 14546	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → Word 𝑑 = Word 𝐷)
4		f1eq3 6753	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
5	3, 4	rabeqbidv 3431	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} = {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷})
6		difeq1 4073	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ∖ ran 𝑤) = (𝐷 ∖ ran 𝑤))
7	6	reseq2d 5963	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)))
8	7	uneq1d 4120	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)))
9	5, 8	mpteq12dv 5186	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} ↦ (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))) = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
10		elex 3474	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ V)
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} = {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷}
12		wrdexg 14534	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → Word 𝐷 ∈ V)
13	11, 12	rabexd 5295	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ∈ V)
14	13	mptexd 7204	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))) ∈ V)
15	2, 9, 10, 14	fvmptd3 6995	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (toCyc‘𝐷) = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
16	1, 15	eqtrid 2808	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ↦ cmpt 5180   I cid 5539  ^◡ccnv 5644  dom cdm 5645  ran crn 5646   ↾ cres 5647   ∘ ccom 5649  –1-1→wf1 6514  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1c1 11071  Word cword 14523   cyclShift ccsh 14798  toCycctocyc 33247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-tocyc 33248

This theorem is referenced by:  tocycfv  33250  tocycf  33258