Theorem tocycval 31375

Description: Value of the cycle builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
tocycval.1	⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tocycval	⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))

Distinct variable group:   𝑢,𝐷,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑢)   𝑉(𝑤,𝑢)

Proof of Theorem tocycval

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tocycval.1	. 2 ⊢ 𝐶 = (toCyc‘𝐷)
2		df-tocyc 31374	. . 3 ⊢ toCyc = (𝑑 ∈ V ↦ (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} ↦ (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
3		wrdeq 14239	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → Word 𝑑 = Word 𝐷)
4		f1eq3 6667	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑 ↔ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷))
5	3, 4	rabeqbidv 3420	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} = {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷})
6		difeq1 4050	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑑 ∖ ran 𝑤) = (𝐷 ∖ ran 𝑤))
7	6	reseq2d 5891	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) = ( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)))
8	7	uneq1d 4096	. . . 4 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)) = (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤)))
9	5, 8	mpteq12dv 5165	. . 3 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝑑 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝑑} ↦ (( I ↾ (𝑑 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))) = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
10		elex 3450	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐷 ∈ V)
11		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} = {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷}
12		wrdexg 14227	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → Word 𝐷 ∈ V)
13	11, 12	rabexd 5257	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ∈ V)
14	13	mptexd 7100	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))) ∈ V)
15	2, 9, 10, 14	fvmptd3 6898	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (toCyc‘𝐷) = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))
16	1, 15	eqtrid 2790	1 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ Word 𝐷 ∣ 𝑢:dom 𝑢–1-1→𝐷} ↦ (( I ↾ (𝐷 ∖ ran 𝑤)) ∪ ((𝑤 cyclShift 1) ∘ ◡𝑤))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ↦ cmpt 5157   I cid 5488  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590   ↾ cres 5591   ∘ ccom 5593  –1-1→wf1 6430  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872  Word cword 14217   cyclShift ccsh 14501  toCycctocyc 31373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-tocyc 31374

This theorem is referenced by:  tocycfv  31376  tocycf  31384