Theorem wrdnfi 14584

Description: If there is only a finite number of symbols, the number of words of a fixed length over these symbols is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) Remove unnecessary antecedent. (Revised by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdnfi	⊢ (𝑉 ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉

Proof of Theorem wrdnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashwrdn 14583	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) = ((♯‘𝑉)↑𝑁))
2		hashcl 14391	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
3		nn0expcl 14110	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉)↑𝑁) ∈ ℕ0)
4	2, 3	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉)↑𝑁) ∈ ℕ0)
5	1, 4	eqeltrd 2869	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0)
6	5	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0))
7		lencl 14569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
8		eleq1 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → ((♯‘𝑤) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
9	7, 8	syl5ibcom 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑤) = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
10	9	con3rr3 156	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁))
11	10	ralrimiv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
12		rabeq0 4352	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
13	11, 12	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅)
14	13	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) = (♯‘∅))
15		hash0 14402	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) = 0)
17		0nn0 12518	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
18	16, 17	eqeltrdi 2877	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0)
19	6, 18	pm2.61d1 182	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0)
20		wrdexg 14560	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → Word 𝑉 ∈ V)
21		rabexg 5308	. . 3 ⊢ (Word 𝑉 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ V)
22		hashclb 14393	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ V → ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin ↔ (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0))
23	20, 21, 22	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin ↔ (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0))
24	19, 23	mpbird 260	1 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423  Vcvv 3463  ∅c0 4294  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  0cc0 11099  ℕ₀cn0 12503  ↑cexp 14096  ♯chash 14365  Word cword 14549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-word 14550

This theorem is referenced by:  chnflenfi  18683  wwlksnfi  30195  clwwlknfi  30336