Theorem wrdnfi 14551

Description: If there is only a finite number of symbols, the number of words of a fixed length over these symbols is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) Remove unnecessary antecedent. (Revised by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdnfi	⊢ (𝑉 ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉

Proof of Theorem wrdnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashwrdn 14550	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) = ((♯‘𝑉)↑𝑁))
2		hashcl 14359	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
3		nn0expcl 14078	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉)↑𝑁) ∈ ℕ0)
4	2, 3	sylan 588	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉)↑𝑁) ∈ ℕ0)
5	1, 4	eqeltrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0)
6	5	ex 415	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0))
7		lencl 14536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
8		eleq1 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → ((♯‘𝑤) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
9	7, 8	syl5ibcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑤) = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
10	9	con3rr3 155	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁))
11	10	ralrimiv 3147	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
12		rabeq0 4336	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
13	11, 12	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅)
14	13	fveq2d 6860	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) = (♯‘∅))
15		hash0 14370	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2807	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) = 0)
17		0nn0 12486	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
18	16, 17	eqeltrdi 2864	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0)
19	6, 18	pm2.61d1 181	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0)
20		wrdexg 14527	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → Word 𝑉 ∈ V)
21		rabexg 5287	. . 3 ⊢ (Word 𝑉 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ V)
22		hashclb 14361	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ V → ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin ↔ (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0))
23	20, 21, 22	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin ↔ (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0))
24	19, 23	mpbird 259	1 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∀wral 3070  {crab 3408  Vcvv 3448  ∅c0 4280  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Fincfn 8916  0cc0 11063  ℕ₀cn0 12471  ↑cexp 14064  ♯chash 14333  Word cword 14516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-oadd 8429  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-dju 9849  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-word 14517

This theorem is referenced by:  chnflenfi  18636  wwlksnfi  30045  clwwlknfi  30186