Theorem wrdnfi 14592

Description: If there is only a finite number of symbols, the number of words of a fixed length over these symbols is also finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) Remove unnecessary antecedent. (Revised by JJ, 18-Nov-2022.)

Assertion

Ref	Expression
wrdnfi	⊢ (𝑉 ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉

Proof of Theorem wrdnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashwrdn 14591	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) = ((♯‘𝑉)↑𝑁))
2		hashcl 14401	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
3		nn0expcl 14122	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉)↑𝑁) ∈ ℕ0)
4	2, 3	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉)↑𝑁) ∈ ℕ0)
5	1, 4	eqeltrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0)
6	5	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0))
7		lencl 14577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑤) ∈ ℕ0)
8		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → ((♯‘𝑤) ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
9	7, 8	syl5ibcom 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑤) = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℕ0))
10	9	con3rr3 155	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁))
11	10	ralrimiv 3147	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
12		rabeq0 4407	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (♯‘𝑤) = 𝑁)
13	11, 12	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = ∅)
14	13	fveq2d 6923	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) = (♯‘∅))
15		hash0 14412	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) = 0)
17		0nn0 12564	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
18	16, 17	eqeltrdi 2846	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0)
19	6, 18	pm2.61d1 180	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0)
20		wrdexg 14568	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → Word 𝑉 ∈ V)
21		rabexg 5358	. . 3 ⊢ (Word 𝑉 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ V)
22		hashclb 14403	. . 3 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ V → ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin ↔ (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0))
23	20, 21, 22	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin ↔ (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁}) ∈ ℕ0))
24	19, 23	mpbird 257	1 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  ∀wral 3063  {crab 3438  Vcvv 3482  ∅c0 4347  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  Fincfn 8999  0cc0 11180  ℕ₀cn0 12549  ↑cexp 14108  ♯chash 14375  Word cword 14558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-oadd 8522  df-er 8759  df-map 8882  df-pm 8883  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-dju 9966  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-word 14559

This theorem is referenced by:  wwlksnfi  29930  clwwlknfi  30068  upwrdfi  46740