Theorem wwlks 29813

Description: The set of walks (in an undirected graph) as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.) (Revised by AV, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlks.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wwlks.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlks	⊢ (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)}

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺,𝑤   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤,𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem wwlks

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-wwlks 29808	. . 3 ⊢ WWalks = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔))})
2		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
3		wwlks.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	2, 3	eqtr4di 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
5		wrdeq 14443	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
7		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = (Edg‘𝐺))
8		wwlks.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9	7, 8	eqtr4di 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = 𝐸)
10	9	eleq2d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
11	10	ralbidv 3155	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
12	11	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
13	6, 12	rabeqbidv 3413	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔))} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)})
14		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
15	3	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑉 ∈ V)
17		wrdexg 14431	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → Word 𝑉 ∈ V)
18		rabexg 5273	. . . 4 ⊢ (Word 𝑉 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} ∈ V)
19	16, 17, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} ∈ V)
20	1, 13, 14, 19	fvmptd3 6952	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)})
21		fvprc 6814	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (WWalks‘𝐺) = ∅)
22		fvprc 6814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (Vtx‘𝐺) = ∅)
23	3, 22	eqtrid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑉 = ∅)
24		wrdeq 14443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ∅ → Word 𝑉 = Word ∅)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → Word 𝑉 = Word ∅)
26	25	eleq2d 2817	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑤 ∈ Word ∅))
27		0wrd0 14447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ Word ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
28	26, 27	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑤 = ∅))
29		nne 2932	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑤 ≠ ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
30	29	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ¬ 𝑤 ≠ ∅)
31	30	intnanrd 489	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
32	28, 31	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
33	32	ralrimiv 3123	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
34		rabeq0 4335	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
35	33, 34	sylibr 234	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} = ∅)
36	21, 35	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)})
37	20, 36	pm2.61i 182	1 ⊢ (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436  ∅c0 4280  {cpr 4575  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   − cmin 11344  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420  Vtxcvtx 28974  Edgcedg 29025  WWalkscwwlks 29803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-wwlks 29808

This theorem is referenced by:  iswwlks  29814