Theorem wwlks 28200

Description: The set of walks (in an undirected graph) as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.) (Revised by AV, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlks.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wwlks.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlks	⊢ (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)}

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺,𝑤   𝑤,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤,𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem wwlks

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-wwlks 28195	. . 3 ⊢ WWalks = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔))})
2		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
3		wwlks.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	2, 3	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
5		wrdeq 14239	. . . . 5 ⊢ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
7		fveq2 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = (Edg‘𝐺))
8		wwlks.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9	7, 8	eqtr4di 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = 𝐸)
10	9	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
11	10	ralbidv 3112	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
12	11	anbi2d 629	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
13	6, 12	rabeqbidv 3420	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔))} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)})
14		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
15	3	fvexi 6788	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝑉 ∈ V)
17		wrdexg 14227	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → Word 𝑉 ∈ V)
18		rabexg 5255	. . . 4 ⊢ (Word 𝑉 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} ∈ V)
19	16, 17, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} ∈ V)
20	1, 13, 14, 19	fvmptd3 6898	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ V → (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)})
21		fvprc 6766	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (WWalks‘𝐺) = ∅)
22		fvprc 6766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (Vtx‘𝐺) = ∅)
23	3, 22	eqtrid 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑉 = ∅)
24		wrdeq 14239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = ∅ → Word 𝑉 = Word ∅)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → Word 𝑉 = Word ∅)
26	25	eleq2d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑤 ∈ Word ∅))
27		0wrd0 14243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ Word ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
28	26, 27	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑤 = ∅))
29		nne 2947	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑤 ≠ ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
30	29	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → ¬ 𝑤 ≠ ∅)
31	30	intnanrd 490	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
32	28, 31	syl6bi 252	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
33	32	ralrimiv 3102	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
34		rabeq0 4318	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
35	33, 34	sylibr 233	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} = ∅)
36	21, 35	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)})
37	20, 36	pm2.61i 182	1 ⊢ (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432  ∅c0 4256  {cpr 4563  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417  WWalkscwwlks 28190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-wwlks 28195

This theorem is referenced by:  iswwlks  28201