MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlks Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlks 29868
Description: The set of walks (in an undirected graph) as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.) (Revised by AV, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlks.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wwlks.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlks (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)}
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺,𝑤   𝑤,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤,𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem wwlks
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-wwlks 29863 . . 3 WWalks = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔))})
2 fveq2 6920 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
3 wwlks.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
42, 3eqtr4di 2798 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
5 wrdeq 14584 . . . . 5 ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
7 fveq2 6920 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = (Edg‘𝐺))
8 wwlks.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
97, 8eqtr4di 2798 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = 𝐸)
109eleq2d 2830 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ({(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
1110ralbidv 3184 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
1211anbi2d 629 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
136, 12rabeqbidv 3462 . . 3 (𝑔 = 𝐺 → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔))} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)})
14 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
153fvexi 6934 . . . . 5 𝑉 ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ V → 𝑉 ∈ V)
17 wrdexg 14572 . . . 4 (𝑉 ∈ V → Word 𝑉 ∈ V)
18 rabexg 5355 . . . 4 (Word 𝑉 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} ∈ V)
1916, 17, 183syl 18 . . 3 (𝐺 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} ∈ V)
201, 13, 14, 19fvmptd3 7052 . 2 (𝐺 ∈ V → (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)})
21 fvprc 6912 . . 3 𝐺 ∈ V → (WWalks‘𝐺) = ∅)
22 fvprc 6912 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ V → (Vtx‘𝐺) = ∅)
233, 22eqtrid 2792 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ V → 𝑉 = ∅)
24 wrdeq 14584 . . . . . . . . 9 (𝑉 = ∅ → Word 𝑉 = Word ∅)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ V → Word 𝑉 = Word ∅)
2625eleq2d 2830 . . . . . . 7 𝐺 ∈ V → (𝑤 ∈ Word 𝑉𝑤 ∈ Word ∅))
27 0wrd0 14588 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ Word ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
2826, 27bitrdi 287 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (𝑤 ∈ Word 𝑉𝑤 = ∅))
29 nne 2950 . . . . . . . 8 𝑤 ≠ ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
3029biimpri 228 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ¬ 𝑤 ≠ ∅)
3130intnanrd 489 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
3228, 31biimtrdi 253 . . . . 5 𝐺 ∈ V → (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
3332ralrimiv 3151 . . . 4 𝐺 ∈ V → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
34 rabeq0 4411 . . . 4 ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
3533, 34sylibr 234 . . 3 𝐺 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} = ∅)
3621, 35eqtr4d 2783 . 2 𝐺 ∈ V → (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)})
3720, 36pm2.61i 182 1 (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  {crab 3443  Vcvv 3488  c0 4352  {cpr 4650  cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  cmin 11520  ..^cfzo 13711  chash 14379  Word cword 14562  Vtxcvtx 29031  Edgcedg 29082  WWalkscwwlks 29858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-wwlks 29863
This theorem is referenced by:  iswwlks  29869
  Copyright terms: Public domain W3C validator