MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlks Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlks 29078
Description: The set of walks (in an undirected graph) as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.) (Revised by AV, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlks.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wwlks.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlks (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)}
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺,𝑤   𝑤,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤,𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem wwlks
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-wwlks 29073 . . 3 WWalks = (𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔))})
2 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝐺))
3 wwlks.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
42, 3eqtr4di 2790 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
5 wrdeq 14482 . . . . 5 ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → Word (Vtx‘𝑔) = Word 𝑉)
7 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = (Edg‘𝐺))
8 wwlks.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
97, 8eqtr4di 2790 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (Edg‘𝑔) = 𝐸)
109eleq2d 2819 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → ({(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
1110ralbidv 3177 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
1211anbi2d 629 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
136, 12rabeqbidv 3449 . . 3 (𝑔 = 𝐺 → {𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝑔) ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝑔))} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)})
14 id 22 . . 3 (𝐺 ∈ V → 𝐺 ∈ V)
153fvexi 6902 . . . . 5 𝑉 ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ V → 𝑉 ∈ V)
17 wrdexg 14470 . . . 4 (𝑉 ∈ V → Word 𝑉 ∈ V)
18 rabexg 5330 . . . 4 (Word 𝑉 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} ∈ V)
1916, 17, 183syl 18 . . 3 (𝐺 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} ∈ V)
201, 13, 14, 19fvmptd3 7018 . 2 (𝐺 ∈ V → (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)})
21 fvprc 6880 . . 3 𝐺 ∈ V → (WWalks‘𝐺) = ∅)
22 fvprc 6880 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ V → (Vtx‘𝐺) = ∅)
233, 22eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ V → 𝑉 = ∅)
24 wrdeq 14482 . . . . . . . . 9 (𝑉 = ∅ → Word 𝑉 = Word ∅)
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ V → Word 𝑉 = Word ∅)
2625eleq2d 2819 . . . . . . 7 𝐺 ∈ V → (𝑤 ∈ Word 𝑉𝑤 ∈ Word ∅))
27 0wrd0 14486 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ Word ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
2826, 27bitrdi 286 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (𝑤 ∈ Word 𝑉𝑤 = ∅))
29 nne 2944 . . . . . . . 8 𝑤 ≠ ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
3029biimpri 227 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → ¬ 𝑤 ≠ ∅)
3130intnanrd 490 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
3228, 31syl6bi 252 . . . . 5 𝐺 ∈ V → (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
3332ralrimiv 3145 . . . 4 𝐺 ∈ V → ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
34 rabeq0 4383 . . . 4 ({𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ Word 𝑉 ¬ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
3533, 34sylibr 233 . . 3 𝐺 ∈ V → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)} = ∅)
3621, 35eqtr4d 2775 . 2 𝐺 ∈ V → (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)})
3720, 36pm2.61i 182 1 (WWalks‘𝐺) = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (𝑤 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474  c0 4321  {cpr 4629  cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  cmin 11440  ..^cfzo 13623  chash 14286  Word cword 14460  Vtxcvtx 28245  Edgcedg 28296  WWalkscwwlks 29068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-wwlks 29073
This theorem is referenced by:  iswwlks  29079
  Copyright terms: Public domain W3C validator