Theorem elnn0z 12537

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12439	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12534	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2743	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 915	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12535	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2824	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 858	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 868	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 209	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 625	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1009	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12528	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11232	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 297	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525

This theorem is referenced by:  zle0orge1  12541  nn0zrab  12556  znn0sub  12574  nn0ind  12624  fnn0ind  12628  fznn0  13573  elfz0ubfz0  13586  elfz0fzfz0  13587  fz0fzelfz0  13588  elfzmlbp  13593  difelfzle  13595  difelfznle  13596  elfzo0z  13656  fzofzim  13664  ubmelm1fzo  13718  flge0nn0  13779  zmodcl  13850  modmuladdnn0  13877  modsumfzodifsn  13906  zsqcl2  14100  swrdnnn0nd  14619  swrdswrdlem  14666  swrdswrd  14667  swrdccatin2  14691  pfxccatin12lem2  14693  pfxccatin12lem3  14694  repswswrd  14746  cshwidxmod  14765  nn0abscl  15274  iseralt  15647  binomrisefac  16007  oexpneg  16314  oddnn02np1  16317  evennn02n  16319  nn0ehalf  16347  nn0oddm1d2  16354  divalglem2  16364  divalglem8  16369  divalglem10  16371  divalgb  16373  bitsinv1lem  16410  dfgcd2  16515  algcvga  16548  hashgcdlem  16758  iserodd  16806  pockthlem  16876  4sqlem14  16929  cshwshashlem2  17067  chfacfscmul0  22823  chfacfpmmul0  22827  taylfvallem1  26322  tayl0  26327  basellem3  27046  bcmono  27240  gausslemma2dlem0h  27326  2sqnn0  27401  crctcshwlkn0lem7  29884  crctcshwlkn0  29889  clwlkclwwlklem2a1  30062  clwlkclwwlklem2fv2  30066  clwlkclwwlklem2a  30068  wwlksubclwwlk  30128  0nn0m1nnn0  35295  knoppndvlem2  36773  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p4  42510  aks4d1p3  42517  aks4d1p7  42522  aks4d1p8  42526  aks4d1p9  42527  aks6d1c1  42555  hashscontpow1  42560  aks6d1c2lem4  42566  aks6d1c2  42569  aks6d1c5lem3  42576  aks6d1c5lem2  42577  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  aks6d1c6lem3  42611  aks6d1c6lem4  42612  bcled  42617  bcle2d  42618  aks6d1c7lem1  42619  aks6d1c7lem2  42620  unitscyglem5  42638  irrapxlem1  43250  rmynn0  43385  rmyabs  43386  jm2.22  43423  jm2.23  43424  jm2.27a  43433  jm2.27c  43435  dvnprodlem1  46374  wallispilem4  46496  stirlinglem5  46506  elaa2lem  46661  etransclem3  46665  etransclem7  46669  etransclem10  46672  etransclem19  46681  etransclem20  46682  etransclem21  46683  etransclem22  46684  etransclem24  46686  etransclem27  46689  ormkglobd  47305  zm1nn  47750  eluzge0nn0  47760  elfz2z  47763  2elfz2melfz  47766  subsubelfzo0  47775  oexpnegALTV  48153  nn0oALTV  48172  nn0e  48173  gpgusgralem  48532  nn0eo  49004  dig1  49084