Theorem elnn0z 12492

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12394	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12489	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2740	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 914	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12490	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2821	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 867	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 209	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 624	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1008	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11125	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12483	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11210	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 297	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ℝcr 11016  0cc0 11017   < clt 11157   ≤ cle 11158  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392  ℤcz 12479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480

This theorem is referenced by:  zle0orge1  12496  nn0zrab  12511  znn0sub  12529  nn0ind  12578  fnn0ind  12582  fznn0  13526  elfz0ubfz0  13539  elfz0fzfz0  13540  fz0fzelfz0  13541  elfzmlbp  13546  difelfzle  13548  difelfznle  13549  elfzo0z  13608  fzofzim  13616  ubmelm1fzo  13670  flge0nn0  13731  zmodcl  13802  modmuladdnn0  13829  modsumfzodifsn  13858  zsqcl2  14052  swrdnnn0nd  14571  swrdswrdlem  14618  swrdswrd  14619  swrdccatin2  14643  pfxccatin12lem2  14645  pfxccatin12lem3  14646  repswswrd  14698  cshwidxmod  14717  nn0abscl  15226  iseralt  15599  binomrisefac  15956  oexpneg  16263  oddnn02np1  16266  evennn02n  16268  nn0ehalf  16296  nn0oddm1d2  16303  divalglem2  16313  divalglem8  16318  divalglem10  16320  divalgb  16322  bitsinv1lem  16359  dfgcd2  16464  algcvga  16497  hashgcdlem  16706  iserodd  16754  pockthlem  16824  4sqlem14  16877  cshwshashlem2  17015  chfacfscmul0  22793  chfacfpmmul0  22797  taylfvallem1  26311  tayl0  26316  basellem3  27040  bcmono  27235  gausslemma2dlem0h  27321  2sqnn0  27396  crctcshwlkn0lem7  29815  crctcshwlkn0  29820  clwlkclwwlklem2a1  29993  clwlkclwwlklem2fv2  29997  clwlkclwwlklem2a  29999  wwlksubclwwlk  30059  0nn0m1nnn0  35229  knoppndvlem2  36629  aks4d1p1p2  42236  aks4d1p1p4  42237  aks4d1p3  42244  aks4d1p7  42249  aks4d1p8  42253  aks4d1p9  42254  aks6d1c1  42282  hashscontpow1  42287  aks6d1c2lem4  42293  aks6d1c2  42296  aks6d1c5lem3  42303  aks6d1c5lem2  42304  sticksstones10  42321  sticksstones12a  42323  aks6d1c6lem3  42338  aks6d1c6lem4  42339  bcled  42344  bcle2d  42345  aks6d1c7lem1  42346  aks6d1c7lem2  42347  unitscyglem5  42365  irrapxlem1  42979  rmynn0  43114  rmyabs  43115  jm2.22  43152  jm2.23  43153  jm2.27a  43162  jm2.27c  43164  dvnprodlem1  46106  wallispilem4  46228  stirlinglem5  46238  elaa2lem  46393  etransclem3  46397  etransclem7  46401  etransclem10  46404  etransclem19  46413  etransclem20  46414  etransclem21  46415  etransclem22  46416  etransclem24  46418  etransclem27  46421  ormkglobd  47035  zm1nn  47464  eluzge0nn0  47474  elfz2z  47477  2elfz2melfz  47480  subsubelfzo0  47488  oexpnegALTV  47839  nn0oALTV  47858  nn0e  47859  gpgusgralem  48218  nn0eo  48690  dig1  48770