Theorem elnn0z 12503

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12405	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12500	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2736	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 914	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12501	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 867	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 209	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 624	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1008	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11136	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12494	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11221	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 297	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝcr 11027  0cc0 11028   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491

This theorem is referenced by:  zle0orge1  12507  nn0zrab  12523  znn0sub  12541  nn0ind  12590  fnn0ind  12594  fznn0  13541  elfz0ubfz0  13554  elfz0fzfz0  13555  fz0fzelfz0  13556  elfzmlbp  13561  difelfzle  13563  difelfznle  13564  elfzo0z  13623  fzofzim  13631  ubmelm1fzo  13685  flge0nn0  13743  zmodcl  13814  modmuladdnn0  13841  modsumfzodifsn  13870  zsqcl2  14064  swrdnnn0nd  14582  swrdswrdlem  14629  swrdswrd  14630  swrdccatin2  14654  pfxccatin12lem2  14656  pfxccatin12lem3  14657  repswswrd  14709  cshwidxmod  14728  nn0abscl  15238  iseralt  15611  binomrisefac  15968  oexpneg  16275  oddnn02np1  16278  evennn02n  16280  nn0ehalf  16308  nn0oddm1d2  16315  divalglem2  16325  divalglem8  16330  divalglem10  16332  divalgb  16334  bitsinv1lem  16371  dfgcd2  16476  algcvga  16509  hashgcdlem  16718  iserodd  16766  pockthlem  16836  4sqlem14  16889  cshwshashlem2  17027  chfacfscmul0  22762  chfacfpmmul0  22766  taylfvallem1  26281  tayl0  26286  basellem3  27010  bcmono  27205  gausslemma2dlem0h  27291  2sqnn0  27366  crctcshwlkn0lem7  29780  crctcshwlkn0  29785  clwlkclwwlklem2a1  29955  clwlkclwwlklem2fv2  29959  clwlkclwwlklem2a  29961  wwlksubclwwlk  30021  0nn0m1nnn0  35105  knoppndvlem2  36506  aks4d1p1p2  42063  aks4d1p1p4  42064  aks4d1p3  42071  aks4d1p7  42076  aks4d1p8  42080  aks4d1p9  42081  aks6d1c1  42109  hashscontpow1  42114  aks6d1c2lem4  42120  aks6d1c2  42123  aks6d1c5lem3  42130  aks6d1c5lem2  42131  sticksstones10  42148  sticksstones12a  42150  aks6d1c6lem3  42165  aks6d1c6lem4  42166  bcled  42171  bcle2d  42172  aks6d1c7lem1  42173  aks6d1c7lem2  42174  unitscyglem5  42192  irrapxlem1  42815  rmynn0  42950  rmyabs  42951  jm2.22  42988  jm2.23  42989  jm2.27a  42998  jm2.27c  43000  dvnprodlem1  45947  wallispilem4  46069  stirlinglem5  46079  elaa2lem  46234  etransclem3  46238  etransclem7  46242  etransclem10  46245  etransclem19  46254  etransclem20  46255  etransclem21  46256  etransclem22  46257  etransclem24  46259  etransclem27  46262  ormkglobd  46876  zm1nn  47306  eluzge0nn0  47316  elfz2z  47319  2elfz2melfz  47322  subsubelfzo0  47330  oexpnegALTV  47681  nn0oALTV  47700  nn0e  47701  gpgusgralem  48060  nn0eo  48533  dig1  48613