Theorem elnn0z 12528

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12430	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12525	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2744	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 915	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12526	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 858	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 868	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 209	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 625	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1009	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11137	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12519	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11223	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 297	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516

This theorem is referenced by:  zle0orge1  12532  nn0zrab  12547  znn0sub  12565  nn0ind  12615  fnn0ind  12619  fznn0  13564  elfz0ubfz0  13577  elfz0fzfz0  13578  fz0fzelfz0  13579  elfzmlbp  13584  difelfzle  13586  difelfznle  13587  elfzo0z  13647  fzofzim  13655  ubmelm1fzo  13709  flge0nn0  13770  zmodcl  13841  modmuladdnn0  13868  modsumfzodifsn  13897  zsqcl2  14091  swrdnnn0nd  14610  swrdswrdlem  14657  swrdswrd  14658  swrdccatin2  14682  pfxccatin12lem2  14684  pfxccatin12lem3  14685  repswswrd  14737  cshwidxmod  14756  nn0abscl  15265  iseralt  15638  binomrisefac  15998  oexpneg  16305  oddnn02np1  16308  evennn02n  16310  nn0ehalf  16338  nn0oddm1d2  16345  divalglem2  16355  divalglem8  16360  divalglem10  16362  divalgb  16364  bitsinv1lem  16401  dfgcd2  16506  algcvga  16539  hashgcdlem  16749  iserodd  16797  pockthlem  16867  4sqlem14  16920  cshwshashlem2  17058  chfacfscmul0  22833  chfacfpmmul0  22837  taylfvallem1  26333  tayl0  26338  basellem3  27060  bcmono  27254  gausslemma2dlem0h  27340  2sqnn0  27415  crctcshwlkn0lem7  29899  crctcshwlkn0  29904  clwlkclwwlklem2a1  30077  clwlkclwwlklem2fv2  30081  clwlkclwwlklem2a  30083  wwlksubclwwlk  30143  0nn0m1nnn0  35311  knoppndvlem2  36789  aks4d1p1p2  42523  aks4d1p1p4  42524  aks4d1p3  42531  aks4d1p7  42536  aks4d1p8  42540  aks4d1p9  42541  aks6d1c1  42569  hashscontpow1  42574  aks6d1c2lem4  42580  aks6d1c2  42583  aks6d1c5lem3  42590  aks6d1c5lem2  42591  sticksstones10  42608  sticksstones12a  42610  aks6d1c6lem3  42625  aks6d1c6lem4  42626  bcled  42631  bcle2d  42632  aks6d1c7lem1  42633  aks6d1c7lem2  42634  unitscyglem5  42652  irrapxlem1  43268  rmynn0  43403  rmyabs  43404  jm2.22  43441  jm2.23  43442  jm2.27a  43451  jm2.27c  43453  dvnprodlem1  46392  wallispilem4  46514  stirlinglem5  46524  elaa2lem  46679  etransclem3  46683  etransclem7  46687  etransclem10  46690  etransclem19  46699  etransclem20  46700  etransclem21  46701  etransclem22  46702  etransclem24  46704  etransclem27  46707  ormkglobd  47321  zm1nn  47762  eluzge0nn0  47772  elfz2z  47775  2elfz2melfz  47778  subsubelfzo0  47787  oexpnegALTV  48165  nn0oALTV  48184  nn0e  48185  gpgusgralem  48544  nn0eo  49016  dig1  49096