Theorem elnn0z 12575

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12477	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12572	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2768	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 925	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12573	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2849	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 235	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 868	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 878	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 211	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 633	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1019	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11177	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12566	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11263	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 582	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 305	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 299	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ℝcr 11066  0cc0 11067   < clt 11210   ≤ cle 11211  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563

This theorem is referenced by:  zle0orge1  12579  nn0zrab  12594  znn0sub  12612  nn0ind  12662  fnn0ind  12666  fznn0  13618  elfz0ubfz0  13631  elfz0fzfz0  13632  fz0fzelfz0  13633  elfzmlbp  13638  difelfzle  13640  difelfznle  13641  elfzo0z  13701  fzofzim  13709  ubmelm1fzo  13763  flge0nn0  13824  zmodcl  13895  modmuladdnn0  13922  modsumfzodifsn  13951  zsqcl2  14145  swrdnnn0nd  14664  swrdswrdlem  14711  swrdswrd  14712  swrdccatin2  14736  pfxccatin12lem2  14738  pfxccatin12lem3  14739  repswswrd  14791  cshwidxmod  14810  nn0abscl  15330  iseralt  15703  binomrisefac  16063  oexpneg  16370  oddnn02np1  16373  evennn02n  16375  nn0ehalf  16403  nn0oddm1d2  16410  divalglem2  16420  divalglem8  16425  divalglem10  16427  divalgb  16429  bitsinv1lem  16466  dfgcd2  16571  algcvga  16604  hashgcdlem  16814  iserodd  16862  pockthlem  16932  4sqlem14  16985  cshwshashlem2  17123  chfacfscmul0  22906  chfacfpmmul0  22910  taylfvallem1  26408  tayl0  26413  basellem3  27135  bcmono  27329  gausslemma2dlem0h  27415  2sqnn0  27490  crctcshwlkn0lem7  29973  crctcshwlkn0  29978  clwlkclwwlklem2a1  30151  clwlkclwwlklem2fv2  30155  clwlkclwwlklem2a  30157  wwlksubclwwlk  30217  0nn0m1nnn0  35424  knoppndvlem2  36912  aks4d1p1p2  42648  aks4d1p1p4  42649  aks4d1p3  42656  aks4d1p7  42661  aks4d1p8  42665  aks4d1p9  42666  aks6d1c1  42694  hashscontpow1  42699  aks6d1c2lem4  42705  aks6d1c2  42708  aks6d1c5lem3  42715  aks6d1c5lem2  42716  sticksstones10  42733  sticksstones12a  42735  aks6d1c6lem3  42750  aks6d1c6lem4  42751  bcled  42756  bcle2d  42757  aks6d1c7lem1  42758  aks6d1c7lem2  42759  unitscyglem5  42777  irrapxlem1  43360  rmynn0  43495  rmyabs  43496  jm2.22  43533  jm2.23  43534  jm2.27a  43543  jm2.27c  43545  dvnprodlem1  46481  wallispilem4  46603  stirlinglem5  46613  elaa2lem  46768  etransclem3  46772  etransclem7  46776  etransclem10  46779  etransclem19  46788  etransclem20  46789  etransclem21  46790  etransclem22  46791  etransclem24  46793  etransclem27  46796  ormkglobd  47412  zm1nn  47857  eluzge0nn0  47867  elfz2z  47870  2elfz2melfz  47873  subsubelfzo0  47882  oexpnegALTV  48260  nn0oALTV  48279  nn0e  48280  gpgusgralem  48639  nn0eo  49111  dig1  49191