Theorem elnn0z 12542

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12444	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12539	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2736	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 914	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12540	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 867	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 209	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 624	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1008	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11176	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12533	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11260	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 297	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067  0cc0 11068   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530

This theorem is referenced by:  zle0orge1  12546  nn0zrab  12562  znn0sub  12580  nn0ind  12629  fnn0ind  12633  fznn0  13580  elfz0ubfz0  13593  elfz0fzfz0  13594  fz0fzelfz0  13595  elfzmlbp  13600  difelfzle  13602  difelfznle  13603  elfzo0z  13662  fzofzim  13670  ubmelm1fzo  13724  flge0nn0  13782  zmodcl  13853  modmuladdnn0  13880  modsumfzodifsn  13909  zsqcl2  14103  swrdnnn0nd  14621  swrdswrdlem  14669  swrdswrd  14670  swrdccatin2  14694  pfxccatin12lem2  14696  pfxccatin12lem3  14697  repswswrd  14749  cshwidxmod  14768  nn0abscl  15278  iseralt  15651  binomrisefac  16008  oexpneg  16315  oddnn02np1  16318  evennn02n  16320  nn0ehalf  16348  nn0oddm1d2  16355  divalglem2  16365  divalglem8  16370  divalglem10  16372  divalgb  16374  bitsinv1lem  16411  dfgcd2  16516  algcvga  16549  hashgcdlem  16758  iserodd  16806  pockthlem  16876  4sqlem14  16929  cshwshashlem2  17067  chfacfscmul0  22745  chfacfpmmul0  22749  taylfvallem1  26264  tayl0  26269  basellem3  26993  bcmono  27188  gausslemma2dlem0h  27274  2sqnn0  27349  crctcshwlkn0lem7  29746  crctcshwlkn0  29751  clwlkclwwlklem2a1  29921  clwlkclwwlklem2fv2  29925  clwlkclwwlklem2a  29927  wwlksubclwwlk  29987  0nn0m1nnn0  35100  knoppndvlem2  36501  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p1p4  42059  aks4d1p3  42066  aks4d1p7  42071  aks4d1p8  42075  aks4d1p9  42076  aks6d1c1  42104  hashscontpow1  42109  aks6d1c2lem4  42115  aks6d1c2  42118  aks6d1c5lem3  42125  aks6d1c5lem2  42126  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  aks6d1c6lem3  42160  aks6d1c6lem4  42161  bcled  42166  bcle2d  42167  aks6d1c7lem1  42168  aks6d1c7lem2  42169  unitscyglem5  42187  irrapxlem1  42810  rmynn0  42946  rmyabs  42947  jm2.22  42984  jm2.23  42985  jm2.27a  42994  jm2.27c  42996  dvnprodlem1  45944  wallispilem4  46066  stirlinglem5  46076  elaa2lem  46231  etransclem3  46235  etransclem7  46239  etransclem10  46242  etransclem19  46251  etransclem20  46252  etransclem21  46253  etransclem22  46254  etransclem24  46256  etransclem27  46259  ormkglobd  46873  zm1nn  47303  eluzge0nn0  47313  elfz2z  47316  2elfz2melfz  47319  subsubelfzo0  47327  oexpnegALTV  47678  nn0oALTV  47697  nn0e  47698  gpgusgralem  48047  nn0eo  48517  dig1  48597