Theorem elnn0z 12513

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12415	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12510	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2744	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 915	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12511	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 858	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 868	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 209	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 625	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1009	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12504	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11231	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 297	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501

This theorem is referenced by:  zle0orge1  12517  nn0zrab  12532  znn0sub  12550  nn0ind  12599  fnn0ind  12603  fznn0  13547  elfz0ubfz0  13560  elfz0fzfz0  13561  fz0fzelfz0  13562  elfzmlbp  13567  difelfzle  13569  difelfznle  13570  elfzo0z  13629  fzofzim  13637  ubmelm1fzo  13691  flge0nn0  13752  zmodcl  13823  modmuladdnn0  13850  modsumfzodifsn  13879  zsqcl2  14073  swrdnnn0nd  14592  swrdswrdlem  14639  swrdswrd  14640  swrdccatin2  14664  pfxccatin12lem2  14666  pfxccatin12lem3  14667  repswswrd  14719  cshwidxmod  14738  nn0abscl  15247  iseralt  15620  binomrisefac  15977  oexpneg  16284  oddnn02np1  16287  evennn02n  16289  nn0ehalf  16317  nn0oddm1d2  16324  divalglem2  16334  divalglem8  16339  divalglem10  16341  divalgb  16343  bitsinv1lem  16380  dfgcd2  16485  algcvga  16518  hashgcdlem  16727  iserodd  16775  pockthlem  16845  4sqlem14  16898  cshwshashlem2  17036  chfacfscmul0  22814  chfacfpmmul0  22818  taylfvallem1  26332  tayl0  26337  basellem3  27061  bcmono  27256  gausslemma2dlem0h  27342  2sqnn0  27417  crctcshwlkn0lem7  29901  crctcshwlkn0  29906  clwlkclwwlklem2a1  30079  clwlkclwwlklem2fv2  30083  clwlkclwwlklem2a  30085  wwlksubclwwlk  30145  0nn0m1nnn0  35329  knoppndvlem2  36735  aks4d1p1p2  42440  aks4d1p1p4  42441  aks4d1p3  42448  aks4d1p7  42453  aks4d1p8  42457  aks4d1p9  42458  aks6d1c1  42486  hashscontpow1  42491  aks6d1c2lem4  42497  aks6d1c2  42500  aks6d1c5lem3  42507  aks6d1c5lem2  42508  sticksstones10  42525  sticksstones12a  42527  aks6d1c6lem3  42542  aks6d1c6lem4  42543  bcled  42548  bcle2d  42549  aks6d1c7lem1  42550  aks6d1c7lem2  42551  unitscyglem5  42569  irrapxlem1  43179  rmynn0  43314  rmyabs  43315  jm2.22  43352  jm2.23  43353  jm2.27a  43362  jm2.27c  43364  dvnprodlem1  46304  wallispilem4  46426  stirlinglem5  46436  elaa2lem  46591  etransclem3  46595  etransclem7  46599  etransclem10  46602  etransclem19  46611  etransclem20  46612  etransclem21  46613  etransclem22  46614  etransclem24  46616  etransclem27  46619  ormkglobd  47233  zm1nn  47662  eluzge0nn0  47672  elfz2z  47675  2elfz2melfz  47678  subsubelfzo0  47686  oexpnegALTV  48037  nn0oALTV  48056  nn0e  48057  gpgusgralem  48416  nn0eo  48888  dig1  48968