Theorem elnn0z 12476

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12378	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12473	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2738	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 914	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12474	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2819	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 867	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 209	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 624	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1008	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11109	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12467	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11194	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 297	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ℝcr 11000  0cc0 11001   < clt 11141   ≤ cle 11142  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464

This theorem is referenced by:  zle0orge1  12480  nn0zrab  12496  znn0sub  12514  nn0ind  12563  fnn0ind  12567  fznn0  13514  elfz0ubfz0  13527  elfz0fzfz0  13528  fz0fzelfz0  13529  elfzmlbp  13534  difelfzle  13536  difelfznle  13537  elfzo0z  13596  fzofzim  13604  ubmelm1fzo  13658  flge0nn0  13719  zmodcl  13790  modmuladdnn0  13817  modsumfzodifsn  13846  zsqcl2  14040  swrdnnn0nd  14559  swrdswrdlem  14606  swrdswrd  14607  swrdccatin2  14631  pfxccatin12lem2  14633  pfxccatin12lem3  14634  repswswrd  14686  cshwidxmod  14705  nn0abscl  15214  iseralt  15587  binomrisefac  15944  oexpneg  16251  oddnn02np1  16254  evennn02n  16256  nn0ehalf  16284  nn0oddm1d2  16291  divalglem2  16301  divalglem8  16306  divalglem10  16308  divalgb  16310  bitsinv1lem  16347  dfgcd2  16452  algcvga  16485  hashgcdlem  16694  iserodd  16742  pockthlem  16812  4sqlem14  16865  cshwshashlem2  17003  chfacfscmul0  22768  chfacfpmmul0  22772  taylfvallem1  26286  tayl0  26291  basellem3  27015  bcmono  27210  gausslemma2dlem0h  27296  2sqnn0  27371  crctcshwlkn0lem7  29789  crctcshwlkn0  29794  clwlkclwwlklem2a1  29964  clwlkclwwlklem2fv2  29968  clwlkclwwlklem2a  29970  wwlksubclwwlk  30030  0nn0m1nnn0  35149  knoppndvlem2  36547  aks4d1p1p2  42103  aks4d1p1p4  42104  aks4d1p3  42111  aks4d1p7  42116  aks4d1p8  42120  aks4d1p9  42121  aks6d1c1  42149  hashscontpow1  42154  aks6d1c2lem4  42160  aks6d1c2  42163  aks6d1c5lem3  42170  aks6d1c5lem2  42171  sticksstones10  42188  sticksstones12a  42190  aks6d1c6lem3  42205  aks6d1c6lem4  42206  bcled  42211  bcle2d  42212  aks6d1c7lem1  42213  aks6d1c7lem2  42214  unitscyglem5  42232  irrapxlem1  42855  rmynn0  42990  rmyabs  42991  jm2.22  43028  jm2.23  43029  jm2.27a  43038  jm2.27c  43040  dvnprodlem1  45984  wallispilem4  46106  stirlinglem5  46116  elaa2lem  46271  etransclem3  46275  etransclem7  46279  etransclem10  46282  etransclem19  46291  etransclem20  46292  etransclem21  46293  etransclem22  46294  etransclem24  46296  etransclem27  46299  ormkglobd  46913  zm1nn  47333  eluzge0nn0  47343  elfz2z  47346  2elfz2melfz  47349  subsubelfzo0  47357  oexpnegALTV  47708  nn0oALTV  47727  nn0e  47728  gpgusgralem  48087  nn0eo  48560  dig1  48640