Theorem elnn0z 12433

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12336	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12430	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2743	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 912	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12431	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2824	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 232	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 854	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 864	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 208	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 624	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1004	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11078	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12424	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11162	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 575	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 302	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 296	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5092  ℝcr 10971  0cc0 10972   < clt 11110   ≤ cle 11111  ℕcn 12074  ℕ₀cn0 12334  ℤcz 12420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421

This theorem is referenced by:  zle0orge1  12437  nn0zrab  12450  znn0sub  12468  nn0ind  12516  fnn0ind  12520  fznn0  13449  elfz0ubfz0  13461  elfz0fzfz0  13462  fz0fzelfz0  13463  elfzmlbp  13468  difelfzle  13470  difelfznle  13471  elfzo0z  13530  fzofzim  13535  ubmelm1fzo  13584  flge0nn0  13641  zmodcl  13712  modmuladdnn0  13736  modsumfzodifsn  13765  zsqcl2  13957  swrdnnn0nd  14467  swrdswrdlem  14515  swrdswrd  14516  swrdccatin2  14540  pfxccatin12lem2  14542  pfxccatin12lem3  14543  repswswrd  14595  cshwidxmod  14614  nn0abscl  15123  iseralt  15495  binomrisefac  15851  oexpneg  16153  oddnn02np1  16156  evennn02n  16158  nn0ehalf  16186  nn0oddm1d2  16193  divalglem2  16203  divalglem8  16208  divalglem10  16210  divalgb  16212  bitsinv1lem  16247  dfgcd2  16353  algcvga  16381  hashgcdlem  16586  iserodd  16633  pockthlem  16703  4sqlem14  16756  cshwshashlem2  16895  chfacfscmul0  22113  chfacfpmmul0  22117  taylfvallem1  25622  tayl0  25627  basellem3  26338  bcmono  26531  gausslemma2dlem0h  26617  2sqnn0  26692  crctcshwlkn0lem7  28469  crctcshwlkn0  28474  clwlkclwwlklem2a1  28644  clwlkclwwlklem2fv2  28648  clwlkclwwlklem2a  28650  wwlksubclwwlk  28710  0nn0m1nnn0  33370  knoppndvlem2  34789  aks4d1p1p2  40340  aks4d1p1p4  40341  aks4d1p3  40348  aks4d1p7  40353  aks4d1p8  40357  aks4d1p9  40358  sticksstones10  40376  sticksstones12a  40378  irrapxlem1  40914  rmynn0  41050  rmyabs  41051  jm2.22  41088  jm2.23  41089  jm2.27a  41098  jm2.27c  41100  dvnprodlem1  43831  wallispilem4  43953  stirlinglem5  43963  elaa2lem  44118  etransclem3  44122  etransclem7  44126  etransclem10  44129  etransclem19  44138  etransclem20  44139  etransclem21  44140  etransclem22  44141  etransclem24  44143  etransclem27  44146  zm1nn  45153  eluzge0nn0  45163  elfz2z  45166  2elfz2melfz  45169  subsubelfzo0  45177  oexpnegALTV  45488  nn0oALTV  45507  nn0e  45508  nn0eo  46233  dig1  46313