Theorem elnn0z 12528

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12430	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12525	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2746	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 920	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12526	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 234	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 863	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 873	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 210	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 630	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1014	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11137	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12519	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11223	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 593	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 579	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 304	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 298	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516

This theorem is referenced by:  zle0orge1  12532  nn0zrab  12547  znn0sub  12565  nn0ind  12615  fnn0ind  12619  fznn0  13564  elfz0ubfz0  13577  elfz0fzfz0  13578  fz0fzelfz0  13579  elfzmlbp  13584  difelfzle  13586  difelfznle  13587  elfzo0z  13647  fzofzim  13655  ubmelm1fzo  13709  flge0nn0  13770  zmodcl  13841  modmuladdnn0  13868  modsumfzodifsn  13897  zsqcl2  14091  swrdnnn0nd  14610  swrdswrdlem  14657  swrdswrd  14658  swrdccatin2  14682  pfxccatin12lem2  14684  pfxccatin12lem3  14685  repswswrd  14737  cshwidxmod  14756  nn0abscl  15265  iseralt  15638  binomrisefac  15998  oexpneg  16305  oddnn02np1  16308  evennn02n  16310  nn0ehalf  16338  nn0oddm1d2  16345  divalglem2  16355  divalglem8  16360  divalglem10  16362  divalgb  16364  bitsinv1lem  16401  dfgcd2  16506  algcvga  16539  hashgcdlem  16749  iserodd  16797  pockthlem  16867  4sqlem14  16920  cshwshashlem2  17058  chfacfscmul0  22841  chfacfpmmul0  22845  taylfvallem1  26340  tayl0  26345  basellem3  27064  bcmono  27258  gausslemma2dlem0h  27344  2sqnn0  27419  crctcshwlkn0lem7  29902  crctcshwlkn0  29907  clwlkclwwlklem2a1  30080  clwlkclwwlklem2fv2  30084  clwlkclwwlklem2a  30086  wwlksubclwwlk  30146  0nn0m1nnn0  35341  knoppndvlem2  36819  aks4d1p1p2  42555  aks4d1p1p4  42556  aks4d1p3  42563  aks4d1p7  42568  aks4d1p8  42572  aks4d1p9  42573  aks6d1c1  42601  hashscontpow1  42606  aks6d1c2lem4  42612  aks6d1c2  42615  aks6d1c5lem3  42622  aks6d1c5lem2  42623  sticksstones10  42640  sticksstones12a  42642  aks6d1c6lem3  42657  aks6d1c6lem4  42658  bcled  42663  bcle2d  42664  aks6d1c7lem1  42665  aks6d1c7lem2  42666  unitscyglem5  42684  irrapxlem1  43267  rmynn0  43402  rmyabs  43403  jm2.22  43440  jm2.23  43441  jm2.27a  43450  jm2.27c  43452  dvnprodlem1  46389  wallispilem4  46511  stirlinglem5  46521  elaa2lem  46676  etransclem3  46680  etransclem7  46684  etransclem10  46687  etransclem19  46696  etransclem20  46697  etransclem21  46698  etransclem22  46699  etransclem24  46701  etransclem27  46704  ormkglobd  47320  zm1nn  47765  eluzge0nn0  47775  elfz2z  47778  2elfz2melfz  47781  subsubelfzo0  47790  oexpnegALTV  48168  nn0oALTV  48187  nn0e  48188  gpgusgralem  48547  nn0eo  49019  dig1  49099