Theorem elnn0z 12341

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12244	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12338	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2746	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 912	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12339	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 232	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 854	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 864	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 208	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 624	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1004	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 10986	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12332	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11070	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 575	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 297	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  ℝcr 10879  0cc0 10880   < clt 11018   ≤ cle 11019  ℕcn 11982  ℕ₀cn0 12242  ℤcz 12328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329

This theorem is referenced by:  zle0orge1  12345  nn0zrab  12358  znn0sub  12376  nn0ind  12424  fnn0ind  12428  fznn0  13357  elfz0ubfz0  13369  elfz0fzfz0  13370  fz0fzelfz0  13371  elfzmlbp  13376  difelfzle  13378  difelfznle  13379  elfzo0z  13438  fzofzim  13443  ubmelm1fzo  13492  flge0nn0  13549  zmodcl  13620  modmuladdnn0  13644  modsumfzodifsn  13673  zsqcl2  13865  swrdnnn0nd  14378  swrdswrdlem  14426  swrdswrd  14427  swrdccatin2  14451  pfxccatin12lem2  14453  pfxccatin12lem3  14454  repswswrd  14506  cshwidxmod  14525  nn0abscl  15033  iseralt  15405  binomrisefac  15761  oexpneg  16063  oddnn02np1  16066  evennn02n  16068  nn0ehalf  16096  nn0oddm1d2  16103  divalglem2  16113  divalglem8  16118  divalglem10  16120  divalgb  16122  bitsinv1lem  16157  dfgcd2  16263  algcvga  16293  hashgcdlem  16498  iserodd  16545  pockthlem  16615  4sqlem14  16668  cshwshashlem2  16807  chfacfscmul0  22016  chfacfpmmul0  22020  taylfvallem1  25525  tayl0  25530  basellem3  26241  bcmono  26434  gausslemma2dlem0h  26520  2sqnn0  26595  crctcshwlkn0lem7  28190  crctcshwlkn0  28195  clwlkclwwlklem2a1  28365  clwlkclwwlklem2fv2  28369  clwlkclwwlklem2a  28371  wwlksubclwwlk  28431  0nn0m1nnn0  33080  knoppndvlem2  34702  aks4d1p1p2  40085  aks4d1p1p4  40086  aks4d1p3  40093  aks4d1p7  40098  aks4d1p8  40102  aks4d1p9  40103  sticksstones10  40118  sticksstones12a  40120  irrapxlem1  40651  rmynn0  40786  rmyabs  40787  jm2.22  40824  jm2.23  40825  jm2.27a  40834  jm2.27c  40836  dvnprodlem1  43494  wallispilem4  43616  stirlinglem5  43626  elaa2lem  43781  etransclem3  43785  etransclem7  43789  etransclem10  43792  etransclem19  43801  etransclem20  43802  etransclem21  43803  etransclem22  43804  etransclem24  43806  etransclem27  43809  zm1nn  44805  eluzge0nn0  44815  elfz2z  44818  2elfz2melfz  44821  subsubelfzo0  44829  oexpnegALTV  45140  nn0oALTV  45159  nn0e  45160  nn0eo  45885  dig1  45965