Theorem elnn0z 12711

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12613	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12708	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2767	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 928	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12709	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2848	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 236	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 871	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 881	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 212	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 636	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1024	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11315	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12702	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11401	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 300	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11204  0cc0 11205   < clt 11348   ≤ cle 11349  ℕcn 12340  ℕ₀cn0 12611  ℤcz 12698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-n0 12612  df-z 12699

This theorem is used by:  zle0orge1  12715  nn0zrab  12730  znn0sub  12748  0nn0m1nnn0  12758  nn0ind  12799  fnn0ind  12803  fznn0  13758  elfz0ubfz0  13771  elfz0fzfz0  13772  fz0fzelfz0  13773  elfzmlbp  13778  difelfzle  13780  difelfznle  13781  elfzo0z  13841  fzofzim  13849  ubmelm1fzo  13903  flge0nn0  13965  zmodcl  14036  modmuladdnn0  14063  modsumfzodifsn  14092  zsqcl2  14286  swrdnnn0nd  14812  swrdswrdlem  14859  swrdswrd  14860  swrdccatin2  14884  pfxccatin12lem2  14886  pfxccatin12lem3  14887  repswswrd  14941  cshwidxmod  14960  nn0abscl  15486  iseralt  15859  binomrisefac  16215  oexpneg  16522  oddnn02np1  16525  evennn02n  16527  nn0ehalf  16555  nn0oddm1d2  16562  divalglem2  16572  divalglem8  16577  divalglem10  16579  divalgb  16581  bitsinv1lem  16618  dfgcd2  16726  algcvga  16761  hashgcdlem  16972  iserodd  17020  pockthlem  17090  4sqlem14  17143  cshwshashlem2  17281  chfacfscmul0  23183  chfacfpmmul0  23187  taylfvallem1  26691  tayl0  26696  basellem3  27417  bcmono  27611  gausslemma2dlem0h  27697  2sqnn0  27772  crctcshwlkn0lem7  30412  crctcshwlkn0  30417  clwlkclwwlklem2a1  30590  clwlkclwwlklem2fv2  30594  clwlkclwwlklem2a  30596  wwlksubclwwlk  30656  knoppndvlem2  37473  aks4d1p1p2  43227  aks4d1p1p4  43228  aks4d1p3  43235  aks4d1p7  43240  aks4d1p8  43244  aks4d1p9  43245  aks6d1c1  43273  hashscontpow1  43278  aks6d1c2lem4  43284  aks6d1c2  43287  aks6d1c5lem3  43294  aks6d1c5lem2  43295  sticksstones10  43312  sticksstones12a  43314  aks6d1c6lem3  43329  aks6d1c6lem4  43330  bcled  43335  bcle2d  43336  aks6d1c7lem1  43337  aks6d1c7lem2  43338  unitscyglem5  43356  irrapxlem1  43936  rmynn0  44071  rmyabs  44072  jm2.22  44109  jm2.23  44110  jm2.27a  44119  jm2.27c  44121  dvnprodlem1  47063  wallispilem4  47185  stirlinglem5  47195  elaa2lem  47350  etransclem3  47354  etransclem7  47358  etransclem10  47361  etransclem19  47370  etransclem20  47371  etransclem21  47372  etransclem22  47373  etransclem24  47375  etransclem27  47378  ormkglobd  47994  zm1nn  48479  eluzge0nn0  48489  elfz2z  48492  2elfz2melfz  48495  subsubelfzo0  48504  oexpnegALTV  48882  nn0oALTV  48901  nn0e  48902  gpgusgralem  49261  nn0eo  49747  dig1  49827