Theorem elnn0z 12699

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12601	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12696	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2768	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 928	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12697	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2849	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 236	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 871	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 881	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 212	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 636	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1024	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11303	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12690	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11389	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 300	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11192  0cc0 11193   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687

This theorem is used by:  zle0orge1  12703  nn0zrab  12718  znn0sub  12736  0nn0m1nnn0  12746  nn0ind  12787  fnn0ind  12791  fznn0  13746  elfz0ubfz0  13759  elfz0fzfz0  13760  fz0fzelfz0  13761  elfzmlbp  13766  difelfzle  13768  difelfznle  13769  elfzo0z  13829  fzofzim  13837  ubmelm1fzo  13891  flge0nn0  13953  zmodcl  14024  modmuladdnn0  14051  modsumfzodifsn  14080  zsqcl2  14274  swrdnnn0nd  14799  swrdswrdlem  14846  swrdswrd  14847  swrdccatin2  14871  pfxccatin12lem2  14873  pfxccatin12lem3  14874  repswswrd  14928  cshwidxmod  14947  nn0abscl  15472  iseralt  15845  binomrisefac  16201  oexpneg  16508  oddnn02np1  16511  evennn02n  16513  nn0ehalf  16541  nn0oddm1d2  16548  divalglem2  16558  divalglem8  16563  divalglem10  16565  divalgb  16567  bitsinv1lem  16604  dfgcd2  16712  algcvga  16747  hashgcdlem  16958  iserodd  17006  pockthlem  17076  4sqlem14  17129  cshwshashlem2  17267  chfacfscmul0  23169  chfacfpmmul0  23173  taylfvallem1  26677  tayl0  26682  basellem3  27403  bcmono  27597  gausslemma2dlem0h  27683  2sqnn0  27758  crctcshwlkn0lem7  30398  crctcshwlkn0  30403  clwlkclwwlklem2a1  30576  clwlkclwwlklem2fv2  30580  clwlkclwwlklem2a  30582  wwlksubclwwlk  30642  knoppndvlem2  37359  aks4d1p1p2  43100  aks4d1p1p4  43101  aks4d1p3  43108  aks4d1p7  43113  aks4d1p8  43117  aks4d1p9  43118  aks6d1c1  43146  hashscontpow1  43151  aks6d1c2lem4  43157  aks6d1c2  43160  aks6d1c5lem3  43167  aks6d1c5lem2  43168  sticksstones10  43185  sticksstones12a  43187  aks6d1c6lem3  43202  aks6d1c6lem4  43203  bcled  43208  bcle2d  43209  aks6d1c7lem1  43210  aks6d1c7lem2  43211  unitscyglem5  43229  irrapxlem1  43808  rmynn0  43943  rmyabs  43944  jm2.22  43981  jm2.23  43982  jm2.27a  43991  jm2.27c  43993  dvnprodlem1  46925  wallispilem4  47047  stirlinglem5  47057  elaa2lem  47212  etransclem3  47216  etransclem7  47220  etransclem10  47223  etransclem19  47232  etransclem20  47233  etransclem21  47234  etransclem22  47235  etransclem24  47237  etransclem27  47240  ormkglobd  47856  zm1nn  48341  eluzge0nn0  48351  elfz2z  48354  2elfz2melfz  48357  subsubelfzo0  48366  oexpnegALTV  48744  nn0oALTV  48763  nn0e  48764  gpgusgralem  49123  nn0eo  49609  dig1  49689