Theorem elnn0z 12628

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12530	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12625	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2767	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 928	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12626	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2848	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 236	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 871	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 881	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 212	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 636	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1024	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11234	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12619	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11320	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 300	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11123  0cc0 11124   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616

This theorem is used by:  zle0orge1  12632  nn0zrab  12647  znn0sub  12665  0nn0m1nnn0  12675  nn0ind  12716  fnn0ind  12720  fznn0  13674  elfz0ubfz0  13687  elfz0fzfz0  13688  fz0fzelfz0  13689  elfzmlbp  13694  difelfzle  13696  difelfznle  13697  elfzo0z  13757  fzofzim  13765  ubmelm1fzo  13819  flge0nn0  13881  zmodcl  13952  modmuladdnn0  13979  modsumfzodifsn  14008  zsqcl2  14202  swrdnnn0nd  14726  swrdswrdlem  14773  swrdswrd  14774  swrdccatin2  14798  pfxccatin12lem2  14800  pfxccatin12lem3  14801  repswswrd  14855  cshwidxmod  14874  nn0abscl  15399  iseralt  15772  binomrisefac  16128  oexpneg  16435  oddnn02np1  16438  evennn02n  16440  nn0ehalf  16468  nn0oddm1d2  16475  divalglem2  16485  divalglem8  16490  divalglem10  16492  divalgb  16494  bitsinv1lem  16531  dfgcd2  16636  algcvga  16669  hashgcdlem  16879  iserodd  16927  pockthlem  16997  4sqlem14  17050  cshwshashlem2  17188  chfacfscmul0  23083  chfacfpmmul0  23087  taylfvallem1  26593  tayl0  26598  basellem3  27319  bcmono  27513  gausslemma2dlem0h  27599  2sqnn0  27674  crctcshwlkn0lem7  30284  crctcshwlkn0  30289  clwlkclwwlklem2a1  30462  clwlkclwwlklem2fv2  30466  clwlkclwwlklem2a  30468  wwlksubclwwlk  30528  knoppndvlem2  37210  aks4d1p1p2  42936  aks4d1p1p4  42937  aks4d1p3  42944  aks4d1p7  42949  aks4d1p8  42953  aks4d1p9  42954  aks6d1c1  42982  hashscontpow1  42987  aks6d1c2lem4  42993  aks6d1c2  42996  aks6d1c5lem3  43003  aks6d1c5lem2  43004  sticksstones10  43021  sticksstones12a  43023  aks6d1c6lem3  43038  aks6d1c6lem4  43039  bcled  43044  bcle2d  43045  aks6d1c7lem1  43046  aks6d1c7lem2  43047  unitscyglem5  43065  irrapxlem1  43663  rmynn0  43798  rmyabs  43799  jm2.22  43836  jm2.23  43837  jm2.27a  43846  jm2.27c  43848  dvnprodlem1  46774  wallispilem4  46896  stirlinglem5  46906  elaa2lem  47061  etransclem3  47065  etransclem7  47069  etransclem10  47072  etransclem19  47081  etransclem20  47082  etransclem21  47083  etransclem22  47084  etransclem24  47086  etransclem27  47089  ormkglobd  47705  zm1nn  48190  eluzge0nn0  48200  elfz2z  48203  2elfz2melfz  48206  subsubelfzo0  48215  oexpnegALTV  48593  nn0oALTV  48612  nn0e  48613  gpgusgralem  48972  nn0eo  49458  dig1  49538