Theorem elnn0z 12746

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12648	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12743	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2770	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 928	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12744	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2852	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 236	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 871	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 881	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 212	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 636	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1024	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11349	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12737	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11435	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 300	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734

This theorem is used by:  zle0orge1  12750  nn0zrab  12765  znn0sub  12783  0nn0m1nnn0  12793  nn0ind  12834  fnn0ind  12838  fznn0  13793  elfz0ubfz0  13806  elfz0fzfz0  13807  fz0fzelfz0  13808  elfzmlbp  13813  difelfzle  13815  difelfznle  13816  elfzo0z  13876  fzofzim  13884  ubmelm1fzo  13938  flge0nn0  14000  zmodcl  14071  modmuladdnn0  14098  modsumfzodifsn  14127  zsqcl2  14321  swrdnnn0nd  14848  swrdswrdlem  14895  swrdswrd  14896  swrdccatin2  14920  pfxccatin12lem2  14922  pfxccatin12lem3  14923  repswswrd  14977  cshwidxmod  14996  nn0abscl  15522  iseralt  15896  binomrisefac  16252  oexpneg  16559  oddnn02np1  16562  evennn02n  16564  nn0ehalf  16592  nn0oddm1d2  16599  divalglem2  16609  divalglem8  16614  divalglem10  16616  divalgb  16618  bitsinv1lem  16655  dfgcd2  16763  algcvga  16798  hashgcdlem  17009  iserodd  17057  pockthlem  17127  4sqlem14  17180  cshwshashlem2  17318  chfacfscmul0  23231  chfacfpmmul0  23235  taylfvallem1  26741  tayl0  26746  basellem3  27467  bcmono  27661  gausslemma2dlem0h  27747  2sqnn0  27822  crctcshwlkn0lem7  30462  crctcshwlkn0  30467  clwlkclwwlklem2a1  30640  clwlkclwwlklem2fv2  30644  clwlkclwwlklem2a  30646  wwlksubclwwlk  30706  knoppndvlem2  37594  aks4d1p1p2  43386  aks4d1p1p4  43387  aks4d1p3  43394  aks4d1p7  43399  aks4d1p8  43403  aks4d1p9  43404  aks6d1c1  43432  hashscontpow1  43437  aks6d1c2lem4  43443  aks6d1c2  43446  aks6d1c5lem3  43453  aks6d1c5lem2  43454  sticksstones10  43471  sticksstones12a  43473  aks6d1c6lem3  43488  aks6d1c6lem4  43489  bcled  43494  bcle2d  43495  aks6d1c7lem1  43496  aks6d1c7lem2  43497  unitscyglem5  43515  irrapxlem1  44095  rmynn0  44230  rmyabs  44231  jm2.22  44268  jm2.23  44269  jm2.27a  44278  jm2.27c  44280  dvnprodlem1  47229  wallispilem4  47351  stirlinglem5  47361  elaa2lem  47516  etransclem3  47520  etransclem7  47524  etransclem10  47527  etransclem19  47536  etransclem20  47537  etransclem21  47538  etransclem22  47539  etransclem24  47541  etransclem27  47544  ormkglobd  48160  zm1nn  48645  eluzge0nn0  48655  elfz2z  48658  2elfz2melfz  48661  subsubelfzo0  48670  oexpnegALTV  49048  nn0oALTV  49067  nn0e  49068  gpgusgralem  49427  nn0eo  49971  dig1  50051