MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnn0z 11656
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 elnn0 11561 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 elnnz 11653 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3 eqcom 2813 . . 3 (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
42, 3orbi12i 929 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6 0z 11654 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
7 eleq1 2873 . . . . . . 7 (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
86, 7mpbii 224 . . . . . 6 (0 = 𝑁𝑁 ∈ ℤ)
95, 8jaoi 875 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 orc 885 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
119, 10impbii 200 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
1211anbi1i 612 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13 ordir 1020 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14 0re 10327 . . . . 5 0 ∈ ℝ
15 zre 11647 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16 leloe 10409 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
1714, 15, 16sylancr 577 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
1817pm5.32i 566 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
1912, 13, 183bitr4i 294 . 2 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
201, 4, 193bitri 288 1 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2156   class class class wbr 4844  cr 10220  0cc0 10221   < clt 10359  cle 10360  cn 11305  0cn0 11559  cz 11643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-n0 11560  df-z 11644
This theorem is referenced by:  nn0zrab  11672  znn0sub  11690  nn0ind  11738  fnn0ind  11742  fznn0  12655  elfz0ubfz0  12667  elfz0fzfz0  12668  fz0fzelfz0  12669  elfzmlbp  12674  difelfzle  12676  difelfznle  12677  elfzo0z  12734  fzofzim  12739  ubmelm1fzo  12788  flge0nn0  12845  zmodcl  12914  modmuladdnn0  12938  modsumfzodifsn  12967  zsqcl2  13164  swrdswrdlem  13683  swrdswrd  13684  swrdccatin2  13711  swrdccatin12lem2  13713  swrdccatin12lem3  13714  repswswrd  13755  cshwidxmod  13773  nn0abscl  14275  iseralt  14638  binomrisefac  14993  oexpneg  15289  oddnn02np1  15292  evennn02n  15294  nn0ehalf  15315  nn0oddm1d2  15321  divalglem2  15338  divalglem8  15343  divalglem10  15345  divalgb  15347  bitsinv1lem  15382  dfgcd2  15482  algcvga  15511  hashgcdlem  15710  iserodd  15757  pockthlem  15826  4sqlem14  15879  cshwshashlem2  16015  chfacfscmul0  20876  chfacfpmmul0  20880  taylfvallem1  24325  tayl0  24330  leibpilem1  24881  basellem3  25023  bcmono  25216  gausslemma2dlem0h  25302  crctcshwlkn0lem7  26937  crctcshwlkn0  26942  clwlkclwwlklem2a1  27135  clwlkclwwlklem2fv2  27139  clwlkclwwlklem2a  27141  wwlksubclwwlk  27209  knoppndvlem2  32821  irrapxlem1  37888  rmynn0  38025  rmyabs  38026  jm2.22  38063  jm2.23  38064  jm2.27a  38073  jm2.27c  38075  dvnprodlem1  40641  wallispilem4  40764  stirlinglem5  40774  elaa2lem  40929  etransclem3  40933  etransclem7  40937  etransclem10  40940  etransclem19  40949  etransclem20  40950  etransclem21  40951  etransclem22  40952  etransclem24  40954  etransclem27  40957  zm1nn  41892  eluzge0nn0  41897  elfz2z  41900  2elfz2melfz  41903  subsubelfzo0  41911  pfxccatin12lem2  41999  oexpnegALTV  42163  nn0oALTV  42182  nn0e  42183  nn0eo  42890  dig1  42970
  Copyright terms: Public domain W3C validator