Theorem elnn0z 12652

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12555	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12649	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2747	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 913	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12650	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2832	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 856	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 866	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 209	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 623	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1007	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11292	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12643	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11376	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 297	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640

This theorem is referenced by:  zle0orge1  12656  nn0zrab  12672  znn0sub  12690  nn0ind  12738  fnn0ind  12742  fznn0  13676  elfz0ubfz0  13689  elfz0fzfz0  13690  fz0fzelfz0  13691  elfzmlbp  13696  difelfzle  13698  difelfznle  13699  elfzo0z  13758  fzofzim  13763  ubmelm1fzo  13813  flge0nn0  13871  zmodcl  13942  modmuladdnn0  13966  modsumfzodifsn  13995  zsqcl2  14188  swrdnnn0nd  14704  swrdswrdlem  14752  swrdswrd  14753  swrdccatin2  14777  pfxccatin12lem2  14779  pfxccatin12lem3  14780  repswswrd  14832  cshwidxmod  14851  nn0abscl  15361  iseralt  15733  binomrisefac  16090  oexpneg  16393  oddnn02np1  16396  evennn02n  16398  nn0ehalf  16426  nn0oddm1d2  16433  divalglem2  16443  divalglem8  16448  divalglem10  16450  divalgb  16452  bitsinv1lem  16487  dfgcd2  16593  algcvga  16626  hashgcdlem  16835  iserodd  16882  pockthlem  16952  4sqlem14  17005  cshwshashlem2  17144  chfacfscmul0  22885  chfacfpmmul0  22889  taylfvallem1  26416  tayl0  26421  basellem3  27144  bcmono  27339  gausslemma2dlem0h  27425  2sqnn0  27500  crctcshwlkn0lem7  29849  crctcshwlkn0  29854  clwlkclwwlklem2a1  30024  clwlkclwwlklem2fv2  30028  clwlkclwwlklem2a  30030  wwlksubclwwlk  30090  0nn0m1nnn0  35080  knoppndvlem2  36479  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p3  42035  aks4d1p7  42040  aks4d1p8  42044  aks4d1p9  42045  aks6d1c1  42073  hashscontpow1  42078  aks6d1c2lem4  42084  aks6d1c2  42087  aks6d1c5lem3  42094  aks6d1c5lem2  42095  sticksstones10  42112  sticksstones12a  42114  aks6d1c6lem3  42129  aks6d1c6lem4  42130  bcled  42135  bcle2d  42136  aks6d1c7lem1  42137  aks6d1c7lem2  42138  unitscyglem5  42156  irrapxlem1  42778  rmynn0  42914  rmyabs  42915  jm2.22  42952  jm2.23  42953  jm2.27a  42962  jm2.27c  42964  dvnprodlem1  45867  wallispilem4  45989  stirlinglem5  45999  elaa2lem  46154  etransclem3  46158  etransclem7  46162  etransclem10  46165  etransclem19  46174  etransclem20  46175  etransclem21  46176  etransclem22  46177  etransclem24  46179  etransclem27  46182  zm1nn  47217  eluzge0nn0  47227  elfz2z  47230  2elfz2melfz  47233  subsubelfzo0  47241  oexpnegALTV  47551  nn0oALTV  47570  nn0e  47571  nn0eo  48262  dig1  48342