Theorem elnn0z 12615

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12517	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12612	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2772	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 928	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12613	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2853	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 236	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 871	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 881	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 212	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 636	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1024	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11221	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12606	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11307	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 585	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 300	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ℝcr 11110  0cc0 11111   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603

This theorem is used by:  zle0orge1  12619  nn0zrab  12634  znn0sub  12652  0nn0m1nnn0  12662  nn0ind  12703  fnn0ind  12707  fznn0  13660  elfz0ubfz0  13673  elfz0fzfz0  13674  fz0fzelfz0  13675  elfzmlbp  13680  difelfzle  13682  difelfznle  13683  elfzo0z  13743  fzofzim  13751  ubmelm1fzo  13805  flge0nn0  13867  zmodcl  13938  modmuladdnn0  13965  modsumfzodifsn  13994  zsqcl2  14188  swrdnnn0nd  14712  swrdswrdlem  14759  swrdswrd  14760  swrdccatin2  14784  pfxccatin12lem2  14786  pfxccatin12lem3  14787  repswswrd  14841  cshwidxmod  14860  nn0abscl  15383  iseralt  15756  binomrisefac  16114  oexpneg  16421  oddnn02np1  16424  evennn02n  16426  nn0ehalf  16454  nn0oddm1d2  16461  divalglem2  16471  divalglem8  16476  divalglem10  16478  divalgb  16480  bitsinv1lem  16517  dfgcd2  16622  algcvga  16655  hashgcdlem  16865  iserodd  16913  pockthlem  16983  4sqlem14  17036  cshwshashlem2  17174  chfacfscmul0  23045  chfacfpmmul0  23049  taylfvallem1  26551  tayl0  26556  basellem3  27278  bcmono  27472  gausslemma2dlem0h  27558  2sqnn0  27633  crctcshwlkn0lem7  30208  crctcshwlkn0  30213  clwlkclwwlklem2a1  30386  clwlkclwwlklem2fv2  30390  clwlkclwwlklem2a  30392  wwlksubclwwlk  30452  knoppndvlem2  37135  aks4d1p1p2  42870  aks4d1p1p4  42871  aks4d1p3  42878  aks4d1p7  42883  aks4d1p8  42887  aks4d1p9  42888  aks6d1c1  42916  hashscontpow1  42921  aks6d1c2lem4  42927  aks6d1c2  42930  aks6d1c5lem3  42937  aks6d1c5lem2  42938  sticksstones10  42955  sticksstones12a  42957  aks6d1c6lem3  42972  aks6d1c6lem4  42973  bcled  42978  bcle2d  42979  aks6d1c7lem1  42980  aks6d1c7lem2  42981  unitscyglem5  42999  irrapxlem1  43582  rmynn0  43717  rmyabs  43718  jm2.22  43755  jm2.23  43756  jm2.27a  43765  jm2.27c  43767  dvnprodlem1  46693  wallispilem4  46815  stirlinglem5  46825  elaa2lem  46980  etransclem3  46984  etransclem7  46988  etransclem10  46991  etransclem19  47000  etransclem20  47001  etransclem21  47002  etransclem22  47003  etransclem24  47005  etransclem27  47008  ormkglobd  47624  zm1nn  48072  eluzge0nn0  48082  elfz2z  48085  2elfz2melfz  48088  subsubelfzo0  48097  oexpnegALTV  48475  nn0oALTV  48494  nn0e  48495  gpgusgralem  48854  nn0eo  49341  dig1  49421