Theorem elnn0z 11848

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11753	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 11845	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2804	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 909	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 11846	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2872	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 234	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 852	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 862	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 210	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 623	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1001	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 10496	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 11839	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 10580	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 575	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 304	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 298	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  ℝcr 10389  0cc0 10390   < clt 10528   ≤ cle 10529  ℕcn 11492  ℕ₀cn0 11751  ℤcz 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836

This theorem is referenced by:  zle0orge1  11852  nn0zrab  11865  znn0sub  11883  nn0ind  11931  fnn0ind  11935  fznn0  12853  elfz0ubfz0  12865  elfz0fzfz0  12866  fz0fzelfz0  12867  elfzmlbp  12872  difelfzle  12874  difelfznle  12875  elfzo0z  12933  fzofzim  12938  ubmelm1fzo  12987  flge0nn0  13044  zmodcl  13113  modmuladdnn0  13137  modsumfzodifsn  13166  zsqcl2  13356  swrdnnn0nd  13858  swrdswrdlem  13906  swrdswrd  13907  swrdccatin2  13931  pfxccatin12lem2  13933  pfxccatin12lem3  13934  repswswrd  13986  cshwidxmod  14005  nn0abscl  14510  iseralt  14879  binomrisefac  15233  oexpneg  15531  oddnn02np1  15534  evennn02n  15536  nn0ehalf  15566  nn0oddm1d2  15573  divalglem2  15583  divalglem8  15588  divalglem10  15590  divalgb  15592  bitsinv1lem  15627  dfgcd2  15727  algcvga  15756  hashgcdlem  15958  iserodd  16005  pockthlem  16074  4sqlem14  16127  cshwshashlem2  16263  chfacfscmul0  21154  chfacfpmmul0  21158  taylfvallem1  24632  tayl0  24637  leibpilem1OLD  25204  basellem3  25346  bcmono  25539  gausslemma2dlem0h  25625  2sqnn0  25700  crctcshwlkn0lem7  27280  crctcshwlkn0  27285  clwlkclwwlklem2a1  27456  clwlkclwwlklem2fv2  27460  clwlkclwwlklem2a  27462  wwlksubclwwlk  27523  0nn0m1nnn0  31961  knoppndvlem2  33463  irrapxlem1  38925  rmynn0  39060  rmyabs  39061  jm2.22  39098  jm2.23  39099  jm2.27a  39108  jm2.27c  39110  dvnprodlem1  41794  wallispilem4  41917  stirlinglem5  41927  elaa2lem  42082  etransclem3  42086  etransclem7  42090  etransclem10  42093  etransclem19  42102  etransclem20  42103  etransclem21  42104  etransclem22  42105  etransclem24  42107  etransclem27  42110  zm1nn  43040  eluzge0nn0  43050  elfz2z  43053  2elfz2melfz  43056  subsubelfzo0  43064  oexpnegALTV  43346  nn0oALTV  43365  nn0e  43366  nn0eo  44091  dig1  44171