Theorem znegcld 12624

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12551	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  -cneg 11367  ℤcz 12513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-z 12514

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12629  zriotaneg  12631  zsupss  12876  ceicl  13789  modnegd  13877  expaddzlem  14056  climshft2  15533  fsumshftm  15732  eftlub  16065  dvdsadd2b  16264  bitscmp  16396  bitsf1  16404  bitsres  16431  modgcd  16490  pcneg  16834  gznegcl  16895  gzcjcl  16896  4sqlem10  16907  mulgdirlem  19070  mulgdir  19071  mulgmodid  19078  subgmulg  19105  zringlpirlem3  21452  aannenlem1  26307  geolim3  26318  aaliou3lem1  26321  aaliou3lem2  26322  aaliou3lem3  26323  aaliou3lem5  26326  aaliou3lem6  26327  aaliou3lem7  26328  ulmshft  26370  sineq0  26504  wilthlem1  27049  lgseisenlem2  27358  2sqlem4  27403  padicabvcxp  27614  numdenneg  32908  archirngz  33270  archiabllem1b  33273  archiabllem2c  33276  elrgspnlem1  33323  mdetlap  33997  zrhcntr  34144  qqhval2lem  34146  breprexplemc  34797  knoppndvlem1  36785  knoppndvlem2  36786  knoppndvlem7  36791  knoppndvlem14  36798  knoppndvlem16  36800  knoppndvlem17  36801  knoppndvlem19  36803  knoppndvlem21  36805  ltflcei  37940  cntotbnd  38128  primrootscoprbij  42552  aks6d1c6isolem1  42624  aks6d1c7lem1  42630  pellexlem5  43276  pell1234qrreccl  43297  pellfund14  43341  congsub  43413  acongeq  43426  dvdsacongtr  43427  jm2.19  43436  jm2.25  43442  jm2.26lem3  43444  dvradcnv2  44789  binomcxplemnotnn0  44798  sineq0ALT  45378  fourierdlem41  46591  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem64  46613  fourierdlem89  46638  fourierdlem91  46640  fourierdlem97  46646  fourierdlem103  46652  etransclem9  46686  etransclem35  46712  etransclem41  46718  etransclem47  46724  modm2nep1  47817  modm1nep2  47819  modm1nem2  47820