Theorem znegcld 12726

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12654	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  -cneg 11494  ℤcz 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-z 12616

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12731  zriotaneg  12733  zsupss  12980  ceicl  13882  modnegd  13968  expaddzlem  14147  climshft2  15619  fsumshftm  15818  eftlub  16146  dvdsadd2b  16344  bitscmp  16476  bitsf1  16484  bitsres  16511  modgcd  16570  pcneg  16913  gznegcl  16974  gzcjcl  16975  4sqlem10  16986  mulgdirlem  19124  mulgdir  19125  mulgmodid  19132  subgmulg  19159  zringlpirlem3  21476  aannenlem1  26371  geolim3  26382  aaliou3lem1  26385  aaliou3lem2  26386  aaliou3lem3  26387  aaliou3lem5  26390  aaliou3lem6  26391  aaliou3lem7  26392  ulmshft  26434  sineq0  26567  wilthlem1  27112  lgseisenlem2  27421  2sqlem4  27466  padicabvcxp  27677  numdenneg  32817  archirngz  33197  archiabllem1b  33200  archiabllem2c  33203  elrgspnlem1  33247  mdetlap  33832  zrhcntr  33981  qqhval2lem  33983  breprexplemc  34648  knoppndvlem1  36514  knoppndvlem2  36515  knoppndvlem7  36520  knoppndvlem14  36527  knoppndvlem16  36529  knoppndvlem17  36530  knoppndvlem19  36532  knoppndvlem21  36534  ltflcei  37616  cntotbnd  37804  primrootscoprbij  42104  aks6d1c6isolem1  42176  aks6d1c7lem1  42182  pellexlem5  42849  pell1234qrreccl  42870  pellfund14  42914  congsub  42987  acongeq  43000  dvdsacongtr  43001  jm2.19  43010  jm2.25  43016  jm2.26lem3  43018  dvradcnv2  44371  binomcxplemnotnn0  44380  sineq0ALT  44962  fourierdlem41  46168  fourierdlem48  46174  fourierdlem49  46175  fourierdlem64  46190  fourierdlem89  46215  fourierdlem91  46217  fourierdlem97  46223  fourierdlem103  46229  etransclem9  46263  etransclem35  46289  etransclem41  46295  etransclem47  46301