Theorem znegcld 12664

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12593	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  -cneg 11441  ℤcz 12554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-z 12555

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12669  zriotaneg  12671  zsupss  12917  ceicl  13802  modnegd  13887  expaddzlem  14067  climshft2  15522  fsumshftm  15723  eftlub  16048  dvdsadd2b  16245  bitscmp  16375  bitsf1  16383  bitsres  16410  modgcd  16470  pcneg  16803  gznegcl  16864  gzcjcl  16865  4sqlem10  16876  mulgdirlem  18979  mulgdir  18980  mulgmodid  18987  subgmulg  19014  zringlpirlem3  21025  aannenlem1  25832  geolim3  25843  aaliou3lem1  25846  aaliou3lem2  25847  aaliou3lem3  25848  aaliou3lem5  25851  aaliou3lem6  25852  aaliou3lem7  25853  ulmshft  25893  sineq0  26024  wilthlem1  26561  lgseisenlem2  26868  2sqlem4  26913  padicabvcxp  27124  numdenneg  32010  archirngz  32322  archiabllem1b  32325  archiabllem2c  32328  mdetlap  32800  qqhval2lem  32949  breprexplemc  33632  knoppndvlem1  35376  knoppndvlem2  35377  knoppndvlem7  35382  knoppndvlem14  35389  knoppndvlem16  35391  knoppndvlem17  35392  knoppndvlem19  35394  knoppndvlem21  35396  ltflcei  36464  cntotbnd  36652  pellexlem5  41556  pell1234qrreccl  41577  pellfund14  41621  congsub  41694  acongeq  41707  dvdsacongtr  41708  jm2.19  41717  jm2.25  41723  jm2.26lem3  41725  dvradcnv2  43091  binomcxplemnotnn0  43100  sineq0ALT  43683  fourierdlem41  44850  fourierdlem48  44856  fourierdlem49  44857  fourierdlem64  44872  fourierdlem89  44897  fourierdlem91  44899  fourierdlem97  44905  fourierdlem103  44911  etransclem9  44945  etransclem35  44971  etransclem41  44977  etransclem47  44983