Theorem znegcld 12749

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12678	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  -cneg 11521  ℤcz 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12754  zriotaneg  12756  zsupss  13002  ceicl  13892  modnegd  13977  expaddzlem  14156  climshft2  15628  fsumshftm  15829  eftlub  16157  dvdsadd2b  16354  bitscmp  16484  bitsf1  16492  bitsres  16519  modgcd  16579  pcneg  16921  gznegcl  16982  gzcjcl  16983  4sqlem10  16994  mulgdirlem  19145  mulgdir  19146  mulgmodid  19153  subgmulg  19180  zringlpirlem3  21498  aannenlem1  26388  geolim3  26399  aaliou3lem1  26402  aaliou3lem2  26403  aaliou3lem3  26404  aaliou3lem5  26407  aaliou3lem6  26408  aaliou3lem7  26409  ulmshft  26451  sineq0  26584  wilthlem1  27129  lgseisenlem2  27438  2sqlem4  27483  padicabvcxp  27694  numdenneg  32818  archirngz  33169  archiabllem1b  33172  archiabllem2c  33175  mdetlap  33778  qqhval2lem  33927  breprexplemc  34609  knoppndvlem1  36478  knoppndvlem2  36479  knoppndvlem7  36484  knoppndvlem14  36491  knoppndvlem16  36493  knoppndvlem17  36494  knoppndvlem19  36496  knoppndvlem21  36498  ltflcei  37568  cntotbnd  37756  primrootscoprbij  42059  aks6d1c6isolem1  42131  aks6d1c7lem1  42137  pellexlem5  42789  pell1234qrreccl  42810  pellfund14  42854  congsub  42927  acongeq  42940  dvdsacongtr  42941  jm2.19  42950  jm2.25  42956  jm2.26lem3  42958  dvradcnv2  44316  binomcxplemnotnn0  44325  sineq0ALT  44908  fourierdlem41  46069  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem64  46091  fourierdlem89  46116  fourierdlem91  46118  fourierdlem97  46124  fourierdlem103  46130  etransclem9  46164  etransclem35  46190  etransclem41  46196  etransclem47  46202