MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znegcld 12092
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
znegcld (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 znegcl 12020 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2113  -cneg 10874  cz 11984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-z 11985
This theorem is referenced by:  znnn0nn  12097  zriotaneg  12099  zsupss  12340  ceicl  13214  modnegd  13297  expaddzlem  13475  climshft2  14942  fsumshftm  15139  eftlub  15465  dvdsadd2b  15659  bitscmp  15790  bitsf1  15798  bitsres  15825  modgcd  15883  pcneg  16213  gznegcl  16274  gzcjcl  16275  4sqlem10  16286  mulgdirlem  18261  mulgdir  18262  mulgmodid  18269  subgmulg  18296  zringlpirlem3  20636  aannenlem1  24920  geolim3  24931  aaliou3lem1  24934  aaliou3lem2  24935  aaliou3lem3  24936  aaliou3lem5  24939  aaliou3lem6  24940  aaliou3lem7  24941  ulmshft  24981  sineq0  25112  wilthlem1  25648  lgseisenlem2  25955  2sqlem4  26000  padicabvcxp  26211  numdenneg  30536  archirngz  30822  archiabllem1b  30825  archiabllem2c  30828  mdetlap  31101  qqhval2lem  31226  breprexplemc  31907  knoppndvlem1  33855  knoppndvlem2  33856  knoppndvlem7  33861  knoppndvlem14  33868  knoppndvlem16  33870  knoppndvlem17  33871  knoppndvlem19  33873  knoppndvlem21  33875  ltflcei  34884  cntotbnd  35078  pellexlem5  39436  pell1234qrreccl  39457  pellfund14  39501  congsub  39573  acongeq  39586  dvdsacongtr  39587  jm2.19  39596  jm2.25  39602  jm2.26lem3  39604  dvradcnv2  40685  binomcxplemnotnn0  40694  sineq0ALT  41277  fourierdlem41  42440  fourierdlem48  42446  fourierdlem49  42447  fourierdlem64  42462  fourierdlem89  42487  fourierdlem91  42489  fourierdlem97  42495  fourierdlem103  42501  etransclem9  42535  etransclem35  42561  etransclem41  42567  etransclem47  42573
  Copyright terms: Public domain W3C validator