Theorem znegcld 12600

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12528	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  -cneg 11367  ℤcz 12490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-z 12491

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12605  zriotaneg  12607  zsupss  12852  ceicl  13763  modnegd  13851  expaddzlem  14030  climshft2  15507  fsumshftm  15706  eftlub  16036  dvdsadd2b  16235  bitscmp  16367  bitsf1  16375  bitsres  16402  modgcd  16461  pcneg  16804  gznegcl  16865  gzcjcl  16866  4sqlem10  16877  mulgdirlem  19037  mulgdir  19038  mulgmodid  19045  subgmulg  19072  zringlpirlem3  21421  aannenlem1  26294  geolim3  26305  aaliou3lem1  26308  aaliou3lem2  26309  aaliou3lem3  26310  aaliou3lem5  26313  aaliou3lem6  26314  aaliou3lem7  26315  ulmshft  26357  sineq0  26491  wilthlem1  27036  lgseisenlem2  27345  2sqlem4  27390  padicabvcxp  27601  numdenneg  32874  archirngz  33250  archiabllem1b  33253  archiabllem2c  33256  elrgspnlem1  33303  mdetlap  33968  zrhcntr  34115  qqhval2lem  34117  breprexplemc  34768  knoppndvlem1  36685  knoppndvlem2  36686  knoppndvlem7  36691  knoppndvlem14  36698  knoppndvlem16  36700  knoppndvlem17  36701  knoppndvlem19  36703  knoppndvlem21  36705  ltflcei  37778  cntotbnd  37966  primrootscoprbij  42391  aks6d1c6isolem1  42463  aks6d1c7lem1  42469  pellexlem5  43112  pell1234qrreccl  43133  pellfund14  43177  congsub  43249  acongeq  43262  dvdsacongtr  43263  jm2.19  43272  jm2.25  43278  jm2.26lem3  43280  dvradcnv2  44625  binomcxplemnotnn0  44634  sineq0ALT  45214  fourierdlem41  46429  fourierdlem48  46435  fourierdlem49  46436  fourierdlem64  46451  fourierdlem89  46476  fourierdlem91  46478  fourierdlem97  46484  fourierdlem103  46490  etransclem9  46524  etransclem35  46550  etransclem41  46556  etransclem47  46562  modm2nep1  47649  modm1nep2  47651  modm1nem2  47652