Theorem znegcld 12675

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12604	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  -cneg 11452  ℤcz 12565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-z 12566

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12680  zriotaneg  12682  zsupss  12928  ceicl  13813  modnegd  13898  expaddzlem  14078  climshft2  15533  fsumshftm  15734  eftlub  16059  dvdsadd2b  16256  bitscmp  16386  bitsf1  16394  bitsres  16421  modgcd  16481  pcneg  16814  gznegcl  16875  gzcjcl  16876  4sqlem10  16887  mulgdirlem  19028  mulgdir  19029  mulgmodid  19036  subgmulg  19063  zringlpirlem3  21324  aannenlem1  26180  geolim3  26191  aaliou3lem1  26194  aaliou3lem2  26195  aaliou3lem3  26196  aaliou3lem5  26199  aaliou3lem6  26200  aaliou3lem7  26201  ulmshft  26241  sineq0  26373  wilthlem1  26913  lgseisenlem2  27222  2sqlem4  27267  padicabvcxp  27478  numdenneg  32456  archirngz  32771  archiabllem1b  32774  archiabllem2c  32777  mdetlap  33276  qqhval2lem  33425  breprexplemc  34108  knoppndvlem1  35852  knoppndvlem2  35853  knoppndvlem7  35858  knoppndvlem14  35865  knoppndvlem16  35867  knoppndvlem17  35868  knoppndvlem19  35870  knoppndvlem21  35872  ltflcei  36940  cntotbnd  37128  pellexlem5  42034  pell1234qrreccl  42055  pellfund14  42099  congsub  42172  acongeq  42185  dvdsacongtr  42186  jm2.19  42195  jm2.25  42201  jm2.26lem3  42203  dvradcnv2  43569  binomcxplemnotnn0  43578  sineq0ALT  44161  fourierdlem41  45323  fourierdlem48  45329  fourierdlem49  45330  fourierdlem64  45345  fourierdlem89  45370  fourierdlem91  45372  fourierdlem97  45378  fourierdlem103  45384  etransclem9  45418  etransclem35  45444  etransclem41  45450  etransclem47  45456