Theorem znegcld 12681

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12608	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  -cneg 11417  ℤcz 12570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-z 12571

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12686  zriotaneg  12688  zsupss  12940  ceicl  13853  modnegd  13941  expaddzlem  14120  climshft2  15611  fsumshftm  15810  eftlub  16143  dvdsadd2b  16342  bitscmp  16474  bitsf1  16482  bitsres  16509  modgcd  16568  pcneg  16912  gznegcl  16973  gzcjcl  16974  4sqlem10  16985  mulgdirlem  19149  mulgdir  19150  mulgmodid  19157  subgmulg  19184  zringlpirlem3  21518  aannenlem1  26394  geolim3  26405  aaliou3lem1  26408  aaliou3lem2  26409  aaliou3lem3  26410  aaliou3lem5  26413  aaliou3lem6  26414  aaliou3lem7  26415  ulmshft  26455  sineq0  26591  wilthlem1  27134  lgseisenlem2  27442  2sqlem4  27487  padicabvcxp  27698  numdenneg  33019  archirngz  33371  archiabllem1b  33374  archiabllem2c  33377  elrgspnlem1  33425  mdetlap  34131  zrhcntr  34278  qqhval2lem  34280  breprexplemc  34928  knoppndvlem1  36955  knoppndvlem2  36956  knoppndvlem7  36961  knoppndvlem14  36968  knoppndvlem16  36970  knoppndvlem17  36971  knoppndvlem19  36973  knoppndvlem21  36975  ltflcei  38112  cntotbnd  38300  primrootscoprbij  42724  aks6d1c6isolem1  42796  aks6d1c7lem1  42802  pellexlem5  43415  pell1234qrreccl  43436  pellfund14  43480  congsub  43552  acongeq  43565  dvdsacongtr  43566  jm2.19  43575  jm2.25  43581  jm2.26lem3  43583  dvradcnv2  44928  binomcxplemnotnn0  44937  sineq0ALT  45517  fourierdlem41  46727  fourierdlem48  46733  fourierdlem49  46734  fourierdlem64  46749  fourierdlem89  46774  fourierdlem91  46776  fourierdlem97  46782  fourierdlem103  46788  etransclem9  46822  etransclem35  46848  etransclem41  46854  etransclem47  46860  modm2nep1  47971  modm1nep2  47973  modm1nem2  47974