MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znegcld 12610
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
znegcld (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 znegcl 12539 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  -cneg 11387  cz 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-z 12501
This theorem is referenced by:  znnn0nn  12615  zriotaneg  12617  zsupss  12863  ceicl  13747  modnegd  13832  expaddzlem  14012  climshft2  15465  fsumshftm  15667  eftlub  15992  dvdsadd2b  16189  bitscmp  16319  bitsf1  16327  bitsres  16354  modgcd  16414  pcneg  16747  gznegcl  16808  gzcjcl  16809  4sqlem10  16820  mulgdirlem  18908  mulgdir  18909  mulgmodid  18916  subgmulg  18943  zringlpirlem3  20888  aannenlem1  25691  geolim3  25702  aaliou3lem1  25705  aaliou3lem2  25706  aaliou3lem3  25707  aaliou3lem5  25710  aaliou3lem6  25711  aaliou3lem7  25712  ulmshft  25752  sineq0  25883  wilthlem1  26420  lgseisenlem2  26727  2sqlem4  26772  padicabvcxp  26983  numdenneg  31716  archirngz  32028  archiabllem1b  32031  archiabllem2c  32034  mdetlap  32416  qqhval2lem  32565  breprexplemc  33248  knoppndvlem1  34978  knoppndvlem2  34979  knoppndvlem7  34984  knoppndvlem14  34991  knoppndvlem16  34993  knoppndvlem17  34994  knoppndvlem19  34996  knoppndvlem21  34998  ltflcei  36069  cntotbnd  36258  pellexlem5  41159  pell1234qrreccl  41180  pellfund14  41224  congsub  41297  acongeq  41310  dvdsacongtr  41311  jm2.19  41320  jm2.25  41326  jm2.26lem3  41328  dvradcnv2  42634  binomcxplemnotnn0  42643  sineq0ALT  43226  fourierdlem41  44396  fourierdlem48  44402  fourierdlem49  44403  fourierdlem64  44418  fourierdlem89  44443  fourierdlem91  44445  fourierdlem97  44451  fourierdlem103  44457  etransclem9  44491  etransclem35  44517  etransclem41  44523  etransclem47  44529
  Copyright terms: Public domain W3C validator