Theorem znegcld 12083

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12011	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  -cneg 10865  ℤcz 11975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-z 11976

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12088  zriotaneg  12090  zsupss  12331  ceicl  13205  modnegd  13288  expaddzlem  13466  climshft2  14933  fsumshftm  15130  eftlub  15456  dvdsadd2b  15650  bitscmp  15781  bitsf1  15789  bitsres  15816  modgcd  15874  pcneg  16204  gznegcl  16265  gzcjcl  16266  4sqlem10  16277  mulgdirlem  18252  mulgdir  18253  mulgmodid  18260  subgmulg  18287  zringlpirlem3  20627  aannenlem1  24911  geolim3  24922  aaliou3lem1  24925  aaliou3lem2  24926  aaliou3lem3  24927  aaliou3lem5  24930  aaliou3lem6  24931  aaliou3lem7  24932  ulmshft  24972  sineq0  25103  wilthlem1  25639  lgseisenlem2  25946  2sqlem4  25991  padicabvcxp  26202  numdenneg  30527  archirngz  30813  archiabllem1b  30816  archiabllem2c  30819  mdetlap  31092  qqhval2lem  31217  breprexplemc  31898  knoppndvlem1  33846  knoppndvlem2  33847  knoppndvlem7  33852  knoppndvlem14  33859  knoppndvlem16  33861  knoppndvlem17  33862  knoppndvlem19  33864  knoppndvlem21  33866  ltflcei  34874  cntotbnd  35068  pellexlem5  39423  pell1234qrreccl  39444  pellfund14  39488  congsub  39560  acongeq  39573  dvdsacongtr  39574  jm2.19  39583  jm2.25  39589  jm2.26lem3  39591  dvradcnv2  40672  binomcxplemnotnn0  40681  sineq0ALT  41264  fourierdlem41  42427  fourierdlem48  42433  fourierdlem49  42434  fourierdlem64  42449  fourierdlem89  42474  fourierdlem91  42476  fourierdlem97  42482  fourierdlem103  42488  etransclem9  42522  etransclem35  42548  etransclem41  42554  etransclem47  42560