Theorem znegcld 12612

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12540	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  -cneg 11379  ℤcz 12502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-ltxr 11185  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-z 12503

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12617  zriotaneg  12619  zsupss  12864  ceicl  13775  modnegd  13863  expaddzlem  14042  climshft2  15519  fsumshftm  15718  eftlub  16048  dvdsadd2b  16247  bitscmp  16379  bitsf1  16387  bitsres  16414  modgcd  16473  pcneg  16816  gznegcl  16877  gzcjcl  16878  4sqlem10  16889  mulgdirlem  19052  mulgdir  19053  mulgmodid  19060  subgmulg  19087  zringlpirlem3  21436  aannenlem1  26309  geolim3  26320  aaliou3lem1  26323  aaliou3lem2  26324  aaliou3lem3  26325  aaliou3lem5  26328  aaliou3lem6  26329  aaliou3lem7  26330  ulmshft  26372  sineq0  26506  wilthlem1  27051  lgseisenlem2  27360  2sqlem4  27405  padicabvcxp  27616  numdenneg  32912  archirngz  33289  archiabllem1b  33292  archiabllem2c  33295  elrgspnlem1  33342  mdetlap  34016  zrhcntr  34163  qqhval2lem  34165  breprexplemc  34816  knoppndvlem1  36740  knoppndvlem2  36741  knoppndvlem7  36746  knoppndvlem14  36753  knoppndvlem16  36755  knoppndvlem17  36756  knoppndvlem19  36758  knoppndvlem21  36760  ltflcei  37888  cntotbnd  38076  primrootscoprbij  42501  aks6d1c6isolem1  42573  aks6d1c7lem1  42579  pellexlem5  43219  pell1234qrreccl  43240  pellfund14  43284  congsub  43356  acongeq  43369  dvdsacongtr  43370  jm2.19  43379  jm2.25  43385  jm2.26lem3  43387  dvradcnv2  44732  binomcxplemnotnn0  44741  sineq0ALT  45321  fourierdlem41  46535  fourierdlem48  46541  fourierdlem49  46542  fourierdlem64  46557  fourierdlem89  46582  fourierdlem91  46584  fourierdlem97  46590  fourierdlem103  46596  etransclem9  46630  etransclem35  46656  etransclem41  46662  etransclem47  46668  modm2nep1  47755  modm1nep2  47757  modm1nem2  47758