Theorem znegcld 12805

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12731	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   -cneg 11542  ℤcz 12693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-z 12694

This theorem is used by:  znnn0nn  12810  zriotaneg  12812  zsupss  13064  ceicl  13981  modnegd  14069  expaddzlem  14248  climshft2  15749  fsumshftm  15947  eftlub  16277  dvdsadd2b  16476  bitscmp  16608  bitsf1  16616  bitsres  16643  modgcd  16705  pcneg  17052  gznegcl  17113  gzcjcl  17114  4sqlem10  17125  mulgdirlem  19315  mulgdir  19316  mulgmodid  19323  subgmulg  19351  zringlpirlem3  21770  aannenlem1  26655  geolim3  26666  aaliou3lem1  26669  aaliou3lem2  26670  aaliou3lem3  26671  aaliou3lem5  26674  aaliou3lem6  26675  aaliou3lem7  26676  ulmshft  26717  sineq0  26852  wilthlem1  27395  lgseisenlem2  27703  2sqlem4  27748  padicabvcxp  27959  numdenneg  33406  archirngz  33750  archiabllem1b  33753  archiabllem2c  33756  elrgspnlem1  33803  mdetlap  34464  zrhcntr  34611  qqhval2lem  34613  breprexplemc  35261  knoppndvlem1  37378  knoppndvlem2  37379  knoppndvlem7  37384  knoppndvlem14  37391  knoppndvlem16  37393  knoppndvlem17  37394  knoppndvlem19  37396  knoppndvlem21  37398  ltflcei  38532  cntotbnd  38731  primrootscoprbij  43153  aks6d1c6isolem1  43225  aks6d1c7lem1  43231  pellexlem5  43840  pell1234qrreccl  43861  pellfund14  43905  congsub  43977  acongeq  43990  dvdsacongtr  43991  jm2.19  44000  jm2.25  44006  jm2.26lem3  44008  dvradcnv2  45331  binomcxplemnotnn0  45340  sineq0ALT  45919  fourierdlem41  47158  fourierdlem48  47164  fourierdlem49  47165  fourierdlem64  47180  fourierdlem89  47205  fourierdlem91  47207  fourierdlem97  47213  fourierdlem103  47219  etransclem9  47253  etransclem35  47279  etransclem41  47285  etransclem47  47291  modm2nep1  48442  modm1nep2  48444  modm1nem2  48445