Theorem znegcld 12428

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12355	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  -cneg 11206  ℤcz 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-z 12320

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12433  zriotaneg  12435  zsupss  12677  ceicl  13561  modnegd  13646  expaddzlem  13826  climshft2  15291  fsumshftm  15493  eftlub  15818  dvdsadd2b  16015  bitscmp  16145  bitsf1  16153  bitsres  16180  modgcd  16240  pcneg  16575  gznegcl  16636  gzcjcl  16637  4sqlem10  16648  mulgdirlem  18734  mulgdir  18735  mulgmodid  18742  subgmulg  18769  zringlpirlem3  20686  aannenlem1  25488  geolim3  25499  aaliou3lem1  25502  aaliou3lem2  25503  aaliou3lem3  25504  aaliou3lem5  25507  aaliou3lem6  25508  aaliou3lem7  25509  ulmshft  25549  sineq0  25680  wilthlem1  26217  lgseisenlem2  26524  2sqlem4  26569  padicabvcxp  26780  numdenneg  31131  archirngz  31443  archiabllem1b  31446  archiabllem2c  31449  mdetlap  31782  qqhval2lem  31931  breprexplemc  32612  knoppndvlem1  34692  knoppndvlem2  34693  knoppndvlem7  34698  knoppndvlem14  34705  knoppndvlem16  34707  knoppndvlem17  34708  knoppndvlem19  34710  knoppndvlem21  34712  ltflcei  35765  cntotbnd  35954  pellexlem5  40655  pell1234qrreccl  40676  pellfund14  40720  congsub  40792  acongeq  40805  dvdsacongtr  40806  jm2.19  40815  jm2.25  40821  jm2.26lem3  40823  dvradcnv2  41965  binomcxplemnotnn0  41974  sineq0ALT  42557  fourierdlem41  43689  fourierdlem48  43695  fourierdlem49  43696  fourierdlem64  43711  fourierdlem89  43736  fourierdlem91  43738  fourierdlem97  43744  fourierdlem103  43750  etransclem9  43784  etransclem35  43810  etransclem41  43816  etransclem47  43822