Theorem znegcld 12640

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12568	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  -cneg 11406  ℤcz 12529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-z 12530

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12645  zriotaneg  12647  zsupss  12896  ceicl  13803  modnegd  13891  expaddzlem  14070  climshft2  15548  fsumshftm  15747  eftlub  16077  dvdsadd2b  16276  bitscmp  16408  bitsf1  16416  bitsres  16443  modgcd  16502  pcneg  16845  gznegcl  16906  gzcjcl  16907  4sqlem10  16918  mulgdirlem  19037  mulgdir  19038  mulgmodid  19045  subgmulg  19072  zringlpirlem3  21374  aannenlem1  26236  geolim3  26247  aaliou3lem1  26250  aaliou3lem2  26251  aaliou3lem3  26252  aaliou3lem5  26255  aaliou3lem6  26256  aaliou3lem7  26257  ulmshft  26299  sineq0  26433  wilthlem1  26978  lgseisenlem2  27287  2sqlem4  27332  padicabvcxp  27543  numdenneg  32739  archirngz  33143  archiabllem1b  33146  archiabllem2c  33149  elrgspnlem1  33193  mdetlap  33822  zrhcntr  33969  qqhval2lem  33971  breprexplemc  34623  knoppndvlem1  36500  knoppndvlem2  36501  knoppndvlem7  36506  knoppndvlem14  36513  knoppndvlem16  36515  knoppndvlem17  36516  knoppndvlem19  36518  knoppndvlem21  36520  ltflcei  37602  cntotbnd  37790  primrootscoprbij  42090  aks6d1c6isolem1  42162  aks6d1c7lem1  42168  pellexlem5  42821  pell1234qrreccl  42842  pellfund14  42886  congsub  42959  acongeq  42972  dvdsacongtr  42973  jm2.19  42982  jm2.25  42988  jm2.26lem3  42990  dvradcnv2  44336  binomcxplemnotnn0  44345  sineq0ALT  44926  fourierdlem41  46146  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem64  46168  fourierdlem89  46193  fourierdlem91  46195  fourierdlem97  46201  fourierdlem103  46207  etransclem9  46241  etransclem35  46267  etransclem41  46273  etransclem47  46279  modm2nep1  47367  modm1nep2  47369  modm1nem2  47370