Theorem znegcld 12579

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12507	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  -cneg 11345  ℤcz 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-z 12469

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12584  zriotaneg  12586  zsupss  12835  ceicl  13745  modnegd  13833  expaddzlem  14012  climshft2  15489  fsumshftm  15688  eftlub  16018  dvdsadd2b  16217  bitscmp  16349  bitsf1  16357  bitsres  16384  modgcd  16443  pcneg  16786  gznegcl  16847  gzcjcl  16848  4sqlem10  16859  mulgdirlem  19018  mulgdir  19019  mulgmodid  19026  subgmulg  19053  zringlpirlem3  21401  aannenlem1  26263  geolim3  26274  aaliou3lem1  26277  aaliou3lem2  26278  aaliou3lem3  26279  aaliou3lem5  26282  aaliou3lem6  26283  aaliou3lem7  26284  ulmshft  26326  sineq0  26460  wilthlem1  27005  lgseisenlem2  27314  2sqlem4  27359  padicabvcxp  27570  numdenneg  32797  archirngz  33158  archiabllem1b  33161  archiabllem2c  33164  elrgspnlem1  33209  mdetlap  33845  zrhcntr  33992  qqhval2lem  33994  breprexplemc  34645  knoppndvlem1  36556  knoppndvlem2  36557  knoppndvlem7  36562  knoppndvlem14  36569  knoppndvlem16  36571  knoppndvlem17  36572  knoppndvlem19  36574  knoppndvlem21  36576  ltflcei  37647  cntotbnd  37835  primrootscoprbij  42194  aks6d1c6isolem1  42266  aks6d1c7lem1  42272  pellexlem5  42925  pell1234qrreccl  42946  pellfund14  42990  congsub  43062  acongeq  43075  dvdsacongtr  43076  jm2.19  43085  jm2.25  43091  jm2.26lem3  43093  dvradcnv2  44439  binomcxplemnotnn0  44448  sineq0ALT  45028  fourierdlem41  46245  fourierdlem48  46251  fourierdlem49  46252  fourierdlem64  46267  fourierdlem89  46292  fourierdlem91  46294  fourierdlem97  46300  fourierdlem103  46306  etransclem9  46340  etransclem35  46366  etransclem41  46372  etransclem47  46378  modm2nep1  47465  modm1nep2  47467  modm1nem2  47468