Theorem znegcld 12630

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12557	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  -cneg 11373  ℤcz 12519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-z 12520

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12635  zriotaneg  12637  zsupss  12882  ceicl  13795  modnegd  13883  expaddzlem  14062  climshft2  15539  fsumshftm  15738  eftlub  16071  dvdsadd2b  16270  bitscmp  16402  bitsf1  16410  bitsres  16437  modgcd  16496  pcneg  16840  gznegcl  16901  gzcjcl  16902  4sqlem10  16913  mulgdirlem  19076  mulgdir  19077  mulgmodid  19084  subgmulg  19111  zringlpirlem3  21458  aannenlem1  26309  geolim3  26320  aaliou3lem1  26323  aaliou3lem2  26324  aaliou3lem3  26325  aaliou3lem5  26328  aaliou3lem6  26329  aaliou3lem7  26330  ulmshft  26372  sineq0  26505  wilthlem1  27049  lgseisenlem2  27357  2sqlem4  27402  padicabvcxp  27613  numdenneg  32907  archirngz  33269  archiabllem1b  33272  archiabllem2c  33275  elrgspnlem1  33322  mdetlap  33996  zrhcntr  34143  qqhval2lem  34145  breprexplemc  34796  knoppndvlem1  36792  knoppndvlem2  36793  knoppndvlem7  36798  knoppndvlem14  36805  knoppndvlem16  36807  knoppndvlem17  36808  knoppndvlem19  36810  knoppndvlem21  36812  ltflcei  37949  cntotbnd  38137  primrootscoprbij  42561  aks6d1c6isolem1  42633  aks6d1c7lem1  42639  pellexlem5  43285  pell1234qrreccl  43306  pellfund14  43350  congsub  43422  acongeq  43435  dvdsacongtr  43436  jm2.19  43445  jm2.25  43451  jm2.26lem3  43453  dvradcnv2  44798  binomcxplemnotnn0  44807  sineq0ALT  45387  fourierdlem41  46600  fourierdlem48  46606  fourierdlem49  46607  fourierdlem64  46622  fourierdlem89  46647  fourierdlem91  46649  fourierdlem97  46655  fourierdlem103  46661  etransclem9  46695  etransclem35  46721  etransclem41  46727  etransclem47  46733  modm2nep1  47838  modm1nep2  47840  modm1nem2  47841