Theorem znegcld 12702

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12629	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  -cneg 11442  ℤcz 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-z 12592

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12707  zriotaneg  12709  zsupss  12961  ceicl  13874  modnegd  13962  expaddzlem  14141  climshft2  15633  fsumshftm  15832  eftlub  16165  dvdsadd2b  16364  bitscmp  16496  bitsf1  16504  bitsres  16531  modgcd  16590  pcneg  16934  gznegcl  16995  gzcjcl  16996  4sqlem10  17007  mulgdirlem  19171  mulgdir  19172  mulgmodid  19179  subgmulg  19207  zringlpirlem3  21583  aannenlem1  26458  geolim3  26469  aaliou3lem1  26472  aaliou3lem2  26473  aaliou3lem3  26474  aaliou3lem5  26477  aaliou3lem6  26478  aaliou3lem7  26479  ulmshft  26519  sineq0  26655  wilthlem1  27198  lgseisenlem2  27506  2sqlem4  27551  padicabvcxp  27762  numdenneg  33100  archirngz  33450  archiabllem1b  33453  archiabllem2c  33456  elrgspnlem1  33503  mdetlap  34167  zrhcntr  34314  qqhval2lem  34316  breprexplemc  34964  knoppndvlem1  37024  knoppndvlem2  37025  knoppndvlem7  37030  knoppndvlem14  37037  knoppndvlem16  37039  knoppndvlem17  37040  knoppndvlem19  37042  knoppndvlem21  37044  ltflcei  38182  cntotbnd  38370  primrootscoprbij  42794  aks6d1c6isolem1  42866  aks6d1c7lem1  42872  pellexlem5  43487  pell1234qrreccl  43508  pellfund14  43552  congsub  43624  acongeq  43637  dvdsacongtr  43638  jm2.19  43647  jm2.25  43653  jm2.26lem3  43655  dvradcnv2  44984  binomcxplemnotnn0  44993  sineq0ALT  45572  fourierdlem41  46789  fourierdlem48  46795  fourierdlem49  46796  fourierdlem64  46811  fourierdlem89  46836  fourierdlem91  46838  fourierdlem97  46844  fourierdlem103  46850  etransclem9  46884  etransclem35  46910  etransclem41  46916  etransclem47  46922  modm2nep1  48033  modm1nep2  48035  modm1nem2  48036