Theorem znegcld 12077

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12005	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  -cneg 10860  ℤcz 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-z 11970

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12082  zriotaneg  12084  zsupss  12325  ceicl  13206  modnegd  13289  expaddzlem  13468  climshft2  14931  fsumshftm  15128  eftlub  15454  dvdsadd2b  15648  bitscmp  15777  bitsf1  15785  bitsres  15812  modgcd  15870  pcneg  16200  gznegcl  16261  gzcjcl  16262  4sqlem10  16273  mulgdirlem  18250  mulgdir  18251  mulgmodid  18258  subgmulg  18285  zringlpirlem3  20179  aannenlem1  24924  geolim3  24935  aaliou3lem1  24938  aaliou3lem2  24939  aaliou3lem3  24940  aaliou3lem5  24943  aaliou3lem6  24944  aaliou3lem7  24945  ulmshft  24985  sineq0  25116  wilthlem1  25653  lgseisenlem2  25960  2sqlem4  26005  padicabvcxp  26216  numdenneg  30559  archirngz  30868  archiabllem1b  30871  archiabllem2c  30874  mdetlap  31185  qqhval2lem  31332  breprexplemc  32013  knoppndvlem1  33964  knoppndvlem2  33965  knoppndvlem7  33970  knoppndvlem14  33977  knoppndvlem16  33979  knoppndvlem17  33980  knoppndvlem19  33982  knoppndvlem21  33984  ltflcei  35045  cntotbnd  35234  pellexlem5  39774  pell1234qrreccl  39795  pellfund14  39839  congsub  39911  acongeq  39924  dvdsacongtr  39925  jm2.19  39934  jm2.25  39940  jm2.26lem3  39942  dvradcnv2  41051  binomcxplemnotnn0  41060  sineq0ALT  41643  fourierdlem41  42790  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem64  42812  fourierdlem89  42837  fourierdlem91  42839  fourierdlem97  42845  fourierdlem103  42851  etransclem9  42885  etransclem35  42911  etransclem41  42917  etransclem47  42923