Theorem znegcld 12829

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12755	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   -cneg 11566  ℤcz 12717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-ltxr 11372  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-z 12718

This theorem is used by:  znnn0nn  12834  zriotaneg  12836  zsupss  13088  ceicl  14005  modnegd  14093  expaddzlem  14272  climshft2  15775  fsumshftm  15973  eftlub  16303  dvdsadd2b  16502  bitscmp  16634  bitsf1  16642  bitsres  16669  modgcd  16731  pcneg  17078  gznegcl  17139  gzcjcl  17140  4sqlem10  17151  mulgdirlem  19341  mulgdir  19342  mulgmodid  19349  subgmulg  19377  zringlpirlem3  21797  aannenlem1  26682  geolim3  26693  aaliou3lem1  26696  aaliou3lem2  26697  aaliou3lem3  26698  aaliou3lem5  26701  aaliou3lem6  26702  aaliou3lem7  26703  ulmshft  26744  sineq0  26879  wilthlem1  27422  lgseisenlem2  27730  2sqlem4  27775  padicabvcxp  27986  numdenneg  33473  archirngz  33817  archiabllem1b  33820  archiabllem2c  33823  elrgspnlem1  33870  mdetlap  34531  zrhcntr  34678  qqhval2lem  34680  breprexplemc  35328  knoppndvlem1  37555  knoppndvlem2  37556  knoppndvlem7  37561  knoppndvlem14  37568  knoppndvlem16  37570  knoppndvlem17  37571  knoppndvlem19  37573  knoppndvlem21  37575  ltflcei  38722  cntotbnd  38921  primrootscoprbij  43343  aks6d1c6isolem1  43415  aks6d1c7lem1  43421  pellexlem5  44031  pell1234qrreccl  44052  pellfund14  44096  congsub  44168  acongeq  44181  dvdsacongtr  44182  jm2.19  44191  jm2.25  44197  jm2.26lem3  44199  dvradcnv2  45521  binomcxplemnotnn0  45530  sineq0ALT  46108  fourierdlem41  47361  fourierdlem48  47367  fourierdlem49  47368  fourierdlem64  47383  fourierdlem89  47408  fourierdlem91  47410  fourierdlem97  47416  fourierdlem103  47422  etransclem9  47456  etransclem35  47482  etransclem41  47488  etransclem47  47494  modm2nep1  48645  modm1nep2  48647  modm1nem2  48648