Theorem znegcld 12582

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12510	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  -cneg 11348  ℤcz 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-z 12472

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12587  zriotaneg  12589  zsupss  12838  ceicl  13745  modnegd  13833  expaddzlem  14012  climshft2  15489  fsumshftm  15688  eftlub  16018  dvdsadd2b  16217  bitscmp  16349  bitsf1  16357  bitsres  16384  modgcd  16443  pcneg  16786  gznegcl  16847  gzcjcl  16848  4sqlem10  16859  mulgdirlem  18984  mulgdir  18985  mulgmodid  18992  subgmulg  19019  zringlpirlem3  21371  aannenlem1  26234  geolim3  26245  aaliou3lem1  26248  aaliou3lem2  26249  aaliou3lem3  26250  aaliou3lem5  26253  aaliou3lem6  26254  aaliou3lem7  26255  ulmshft  26297  sineq0  26431  wilthlem1  26976  lgseisenlem2  27285  2sqlem4  27330  padicabvcxp  27541  numdenneg  32768  archirngz  33140  archiabllem1b  33143  archiabllem2c  33146  elrgspnlem1  33191  mdetlap  33815  zrhcntr  33962  qqhval2lem  33964  breprexplemc  34616  knoppndvlem1  36506  knoppndvlem2  36507  knoppndvlem7  36512  knoppndvlem14  36519  knoppndvlem16  36521  knoppndvlem17  36522  knoppndvlem19  36524  knoppndvlem21  36526  ltflcei  37608  cntotbnd  37796  primrootscoprbij  42095  aks6d1c6isolem1  42167  aks6d1c7lem1  42173  pellexlem5  42826  pell1234qrreccl  42847  pellfund14  42891  congsub  42963  acongeq  42976  dvdsacongtr  42977  jm2.19  42986  jm2.25  42992  jm2.26lem3  42994  dvradcnv2  44340  binomcxplemnotnn0  44349  sineq0ALT  44930  fourierdlem41  46149  fourierdlem48  46155  fourierdlem49  46156  fourierdlem64  46171  fourierdlem89  46196  fourierdlem91  46198  fourierdlem97  46204  fourierdlem103  46210  etransclem9  46244  etransclem35  46270  etransclem41  46276  etransclem47  46282  modm2nep1  47370  modm1nep2  47372  modm1nem2  47373