Theorem znegcld 12602

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12530	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  -cneg 11369  ℤcz 12492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-z 12493

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12607  zriotaneg  12609  zsupss  12854  ceicl  13765  modnegd  13853  expaddzlem  14032  climshft2  15509  fsumshftm  15708  eftlub  16038  dvdsadd2b  16237  bitscmp  16369  bitsf1  16377  bitsres  16404  modgcd  16463  pcneg  16806  gznegcl  16867  gzcjcl  16868  4sqlem10  16879  mulgdirlem  19039  mulgdir  19040  mulgmodid  19047  subgmulg  19074  zringlpirlem3  21423  aannenlem1  26296  geolim3  26307  aaliou3lem1  26310  aaliou3lem2  26311  aaliou3lem3  26312  aaliou3lem5  26315  aaliou3lem6  26316  aaliou3lem7  26317  ulmshft  26359  sineq0  26493  wilthlem1  27038  lgseisenlem2  27347  2sqlem4  27392  padicabvcxp  27603  numdenneg  32897  archirngz  33273  archiabllem1b  33276  archiabllem2c  33279  elrgspnlem1  33326  mdetlap  33991  zrhcntr  34138  qqhval2lem  34140  breprexplemc  34791  knoppndvlem1  36714  knoppndvlem2  36715  knoppndvlem7  36720  knoppndvlem14  36727  knoppndvlem16  36729  knoppndvlem17  36730  knoppndvlem19  36732  knoppndvlem21  36734  ltflcei  37811  cntotbnd  37999  primrootscoprbij  42424  aks6d1c6isolem1  42496  aks6d1c7lem1  42502  pellexlem5  43142  pell1234qrreccl  43163  pellfund14  43207  congsub  43279  acongeq  43292  dvdsacongtr  43293  jm2.19  43302  jm2.25  43308  jm2.26lem3  43310  dvradcnv2  44655  binomcxplemnotnn0  44664  sineq0ALT  45244  fourierdlem41  46459  fourierdlem48  46465  fourierdlem49  46466  fourierdlem64  46481  fourierdlem89  46506  fourierdlem91  46508  fourierdlem97  46514  fourierdlem103  46520  etransclem9  46554  etransclem35  46580  etransclem41  46586  etransclem47  46592  modm2nep1  47679  modm1nep2  47681  modm1nem2  47682