Theorem znegcld 12730

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12656	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  -cneg 11469  ℤcz 12618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-z 12619

This theorem is used by:  znnn0nn  12735  zriotaneg  12737  zsupss  12989  ceicl  13904  modnegd  13992  expaddzlem  14171  climshft2  15671  fsumshftm  15869  eftlub  16201  dvdsadd2b  16400  bitscmp  16532  bitsf1  16540  bitsres  16567  modgcd  16626  pcneg  16970  gznegcl  17031  gzcjcl  17032  4sqlem10  17043  mulgdirlem  19229  mulgdir  19230  mulgmodid  19237  subgmulg  19265  zringlpirlem3  21678  aannenlem1  26561  geolim3  26572  aaliou3lem1  26575  aaliou3lem2  26576  aaliou3lem3  26577  aaliou3lem5  26580  aaliou3lem6  26581  aaliou3lem7  26582  ulmshft  26623  sineq0  26759  wilthlem1  27302  lgseisenlem2  27610  2sqlem4  27655  padicabvcxp  27866  numdenneg  33272  archirngz  33616  archiabllem1b  33619  archiabllem2c  33622  elrgspnlem1  33669  mdetlap  34329  zrhcntr  34476  qqhval2lem  34478  breprexplemc  35127  knoppndvlem1  37196  knoppndvlem2  37197  knoppndvlem7  37202  knoppndvlem14  37209  knoppndvlem16  37211  knoppndvlem17  37212  knoppndvlem19  37214  knoppndvlem21  37216  ltflcei  38349  cntotbnd  38533  primrootscoprbij  42955  aks6d1c6isolem1  43027  aks6d1c7lem1  43033  pellexlem5  43661  pell1234qrreccl  43682  pellfund14  43726  congsub  43798  acongeq  43811  dvdsacongtr  43812  jm2.19  43821  jm2.25  43827  jm2.26lem3  43829  dvradcnv2  45158  binomcxplemnotnn0  45167  sineq0ALT  45746  fourierdlem41  46963  fourierdlem48  46969  fourierdlem49  46970  fourierdlem64  46985  fourierdlem89  47010  fourierdlem91  47012  fourierdlem97  47018  fourierdlem103  47024  etransclem9  47058  etransclem35  47084  etransclem41  47090  etransclem47  47096  modm2nep1  48247  modm1nep2  48249  modm1nem2  48250