Theorem znegcld 12357

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  -cneg 11136  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-z 12250

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12362  zriotaneg  12364  zsupss  12606  ceicl  13489  modnegd  13574  expaddzlem  13754  climshft2  15219  fsumshftm  15421  eftlub  15746  dvdsadd2b  15943  bitscmp  16073  bitsf1  16081  bitsres  16108  modgcd  16168  pcneg  16503  gznegcl  16564  gzcjcl  16565  4sqlem10  16576  mulgdirlem  18649  mulgdir  18650  mulgmodid  18657  subgmulg  18684  zringlpirlem3  20598  aannenlem1  25393  geolim3  25404  aaliou3lem1  25407  aaliou3lem2  25408  aaliou3lem3  25409  aaliou3lem5  25412  aaliou3lem6  25413  aaliou3lem7  25414  ulmshft  25454  sineq0  25585  wilthlem1  26122  lgseisenlem2  26429  2sqlem4  26474  padicabvcxp  26685  numdenneg  31033  archirngz  31345  archiabllem1b  31348  archiabllem2c  31351  mdetlap  31684  qqhval2lem  31831  breprexplemc  32512  knoppndvlem1  34619  knoppndvlem2  34620  knoppndvlem7  34625  knoppndvlem14  34632  knoppndvlem16  34634  knoppndvlem17  34635  knoppndvlem19  34637  knoppndvlem21  34639  ltflcei  35692  cntotbnd  35881  pellexlem5  40571  pell1234qrreccl  40592  pellfund14  40636  congsub  40708  acongeq  40721  dvdsacongtr  40722  jm2.19  40731  jm2.25  40737  jm2.26lem3  40739  dvradcnv2  41854  binomcxplemnotnn0  41863  sineq0ALT  42446  fourierdlem41  43579  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem64  43601  fourierdlem89  43626  fourierdlem91  43628  fourierdlem97  43634  fourierdlem103  43640  etransclem9  43674  etransclem35  43700  etransclem41  43706  etransclem47  43712