Theorem znegcld 12664

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12593	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  -cneg 11441  ℤcz 12554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-z 12555

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12669  zriotaneg  12671  zsupss  12917  ceicl  13802  modnegd  13887  expaddzlem  14067  climshft2  15522  fsumshftm  15723  eftlub  16048  dvdsadd2b  16245  bitscmp  16375  bitsf1  16383  bitsres  16410  modgcd  16470  pcneg  16803  gznegcl  16864  gzcjcl  16865  4sqlem10  16876  mulgdirlem  18979  mulgdir  18980  mulgmodid  18987  subgmulg  19014  zringlpirlem3  21018  aannenlem1  25823  geolim3  25834  aaliou3lem1  25837  aaliou3lem2  25838  aaliou3lem3  25839  aaliou3lem5  25842  aaliou3lem6  25843  aaliou3lem7  25844  ulmshft  25884  sineq0  26015  wilthlem1  26552  lgseisenlem2  26859  2sqlem4  26904  padicabvcxp  27115  numdenneg  32001  archirngz  32313  archiabllem1b  32316  archiabllem2c  32319  mdetlap  32750  qqhval2lem  32899  breprexplemc  33582  knoppndvlem1  35326  knoppndvlem2  35327  knoppndvlem7  35332  knoppndvlem14  35339  knoppndvlem16  35341  knoppndvlem17  35342  knoppndvlem19  35344  knoppndvlem21  35346  ltflcei  36414  cntotbnd  36602  pellexlem5  41504  pell1234qrreccl  41525  pellfund14  41569  congsub  41642  acongeq  41655  dvdsacongtr  41656  jm2.19  41665  jm2.25  41671  jm2.26lem3  41673  dvradcnv2  43039  binomcxplemnotnn0  43048  sineq0ALT  43631  fourierdlem41  44799  fourierdlem48  44805  fourierdlem49  44806  fourierdlem64  44821  fourierdlem89  44846  fourierdlem91  44848  fourierdlem97  44854  fourierdlem103  44860  etransclem9  44894  etransclem35  44920  etransclem41  44926  etransclem47  44932