Theorem znegcld 12704

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12632	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  -cneg 11472  ℤcz 12593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-z 12594

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12709  zriotaneg  12711  zsupss  12958  ceicl  13863  modnegd  13949  expaddzlem  14128  climshft2  15603  fsumshftm  15802  eftlub  16132  dvdsadd2b  16330  bitscmp  16462  bitsf1  16470  bitsres  16497  modgcd  16556  pcneg  16899  gznegcl  16960  gzcjcl  16961  4sqlem10  16972  mulgdirlem  19093  mulgdir  19094  mulgmodid  19101  subgmulg  19128  zringlpirlem3  21430  aannenlem1  26293  geolim3  26304  aaliou3lem1  26307  aaliou3lem2  26308  aaliou3lem3  26309  aaliou3lem5  26312  aaliou3lem6  26313  aaliou3lem7  26314  ulmshft  26356  sineq0  26490  wilthlem1  27035  lgseisenlem2  27344  2sqlem4  27389  padicabvcxp  27600  numdenneg  32798  archirngz  33192  archiabllem1b  33195  archiabllem2c  33198  elrgspnlem1  33242  mdetlap  33868  zrhcntr  34015  qqhval2lem  34017  breprexplemc  34669  knoppndvlem1  36535  knoppndvlem2  36536  knoppndvlem7  36541  knoppndvlem14  36548  knoppndvlem16  36550  knoppndvlem17  36551  knoppndvlem19  36553  knoppndvlem21  36555  ltflcei  37637  cntotbnd  37825  primrootscoprbij  42120  aks6d1c6isolem1  42192  aks6d1c7lem1  42198  pellexlem5  42831  pell1234qrreccl  42852  pellfund14  42896  congsub  42969  acongeq  42982  dvdsacongtr  42983  jm2.19  42992  jm2.25  42998  jm2.26lem3  43000  dvradcnv2  44346  binomcxplemnotnn0  44355  sineq0ALT  44936  fourierdlem41  46157  fourierdlem48  46163  fourierdlem49  46164  fourierdlem64  46179  fourierdlem89  46204  fourierdlem91  46206  fourierdlem97  46212  fourierdlem103  46218  etransclem9  46252  etransclem35  46278  etransclem41  46284  etransclem47  46290