Theorem znegcld 12624

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12551	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  -cneg 11367  ℤcz 12513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-z 12514

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12629  zriotaneg  12631  zsupss  12876  ceicl  13789  modnegd  13877  expaddzlem  14056  climshft2  15533  fsumshftm  15732  eftlub  16065  dvdsadd2b  16264  bitscmp  16396  bitsf1  16404  bitsres  16431  modgcd  16490  pcneg  16834  gznegcl  16895  gzcjcl  16896  4sqlem10  16907  mulgdirlem  19070  mulgdir  19071  mulgmodid  19078  subgmulg  19105  zringlpirlem3  21433  aannenlem1  26282  geolim3  26293  aaliou3lem1  26296  aaliou3lem2  26297  aaliou3lem3  26298  aaliou3lem5  26301  aaliou3lem6  26302  aaliou3lem7  26303  ulmshft  26343  sineq0  26476  wilthlem1  27019  lgseisenlem2  27327  2sqlem4  27372  padicabvcxp  27583  numdenneg  32876  archirngz  33238  archiabllem1b  33241  archiabllem2c  33244  elrgspnlem1  33291  mdetlap  33964  zrhcntr  34111  qqhval2lem  34113  breprexplemc  34764  knoppndvlem1  36760  knoppndvlem2  36761  knoppndvlem7  36766  knoppndvlem14  36773  knoppndvlem16  36775  knoppndvlem17  36776  knoppndvlem19  36778  knoppndvlem21  36780  ltflcei  37917  cntotbnd  38105  primrootscoprbij  42529  aks6d1c6isolem1  42601  aks6d1c7lem1  42607  pellexlem5  43249  pell1234qrreccl  43270  pellfund14  43314  congsub  43386  acongeq  43399  dvdsacongtr  43400  jm2.19  43409  jm2.25  43415  jm2.26lem3  43417  dvradcnv2  44762  binomcxplemnotnn0  44771  sineq0ALT  45351  fourierdlem41  46564  fourierdlem48  46570  fourierdlem49  46571  fourierdlem64  46586  fourierdlem89  46611  fourierdlem91  46613  fourierdlem97  46619  fourierdlem103  46625  etransclem9  46659  etransclem35  46685  etransclem41  46691  etransclem47  46697  modm2nep1  47808  modm1nep2  47810  modm1nem2  47811