Theorem znegcld 12760

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12686	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  -cneg 11499  ℤcz 12648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-ltxr 11305  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-z 12649

This theorem is used by:  znnn0nn  12765  zriotaneg  12767  zsupss  13019  ceicl  13935  modnegd  14023  expaddzlem  14202  climshft2  15702  fsumshftm  15900  eftlub  16230  dvdsadd2b  16429  bitscmp  16561  bitsf1  16569  bitsres  16596  modgcd  16655  pcneg  16999  gznegcl  17060  gzcjcl  17061  4sqlem10  17072  mulgdirlem  19262  mulgdir  19263  mulgmodid  19270  subgmulg  19298  zringlpirlem3  21717  aannenlem1  26604  geolim3  26615  aaliou3lem1  26618  aaliou3lem2  26619  aaliou3lem3  26620  aaliou3lem5  26623  aaliou3lem6  26624  aaliou3lem7  26625  ulmshft  26666  sineq0  26801  wilthlem1  27344  lgseisenlem2  27652  2sqlem4  27697  padicabvcxp  27908  numdenneg  33325  archirngz  33669  archiabllem1b  33672  archiabllem2c  33675  elrgspnlem1  33722  mdetlap  34383  zrhcntr  34530  qqhval2lem  34532  breprexplemc  35181  knoppndvlem1  37294  knoppndvlem2  37295  knoppndvlem7  37300  knoppndvlem14  37307  knoppndvlem16  37309  knoppndvlem17  37310  knoppndvlem19  37312  knoppndvlem21  37314  ltflcei  38445  cntotbnd  38644  primrootscoprbij  43066  aks6d1c6isolem1  43138  aks6d1c7lem1  43144  pellexlem5  43772  pell1234qrreccl  43793  pellfund14  43837  congsub  43909  acongeq  43922  dvdsacongtr  43923  jm2.19  43932  jm2.25  43938  jm2.26lem3  43940  dvradcnv2  45269  binomcxplemnotnn0  45278  sineq0ALT  45857  fourierdlem41  47074  fourierdlem48  47080  fourierdlem49  47081  fourierdlem64  47096  fourierdlem89  47121  fourierdlem91  47123  fourierdlem97  47129  fourierdlem103  47135  etransclem9  47169  etransclem35  47195  etransclem41  47201  etransclem47  47207  modm2nep1  48358  modm1nep2  48360  modm1nem2  48361