Theorem znegcld 12618

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12546	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  -cneg 11384  ℤcz 12507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-ltxr 11191  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-z 12508

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12623  zriotaneg  12625  zsupss  12874  ceicl  13781  modnegd  13869  expaddzlem  14048  climshft2  15525  fsumshftm  15724  eftlub  16054  dvdsadd2b  16253  bitscmp  16385  bitsf1  16393  bitsres  16420  modgcd  16479  pcneg  16822  gznegcl  16883  gzcjcl  16884  4sqlem10  16895  mulgdirlem  19020  mulgdir  19021  mulgmodid  19028  subgmulg  19055  zringlpirlem3  21407  aannenlem1  26270  geolim3  26281  aaliou3lem1  26284  aaliou3lem2  26285  aaliou3lem3  26286  aaliou3lem5  26289  aaliou3lem6  26290  aaliou3lem7  26291  ulmshft  26333  sineq0  26467  wilthlem1  27012  lgseisenlem2  27321  2sqlem4  27366  padicabvcxp  27577  numdenneg  32790  archirngz  33159  archiabllem1b  33162  archiabllem2c  33165  elrgspnlem1  33210  mdetlap  33816  zrhcntr  33963  qqhval2lem  33965  breprexplemc  34617  knoppndvlem1  36494  knoppndvlem2  36495  knoppndvlem7  36500  knoppndvlem14  36507  knoppndvlem16  36509  knoppndvlem17  36510  knoppndvlem19  36512  knoppndvlem21  36514  ltflcei  37596  cntotbnd  37784  primrootscoprbij  42084  aks6d1c6isolem1  42156  aks6d1c7lem1  42162  pellexlem5  42815  pell1234qrreccl  42836  pellfund14  42880  congsub  42953  acongeq  42966  dvdsacongtr  42967  jm2.19  42976  jm2.25  42982  jm2.26lem3  42984  dvradcnv2  44330  binomcxplemnotnn0  44339  sineq0ALT  44920  fourierdlem41  46140  fourierdlem48  46146  fourierdlem49  46147  fourierdlem64  46162  fourierdlem89  46187  fourierdlem91  46189  fourierdlem97  46195  fourierdlem103  46201  etransclem9  46235  etransclem35  46261  etransclem41  46267  etransclem47  46273  modm2nep1  47361  modm1nep2  47363  modm1nem2  47364