Theorem znegcld 12630

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12557	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  -cneg 11373  ℤcz 12519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-z 12520

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12635  zriotaneg  12637  zsupss  12882  ceicl  13795  modnegd  13883  expaddzlem  14062  climshft2  15539  fsumshftm  15738  eftlub  16071  dvdsadd2b  16270  bitscmp  16402  bitsf1  16410  bitsres  16437  modgcd  16496  pcneg  16840  gznegcl  16901  gzcjcl  16902  4sqlem10  16913  mulgdirlem  19076  mulgdir  19077  mulgmodid  19084  subgmulg  19111  zringlpirlem3  21443  aannenlem1  26316  geolim3  26327  aaliou3lem1  26330  aaliou3lem2  26331  aaliou3lem3  26332  aaliou3lem5  26335  aaliou3lem6  26336  aaliou3lem7  26337  ulmshft  26377  sineq0  26510  wilthlem1  27053  lgseisenlem2  27361  2sqlem4  27406  padicabvcxp  27617  numdenneg  32911  archirngz  33274  archiabllem1b  33277  archiabllem2c  33280  elrgspnlem1  33327  mdetlap  34028  zrhcntr  34175  qqhval2lem  34177  breprexplemc  34828  knoppndvlem1  36833  knoppndvlem2  36834  knoppndvlem7  36839  knoppndvlem14  36846  knoppndvlem16  36848  knoppndvlem17  36849  knoppndvlem19  36851  knoppndvlem21  36853  ltflcei  37990  cntotbnd  38178  primrootscoprbij  42602  aks6d1c6isolem1  42674  aks6d1c7lem1  42680  pellexlem5  43293  pell1234qrreccl  43314  pellfund14  43358  congsub  43430  acongeq  43443  dvdsacongtr  43444  jm2.19  43453  jm2.25  43459  jm2.26lem3  43461  dvradcnv2  44806  binomcxplemnotnn0  44815  sineq0ALT  45395  fourierdlem41  46605  fourierdlem48  46611  fourierdlem49  46612  fourierdlem64  46627  fourierdlem89  46652  fourierdlem91  46654  fourierdlem97  46660  fourierdlem103  46666  etransclem9  46700  etransclem35  46726  etransclem41  46732  etransclem47  46738  modm2nep1  47849  modm1nep2  47851  modm1nem2  47852