Theorem znegcld 12616

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
znegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		znegcl 12544	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  -cneg 11382  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-z 12506

This theorem is referenced by:  znnn0nn  12621  zriotaneg  12623  zsupss  12872  ceicl  13779  modnegd  13867  expaddzlem  14046  climshft2  15524  fsumshftm  15723  eftlub  16053  dvdsadd2b  16252  bitscmp  16384  bitsf1  16392  bitsres  16419  modgcd  16478  pcneg  16821  gznegcl  16882  gzcjcl  16883  4sqlem10  16894  mulgdirlem  19019  mulgdir  19020  mulgmodid  19027  subgmulg  19054  zringlpirlem3  21406  aannenlem1  26269  geolim3  26280  aaliou3lem1  26283  aaliou3lem2  26284  aaliou3lem3  26285  aaliou3lem5  26288  aaliou3lem6  26289  aaliou3lem7  26290  ulmshft  26332  sineq0  26466  wilthlem1  27011  lgseisenlem2  27320  2sqlem4  27365  padicabvcxp  27576  numdenneg  32789  archirngz  33158  archiabllem1b  33161  archiabllem2c  33164  elrgspnlem1  33209  mdetlap  33815  zrhcntr  33962  qqhval2lem  33964  breprexplemc  34616  knoppndvlem1  36493  knoppndvlem2  36494  knoppndvlem7  36499  knoppndvlem14  36506  knoppndvlem16  36508  knoppndvlem17  36509  knoppndvlem19  36511  knoppndvlem21  36513  ltflcei  37595  cntotbnd  37783  primrootscoprbij  42083  aks6d1c6isolem1  42155  aks6d1c7lem1  42161  pellexlem5  42814  pell1234qrreccl  42835  pellfund14  42879  congsub  42952  acongeq  42965  dvdsacongtr  42966  jm2.19  42975  jm2.25  42981  jm2.26lem3  42983  dvradcnv2  44329  binomcxplemnotnn0  44338  sineq0ALT  44919  fourierdlem41  46139  fourierdlem48  46145  fourierdlem49  46146  fourierdlem64  46161  fourierdlem89  46186  fourierdlem91  46188  fourierdlem97  46194  fourierdlem103  46200  etransclem9  46234  etransclem35  46260  etransclem41  46266  etransclem47  46272  modm2nep1  47360  modm1nep2  47362  modm1nem2  47363