MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zriotaneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zriotaneg 12703
Description: The negative of the unique integer such that 𝜑. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
zriotaneg.1 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
zriotaneg (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem zriotaneg
StepHypRef Expression
1 tru 1537 . 2
2 nfriota1 7377 . . . 4 𝑦(𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
32nfneg 11484 . . 3 𝑦-(𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
4 znegcl 12625 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
54adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → -𝑦 ∈ ℤ)
6 simpr 483 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
76znegcld 12696 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
8 zriotaneg.1 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
9 negeq 11480 . . 3 (𝑦 = (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) → -𝑦 = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
10 znegcl 12625 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
11 zcn 12591 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
12 zcn 12591 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 negcon2 11541 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1411, 12, 13syl2an 594 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1510, 14reuhyp 5412 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
1615adantl 480 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
173, 5, 7, 8, 9, 16riotaxfrd 7405 . 2 ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
181, 17mpan 688 1 (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  ∃!wreu 3362  crio 7369  cc 11134  -cneg 11473  cz 12586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-ltxr 11281  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-z 12587
This theorem is referenced by:  dfceil2  13834
  Copyright terms: Public domain W3C validator