MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zriotaneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zriotaneg 12679
Description: The negative of the unique integer such that 𝜑. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
zriotaneg.1 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
zriotaneg (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem zriotaneg
StepHypRef Expression
1 tru 1537 . 2
2 nfriota1 7368 . . . 4 𝑦(𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
32nfneg 11460 . . 3 𝑦-(𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
4 znegcl 12601 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
54adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → -𝑦 ∈ ℤ)
6 simpr 484 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
76znegcld 12672 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
8 zriotaneg.1 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜓))
9 negeq 11456 . . 3 (𝑦 = (𝑦 ∈ ℤ 𝜓) → -𝑦 = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
10 znegcl 12601 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
11 zcn 12567 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
12 zcn 12567 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 negcon2 11517 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1411, 12, 13syl2an 595 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 = -𝑦𝑦 = -𝑥))
1510, 14reuhyp 5411 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
1615adantl 481 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
173, 5, 7, 8, 9, 16riotaxfrd 7396 . 2 ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑) → (𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
181, 17mpan 687 1 (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  ∃!wreu 3368  crio 7360  cc 11110  -cneg 11449  cz 12562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-z 12563
This theorem is referenced by:  dfceil2  13810
  Copyright terms: Public domain W3C validator