Theorem zriotaneg 12688

Description: The negative of the unique integer such that 𝜑. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
zriotaneg.1	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
zriotaneg	⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem zriotaneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1566	. 2 ⊢ ⊤
2		nfriota1 7362	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
3	2	nfneg 11428	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦-(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
4		znegcl 12608	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
5	4	adantl 485	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → -𝑦 ∈ ℤ)
6		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
7	6	znegcld 12681	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
8		zriotaneg.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
9		negeq 11424	. . 3 ⊢ (𝑦 = (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) → -𝑦 = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
10		znegcl 12608	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
11		zcn 12575	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
12		zcn 12575	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		negcon2 11486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
14	11, 12, 13	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
15	10, 14	reuhyp 5379	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
16	15	adantl 485	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
17	3, 5, 7, 8, 9, 16	riotaxfrd 7389	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑) → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
18	1, 17	mpan 700	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562  ⊤wtru 1563   ∈ wcel 2144  ∃!wreu 3367  ℩crio 7354  ℂcc 11073  -cneg 11417  ℤcz 12570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-z 12571

This theorem is referenced by:  dfceil2  13851