Theorem zriotaneg 12756

Description: The negative of the unique integer such that 𝜑. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
zriotaneg.1	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
zriotaneg	⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem zriotaneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1541	. 2 ⊢ ⊤
2		nfriota1 7411	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
3	2	nfneg 11532	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦-(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
4		znegcl 12678	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → -𝑦 ∈ ℤ)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
7	6	znegcld 12749	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
8		zriotaneg.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
9		negeq 11528	. . 3 ⊢ (𝑦 = (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) → -𝑦 = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
10		znegcl 12678	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
11		zcn 12644	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
12		zcn 12644	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		negcon2 11589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
14	11, 12, 13	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
15	10, 14	reuhyp 5438	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
17	3, 5, 7, 8, 9, 16	riotaxfrd 7439	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑) → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
18	1, 17	mpan 689	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108  ∃!wreu 3386  ℩crio 7403  ℂcc 11182  -cneg 11521  ℤcz 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640

This theorem is referenced by:  dfceil2  13890