Theorem zriotaneg 12589

Description: The negative of the unique integer such that 𝜑. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
zriotaneg.1	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
zriotaneg	⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem zriotaneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1544	. 2 ⊢ ⊤
2		nfriota1 7313	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
3	2	nfneg 11359	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦-(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
4		znegcl 12510	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → -𝑦 ∈ ℤ)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
7	6	znegcld 12582	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
8		zriotaneg.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
9		negeq 11355	. . 3 ⊢ (𝑦 = (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) → -𝑦 = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
10		znegcl 12510	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
11		zcn 12476	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
12		zcn 12476	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		negcon2 11417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
15	10, 14	reuhyp 5359	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
17	3, 5, 7, 8, 9, 16	riotaxfrd 7340	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑) → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
18	1, 17	mpan 690	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ∃!wreu 3341  ℩crio 7305  ℂcc 11007  -cneg 11348  ℤcz 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-z 12472

This theorem is referenced by:  dfceil2  13743