Theorem zriotaneg 12619

Description: The negative of the unique integer such that 𝜑. (Contributed by AV, 1-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
zriotaneg.1	⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
zriotaneg	⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem zriotaneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru 1546	. 2 ⊢ ⊤
2		nfriota1 7334	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
3	2	nfneg 11390	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦-(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓)
4		znegcl 12540	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → -𝑦 ∈ ℤ)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
7	6	znegcld 12612	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ) → -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) ∈ ℤ)
8		zriotaneg.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
9		negeq 11386	. . 3 ⊢ (𝑦 = (℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓) → -𝑦 = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
10		znegcl 12540	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
11		zcn 12507	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
12		zcn 12507	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		negcon2 11448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
14	11, 12, 13	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
15	10, 14	reuhyp 5369	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ∃!𝑦 ∈ ℤ 𝑥 = -𝑦)
17	3, 5, 7, 8, 9, 16	riotaxfrd 7361	. 2 ⊢ ((⊤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑) → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))
18	1, 17	mpan 691	1 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (℩𝑥 ∈ ℤ 𝜑) = -(℩𝑦 ∈ ℤ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∃!wreu 3350  ℩crio 7326  ℂcc 11038  -cneg 11379  ℤcz 12502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-ltxr 11185  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-z 12503

This theorem is referenced by:  dfceil2  13773