ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prm2orodd GIF version

Theorem prm2orodd 10902
Description: A prime number is either 2 or odd. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
prm2orodd (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃))

Proof of Theorem prm2orodd
StepHypRef Expression
1 2nn 8488 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 dvdsprime 10898 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ (2 = 𝑃 ∨ 2 = 1)))
31, 2mpan2 416 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (2 ∥ 𝑃 ↔ (2 = 𝑃 ∨ 2 = 1)))
4 eqcom 2087 . . . . . 6 (2 = 𝑃𝑃 = 2)
54biimpi 118 . . . . 5 (2 = 𝑃𝑃 = 2)
6 1ne2 8533 . . . . . 6 1 ≠ 2
7 necom 2335 . . . . . . 7 (1 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 1)
8 eqneqall 2261 . . . . . . . 8 (2 = 1 → (2 ≠ 1 → 𝑃 = 2))
98com12 30 . . . . . . 7 (2 ≠ 1 → (2 = 1 → 𝑃 = 2))
107, 9sylbi 119 . . . . . 6 (1 ≠ 2 → (2 = 1 → 𝑃 = 2))
116, 10ax-mp 7 . . . . 5 (2 = 1 → 𝑃 = 2)
125, 11jaoi 669 . . . 4 ((2 = 𝑃 ∨ 2 = 1) → 𝑃 = 2)
133, 12syl6bi 161 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (2 ∥ 𝑃𝑃 = 2))
1413con3d 594 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → ¬ 2 ∥ 𝑃))
15 prmz 10887 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
16 2z 8688 . . . 4 2 ∈ ℤ
17 zdceq 8732 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 = 2)
1816, 17mpan2 416 . . 3 (𝑃 ∈ ℤ → DECID 𝑃 = 2)
19 dfordc 827 . . 3 (DECID 𝑃 = 2 → ((𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃) ↔ (¬ 𝑃 = 2 → ¬ 2 ∥ 𝑃)))
2015, 18, 193syl 17 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃) ↔ (¬ 𝑃 = 2 → ¬ 2 ∥ 𝑃)))
2114, 20mpbird 165 1 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 103  wo 662  DECID wdc 778   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251   class class class wbr 3814  1c1 7272  cn 8334  2c2 8384  cz 8660  cdvds 10590  cprime 10883
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385  ax-caucvg 7386
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-recs 6005  df-frec 6091  df-1o 6116  df-2o 6117  df-er 6225  df-en 6391  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-3 8394  df-4 8395  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-q 9014  df-rp 9044  df-iseq 9755  df-iexp 9806  df-cj 10117  df-re 10118  df-im 10119  df-rsqrt 10272  df-abs 10273  df-dvds 10591  df-prm 10884
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator