ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prm2orodd GIF version

Theorem prm2orodd 11714
Description: A prime number is either 2 or odd. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
prm2orodd (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃))

Proof of Theorem prm2orodd
StepHypRef Expression
1 2nn 8835 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2 dvdsprime 11710 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ (2 = 𝑃 ∨ 2 = 1)))
31, 2mpan2 419 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (2 ∥ 𝑃 ↔ (2 = 𝑃 ∨ 2 = 1)))
4 eqcom 2117 . . . . . 6 (2 = 𝑃𝑃 = 2)
54biimpi 119 . . . . 5 (2 = 𝑃𝑃 = 2)
6 1ne2 8880 . . . . . 6 1 ≠ 2
7 necom 2367 . . . . . . 7 (1 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 1)
8 eqneqall 2293 . . . . . . . 8 (2 = 1 → (2 ≠ 1 → 𝑃 = 2))
98com12 30 . . . . . . 7 (2 ≠ 1 → (2 = 1 → 𝑃 = 2))
107, 9sylbi 120 . . . . . 6 (1 ≠ 2 → (2 = 1 → 𝑃 = 2))
116, 10ax-mp 5 . . . . 5 (2 = 1 → 𝑃 = 2)
125, 11jaoi 688 . . . 4 ((2 = 𝑃 ∨ 2 = 1) → 𝑃 = 2)
133, 12syl6bi 162 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (2 ∥ 𝑃𝑃 = 2))
1413con3d 603 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 = 2 → ¬ 2 ∥ 𝑃))
15 prmz 11699 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
16 2z 9036 . . . 4 2 ∈ ℤ
17 zdceq 9080 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → DECID 𝑃 = 2)
1816, 17mpan2 419 . . 3 (𝑃 ∈ ℤ → DECID 𝑃 = 2)
19 dfordc 860 . . 3 (DECID 𝑃 = 2 → ((𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃) ↔ (¬ 𝑃 = 2 → ¬ 2 ∥ 𝑃)))
2015, 18, 193syl 17 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃) ↔ (¬ 𝑃 = 2 → ¬ 2 ∥ 𝑃)))
2114, 20mpbird 166 1 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ ¬ 2 ∥ 𝑃))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 104  wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1314  wcel 1463  wne 2283   class class class wbr 3897  1c1 7585  cn 8680  2c2 8731  cz 9008  cdvds 11400  cprime 11695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-2o 6280  df-er 6395  df-en 6601  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-dvds 11401  df-prm 11696
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator