ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcn2p1 GIF version

Theorem bcn2p1 10752
Description: Compute the binomial coefficient "(𝑁 + 1) choose 2 " from "𝑁 choose 2 ": N + ( N 2 ) = ( (N+1) 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
bcn2p1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (𝑁C2)) = ((𝑁 + 1)C2))

Proof of Theorem bcn2p1
StepHypRef Expression
1 nn0cn 9188 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
2 2z 9283 . . . . 5 2 ∈ ℤ
3 bccl 10749 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁C2) ∈ ℕ0)
42, 3mpan2 425 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) ∈ ℕ0)
54nn0cnd 9233 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C2) ∈ ℂ)
61, 5addcomd 8110 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (𝑁C2)) = ((𝑁C2) + 𝑁))
7 bcn1 10740 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)
8 1e2m1 9040 . . . . . 6 1 = (2 − 1)
98a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 = (2 − 1))
109oveq2d 5893 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = (𝑁C(2 − 1)))
117, 10eqtr3d 2212 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = (𝑁C(2 − 1)))
1211oveq2d 5893 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁C2) + 𝑁) = ((𝑁C2) + (𝑁C(2 − 1))))
13 bcpasc 10748 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑁C2) + (𝑁C(2 − 1))) = ((𝑁 + 1)C2))
142, 13mpan2 425 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁C2) + (𝑁C(2 − 1))) = ((𝑁 + 1)C2))
156, 12, 143eqtrd 2214 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (𝑁C2)) = ((𝑁 + 1)C2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5877  1c1 7814   + caddc 7816  cmin 8130  2c2 8972  0cn0 9178  cz 9255  Ccbc 10729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-seqfrec 10448  df-fac 10708  df-bc 10730
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator