Theorem lcmid 12080

Description: The lcm of an integer and itself is its absolute value. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem lcmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcm0val 12065	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 0) = 0)
3		oveq2 5883	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑀) = (𝑀 lcm 0))
4		fveq2 5516	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = (abs‘0))
5		abs0 11067	. . . . . 6 ⊢ (abs‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2226	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = 0)
7	3, 6	eqeq12d 2192	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
8	7	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
9	2, 8	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
10		df-ne 2348	. . 3 ⊢ (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
11		lcmcl 12072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 9231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
13	12	anidms 397	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
15		zabscl 11095	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
16	15	zcnd 9376	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
17	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
18		zcn 9258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
19	18	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
20		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
21	19, 20	absne0d 11196	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0)
22		0zd 9265	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 0 ∈ ℤ)
23		zapne 9327	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) # 0 ↔ (abs‘𝑀) ≠ 0))
24	15, 22, 23	syl2an2r 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘𝑀) # 0 ↔ (abs‘𝑀) ≠ 0))
25	21, 24	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) # 0)
26		lcmgcd 12078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
27	26	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
28		gcdid 11987	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
29	28	oveq2d 5891	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)))
30	18, 18	absmuld 11203	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀 · 𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
31	27, 29, 30	3eqtr3d 2218	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
32	31	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
33	14, 17, 17, 25, 32	mulcanap2ad 8621	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
34	10, 33	sylan2br 288	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
35		0z 9264	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
36		zdceq 9328	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
37	35, 36	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → DECID 𝑀 = 0)
38		exmiddc 836	. . 3 ⊢ (DECID 𝑀 = 0 → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
39	37, 38	syl 14	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
40	9, 34, 39	mpjaodan 798	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  0cc0 7811   · cmul 7816   # cap 8538  ℤcz 9253  abscabs 11006   gcd cgcd 11943   lcm clcm 12060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-lcm 12061

This theorem is referenced by:  lcmgcdeq  12083