Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lcmid GIF version

Theorem lcmid 11554
 Description: The lcm of an integer and itself is its absolute value. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmid (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem lcmid
StepHypRef Expression
1 lcm0val 11539 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
21adantr 272 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 0) = 0)
3 oveq2 5714 . . . . 5 (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑀) = (𝑀 lcm 0))
4 fveq2 5353 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = (abs‘0))
5 abs0 10670 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
64, 5syl6eq 2148 . . . . 5 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = 0)
73, 6eqeq12d 2114 . . . 4 (𝑀 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
87adantl 273 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
92, 8mpbird 166 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
10 df-ne 2268 . . 3 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
11 lcmcl 11546 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 8884 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
1312anidms 392 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
1413adantr 272 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
15 zabscl 10698 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
1615zcnd 9026 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
1716adantr 272 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
18 zcn 8911 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1918adantr 272 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
20 simpr 109 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
2119, 20absne0d 10799 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0)
22 0zd 8918 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 0 ∈ ℤ)
23 zapne 8977 . . . . . 6 (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) # 0 ↔ (abs‘𝑀) ≠ 0))
2415, 22, 23syl2an2r 565 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘𝑀) # 0 ↔ (abs‘𝑀) ≠ 0))
2521, 24mpbird 166 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) # 0)
26 lcmgcd 11552 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
2726anidms 392 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
28 gcdid 11469 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
2928oveq2d 5722 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)))
3018, 18absmuld 10806 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀 · 𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
3127, 29, 303eqtr3d 2140 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
3231adantr 272 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
3314, 17, 17, 25, 32mulcanap2ad 8286 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
3410, 33sylan2br 284 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
35 0z 8917 . . . 4 0 ∈ ℤ
36 zdceq 8978 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
3735, 36mpan2 419 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → DECID 𝑀 = 0)
38 exmiddc 788 . . 3 (DECID 𝑀 = 0 → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
3937, 38syl 14 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
409, 34, 39mpjaodan 753 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 670  DECID wdc 786   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   ≠ wne 2267   class class class wbr 3875  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  ℂcc 7498  0cc0 7500   · cmul 7505   # cap 8209  ℤcz 8906  abscabs 10609   gcd cgcd 11430   lcm clcm 11534 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-fz 9632  df-fzo 9761  df-fl 9884  df-mod 9937  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-dvds 11289  df-gcd 11431  df-lcm 11535 This theorem is referenced by:  lcmgcdeq  11557
 Copyright terms: Public domain W3C validator