ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lcmid GIF version

Theorem lcmid 12045
Description: The lcm of an integer and itself is its absolute value. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmid (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem lcmid
StepHypRef Expression
1 lcm0val 12030 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
21adantr 276 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 0) = 0)
3 oveq2 5873 . . . . 5 (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑀) = (𝑀 lcm 0))
4 fveq2 5507 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = (abs‘0))
5 abs0 11033 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
64, 5eqtrdi 2224 . . . . 5 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = 0)
73, 6eqeq12d 2190 . . . 4 (𝑀 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
87adantl 277 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
92, 8mpbird 167 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
10 df-ne 2346 . . 3 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
11 lcmcl 12037 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 9202 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
1312anidms 397 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
1413adantr 276 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
15 zabscl 11061 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
1615zcnd 9347 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
1716adantr 276 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
18 zcn 9229 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1918adantr 276 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
20 simpr 110 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
2119, 20absne0d 11162 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0)
22 0zd 9236 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 0 ∈ ℤ)
23 zapne 9298 . . . . . 6 (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) # 0 ↔ (abs‘𝑀) ≠ 0))
2415, 22, 23syl2an2r 595 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘𝑀) # 0 ↔ (abs‘𝑀) ≠ 0))
2521, 24mpbird 167 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) # 0)
26 lcmgcd 12043 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
2726anidms 397 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
28 gcdid 11952 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
2928oveq2d 5881 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)))
3018, 18absmuld 11169 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀 · 𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
3127, 29, 303eqtr3d 2216 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
3231adantr 276 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
3314, 17, 17, 25, 32mulcanap2ad 8594 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
3410, 33sylan2br 288 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
35 0z 9235 . . . 4 0 ∈ ℤ
36 zdceq 9299 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
3735, 36mpan2 425 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → DECID 𝑀 = 0)
38 exmiddc 836 . . 3 (DECID 𝑀 = 0 → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
3937, 38syl 14 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
409, 34, 39mpjaodan 798 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2146  wne 2345   class class class wbr 3998  cfv 5208  (class class class)co 5865  cc 7784  0cc0 7786   · cmul 7791   # cap 8512  cz 9224  abscabs 10972   gcd cgcd 11908   lcm clcm 12025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-dvds 11761  df-gcd 11909  df-lcm 12026
This theorem is referenced by:  lcmgcdeq  12048
  Copyright terms: Public domain W3C validator