ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lcmid GIF version

Theorem lcmid 10968
Description: The lcm of an integer and itself is its absolute value. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmid (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))

Proof of Theorem lcmid
StepHypRef Expression
1 lcm0val 10953 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
21adantr 270 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 0) = 0)
3 oveq2 5623 . . . . 5 (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑀) = (𝑀 lcm 0))
4 fveq2 5270 . . . . . 6 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = (abs‘0))
5 abs0 10390 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
64, 5syl6eq 2133 . . . . 5 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = 0)
73, 6eqeq12d 2099 . . . 4 (𝑀 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
87adantl 271 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀) ↔ (𝑀 lcm 0) = 0))
92, 8mpbird 165 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
10 df-ne 2252 . . 3 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
11 lcmcl 10960 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 8664 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
1312anidms 389 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
1413adantr 270 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) ∈ ℂ)
15 zabscl 10418 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
1615zcnd 8805 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
1716adantr 270 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℂ)
18 zcn 8691 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1918adantr 270 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
20 simpr 108 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
2119, 20absne0d 10519 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ≠ 0)
22 0zd 8698 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 0 ∈ ℤ)
23 zapne 8757 . . . . . 6 (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) # 0 ↔ (abs‘𝑀) ≠ 0))
2415, 22, 23syl2an2r 560 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘𝑀) # 0 ↔ (abs‘𝑀) ≠ 0))
2521, 24mpbird 165 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) # 0)
26 lcmgcd 10966 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
2726anidms 389 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = (abs‘(𝑀 · 𝑀)))
28 gcdid 10883 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 𝑀) = (abs‘𝑀))
2928oveq2d 5631 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (𝑀 gcd 𝑀)) = ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)))
3018, 18absmuld 10526 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀 · 𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
3127, 29, 303eqtr3d 2125 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
3231adantr 270 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑀 lcm 𝑀) · (abs‘𝑀)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑀)))
3314, 17, 17, 25, 32mulcanap2ad 8075 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
3410, 33sylan2br 282 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
35 0z 8697 . . . 4 0 ∈ ℤ
36 zdceq 8758 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
3735, 36mpan2 416 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → DECID 𝑀 = 0)
38 exmiddc 780 . . 3 (DECID 𝑀 = 0 → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
3937, 38syl 14 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
409, 34, 39mpjaodan 745 1 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑀) = (abs‘𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 778   = wceq 1287  wcel 1436  wne 2251   class class class wbr 3822  cfv 4983  (class class class)co 5615  cc 7295  0cc0 7297   · cmul 7302   # cap 8002  cz 8686  abscabs 10329   gcd cgcd 10844   lcm clcm 10948
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410  ax-arch 7411  ax-caucvg 7412
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-isom 4992  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-sup 6626  df-inf 6627  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-q 9040  df-rp 9070  df-fz 9360  df-fzo 9485  df-fl 9608  df-mod 9661  df-iseq 9783  df-iexp 9857  df-cj 10175  df-re 10176  df-im 10177  df-rsqrt 10330  df-abs 10331  df-dvds 10703  df-gcd 10845  df-lcm 10949
This theorem is referenced by:  lcmgcdeq  10971
  Copyright terms: Public domain W3C validator