Theorem expmulzap 10522

Description: Product of exponents law for integer exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expmulzap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem expmulzap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0nn 9226	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2		elznn0nn 9226	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)))
3		expmul 10521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))
4	3	3expia 1200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
5	4	adantlr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
6		simp2l 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
7	6	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
8		simp3 994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 9190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
10	7, 9	mulneg1d 8330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
11	10	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-𝑀 · 𝑁)) = (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁)))
12		simp1l 1016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		simp2r 1019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ)
14	13	nnnn0d 9188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
15		expmul 10521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁))
16	12, 14, 8, 15	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁))
17	11, 16	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁))
18	17	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁)))
19		expcl 10494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
20	12, 14, 19	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
21		simp1r 1017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 # 0)
22	13	nnzd 9333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
23		expap0i 10508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
24	12, 21, 22, 23	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
25	8	nn0zd 9332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		exprecap 10517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁)))
27	20, 24, 25, 26	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁)))
28	18, 27	eqtr4d 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))) = ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁))
29	7, 9	mulcld 7940	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
30	14, 8	nn0mulcld 9193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
31	10, 30	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
32		expineg2 10485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))))
33	12, 21, 29, 31, 32	syl22anc 1234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))))
34		expineg2 10485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0)) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
35	12, 21, 7, 14, 34	syl22anc 1234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
36	35	oveq1d 5868	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑀)↑𝑁) = ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁))
37	28, 33, 36	3eqtr4d 2213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))
38	37	3expia 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
39	5, 38	jaodan 792	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
40		simp2 993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
41	40	nn0cnd 9190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
42		simp3l 1020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
43	42	recnd 7948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
44	41, 43	mulneg2d 8331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
45	44	oveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · -𝑁)) = (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁)))
46		simp1l 1016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
47		simp3r 1021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ)
48	47	nnnn0d 9188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
49		expmul 10521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · -𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑-𝑁))
50	46, 40, 48, 49	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · -𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑-𝑁))
51	45, 50	eqtr3d 2205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑-𝑁))
52	51	oveq2d 5869	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑𝑀)↑-𝑁)))
53		simp1r 1017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
54	41, 43	mulcld 7940	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
55	40, 48	nn0mulcld 9193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
56	44, 55	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
57	46, 53, 54, 56, 32	syl22anc 1234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))))
58		expcl 10494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
59	46, 40, 58	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
60	40	nn0zd 9332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
61		expap0i 10508	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑀) # 0)
62	46, 53, 60, 61	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑀) # 0)
63		expineg2 10485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴↑𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑀) # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐴↑𝑀)↑𝑁) = (1 / ((𝐴↑𝑀)↑-𝑁)))
64	59, 62, 43, 48, 63	syl22anc 1234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑀)↑𝑁) = (1 / ((𝐴↑𝑀)↑-𝑁)))
65	52, 57, 64	3eqtr4d 2213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))
66	65	3expia 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
67		simp1l 1016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
68		simp1r 1017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
69		simp2l 1018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
70	69	recnd 7948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
71		simp2r 1019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℕ)
72	71	nnnn0d 9188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℕ0)
73	67, 68, 70, 72, 34	syl22anc 1234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
74	73	oveq1d 5868	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑𝑀)↑𝑁) = ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁))
75	67, 72, 19	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
76	71	nnzd 9333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℤ)
77	67, 68, 76, 23	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
78	75, 77	recclapd 8698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝑀)) ∈ ℂ)
79	75, 77	recap0d 8699	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝑀)) # 0)
80		simp3l 1020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
81	80	recnd 7948	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
82		simp3r 1021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ)
83	82	nnnn0d 9188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
84		expineg2 10485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((1 / (𝐴↑-𝑀)) ∈ ℂ ∧ (1 / (𝐴↑-𝑀)) # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁)))
85	78, 79, 81, 83, 84	syl22anc 1234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁)))
86	82	nnzd 9333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
87		exprecap 10517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) # 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁)))
88	75, 77, 86, 87	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁)))
89	88	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁)) = (1 / (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁))))
90		expcl 10494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) ∈ ℂ)
91	75, 83, 90	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) ∈ ℂ)
92		expap0i 10508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) # 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) # 0)
93	75, 77, 86, 92	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) # 0)
94	91, 93	recrecapd 8702	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁))) = ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁))
95		expmul 10521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-𝑀 · -𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁))
96	67, 72, 83, 95	syl3anc 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(-𝑀 · -𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁))
97	70, 81	mul2negd 8332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
98	97	oveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(-𝑀 · -𝑁)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)))
99	96, 98	eqtr3d 2205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)))
100	89, 94, 99	3eqtrd 2207	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)))
101	74, 85, 100	3eqtrrd 2208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))
102	101	3expia 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
103	66, 102	jaodan 792	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
104	39, 103	jaod 712	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
105	2, 104	sylan2b 285	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
106	1, 105	syl5bi 151	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁)))
107	106	impr 377	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑𝑀)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   · cmul 7779  -cneg 8091   # cap 8500   / cdiv 8589  ℕcn 8878  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ↑cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  iexpcyc  10580