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Theorem expmulzap 10568
Description: Product of exponents law for integer exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expmulzap (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))

Proof of Theorem expmulzap
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 9269 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
2 elznn0nn 9269 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)))
3 expmul 10567 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))
433expia 1205 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
54adantlr 477 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
6 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
76recnd 7988 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
8 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
98nn0cnd 9233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
107, 9mulneg1d 8370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
1110oveq2d 5893 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-𝑀 · 𝑁)) = (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁)))
12 simp1l 1021 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
13 simp2r 1024 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ)
1413nnnn0d 9231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
15 expmul 10567 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁))
1612, 14, 8, 15syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁))
1711, 16eqtr3d 2212 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁))
1817oveq2d 5893 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁)))
19 expcl 10540 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
2012, 14, 19syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
21 simp1r 1022 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 # 0)
2213nnzd 9376 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
23 expap0i 10554 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
2412, 21, 22, 23syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
258nn0zd 9375 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
26 exprecap 10563 . . . . . . . . . 10 (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁)))
2720, 24, 25, 26syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑𝑁)))
2818, 27eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))) = ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁))
297, 9mulcld 7980 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
3014, 8nn0mulcld 9236 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
3110, 30eqeltrrd 2255 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
32 expineg2 10531 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))))
3312, 21, 29, 31, 32syl22anc 1239 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))))
34 expineg2 10531 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0)) → (𝐴𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
3512, 21, 7, 14, 34syl22anc 1239 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
3635oveq1d 5892 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑀)↑𝑁) = ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁))
3728, 33, 363eqtr4d 2220 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))
38373expia 1205 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
395, 38jaodan 797 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
40 simp2 998 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4140nn0cnd 9233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
42 simp3l 1025 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4342recnd 7988 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4441, 43mulneg2d 8371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
4544oveq2d 5893 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · -𝑁)) = (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁)))
46 simp1l 1021 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
47 simp3r 1026 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ)
4847nnnn0d 9231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
49 expmul 10567 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 · -𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑-𝑁))
5046, 40, 48, 49syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · -𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑-𝑁))
5145, 50eqtr3d 2212 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑-𝑁))
5251oveq2d 5893 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))) = (1 / ((𝐴𝑀)↑-𝑁)))
53 simp1r 1022 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
5441, 43mulcld 7980 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
5540, 48nn0mulcld 9236 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
5644, 55eqeltrrd 2255 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
5746, 53, 54, 56, 32syl22anc 1239 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = (1 / (𝐴↑-(𝑀 · 𝑁))))
58 expcl 10540 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
5946, 40, 58syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
6040nn0zd 9375 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
61 expap0i 10554 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴𝑀) # 0)
6246, 53, 60, 61syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴𝑀) # 0)
63 expineg2 10531 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑀)↑𝑁) = (1 / ((𝐴𝑀)↑-𝑁)))
6459, 62, 43, 48, 63syl22anc 1239 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴𝑀)↑𝑁) = (1 / ((𝐴𝑀)↑-𝑁)))
6552, 57, 643eqtr4d 2220 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))
66653expia 1205 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
67 simp1l 1021 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
68 simp1r 1022 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐴 # 0)
69 simp2l 1023 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
7069recnd 7988 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
71 simp2r 1024 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℕ)
7271nnnn0d 9231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℕ0)
7367, 68, 70, 72, 34syl22anc 1239 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴𝑀) = (1 / (𝐴↑-𝑀)))
7473oveq1d 5892 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴𝑀)↑𝑁) = ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁))
7567, 72, 19syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ)
7671nnzd 9376 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑀 ∈ ℤ)
7767, 68, 76, 23syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑-𝑀) # 0)
7875, 77recclapd 8740 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝑀)) ∈ ℂ)
7975, 77recap0d 8741 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (𝐴↑-𝑀)) # 0)
80 simp3l 1025 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
8180recnd 7988 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
82 simp3r 1026 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ)
8382nnnn0d 9231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
84 expineg2 10531 . . . . . . . . 9 ((((1 / (𝐴↑-𝑀)) ∈ ℂ ∧ (1 / (𝐴↑-𝑀)) # 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁)))
8578, 79, 81, 83, 84syl22anc 1239 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑𝑁) = (1 / ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁)))
8682nnzd 9376 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
87 exprecap 10563 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) # 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁)))
8875, 77, 86, 87syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁) = (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁)))
8988oveq2d 5893 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁)) = (1 / (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁))))
90 expcl 10540 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) ∈ ℂ)
9175, 83, 90syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) ∈ ℂ)
92 expap0i 10554 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑-𝑀) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑-𝑀) # 0 ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) # 0)
9375, 77, 86, 92syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) # 0)
9491, 93recrecapd 8744 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / (1 / ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁))) = ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁))
95 expmul 10567 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(-𝑀 · -𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁))
9667, 72, 83, 95syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(-𝑀 · -𝑁)) = ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁))
9770, 81mul2negd 8372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
9897oveq2d 5893 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(-𝑀 · -𝑁)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)))
9996, 98eqtr3d 2212 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐴↑-𝑀)↑-𝑁) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)))
10089, 94, 993eqtrd 2214 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (1 / ((1 / (𝐴↑-𝑀))↑-𝑁)) = (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)))
10174, 85, 1003eqtrrd 2215 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))
1021013expia 1205 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ)) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
10366, 102jaodan 797 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
10439, 103jaod 717 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ (𝑀 ∈ ℝ ∧ -𝑀 ∈ ℕ))) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
1052, 104sylan2b 287 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
1061, 105biimtrid 152 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁)))
107106impr 379 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐴↑(𝑀 · 𝑁)) = ((𝐴𝑀)↑𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  cc 7811  cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   · cmul 7818  -cneg 8131   # cap 8540   / cdiv 8631  cn 8921  0cn0 9178  cz 9255  cexp 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522
This theorem is referenced by:  iexpcyc  10627  lgseisenlem1  14535  m1lgs  14537
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