ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expmulzap GIF version

Theorem expmulzap 10583
Description: Product of exponents law for integer exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expmulzap (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem expmulzap
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 9284 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
2 elznn0nn 9284 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•)))
3 expmul 10582 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))
433expia 1206 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
54adantlr 477 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
6 simp2l 1024 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
76recnd 8003 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
8 simp3 1000 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
98nn0cnd 9248 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
107, 9mulneg1d 8385 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘) = -(๐‘€ ยท ๐‘))
1110oveq2d 5906 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(-๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐ดโ†‘-(๐‘€ ยท ๐‘)))
12 simp1l 1022 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
13 simp2r 1025 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•)
1413nnnn0d 9246 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)
15 expmul 10582 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(-๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘๐‘))
1612, 14, 8, 15syl3anc 1248 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(-๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘๐‘))
1711, 16eqtr3d 2223 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘๐‘))
1817oveq2d 5906 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ ยท ๐‘))) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘๐‘)))
19 expcl 10555 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚)
2012, 14, 19syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚)
21 simp1r 1023 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด # 0)
2213nnzd 9391 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„ค)
23 expap0i 10569 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0)
2412, 21, 22, 23syl3anc 1248 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0)
258nn0zd 9390 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
26 exprecap 10578 . . . . . . . . . 10 (((๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€))โ†‘๐‘) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘๐‘)))
2720, 24, 25, 26syl3anc 1248 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€))โ†‘๐‘) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘๐‘)))
2818, 27eqtr4d 2224 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ ยท ๐‘))) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€))โ†‘๐‘))
297, 9mulcld 7995 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3014, 8nn0mulcld 9251 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3110, 30eqeltrrd 2266 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ -(๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
32 expineg2 10546 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ((๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง -(๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ ยท ๐‘))))
3312, 21, 29, 31, 32syl22anc 1249 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ ยท ๐‘))))
34 expineg2 10546 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
3512, 21, 7, 14, 34syl22anc 1249 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
3635oveq1d 5905 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€))โ†‘๐‘))
3728, 33, 363eqtr4d 2231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))
38373expia 1206 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
395, 38jaodan 798 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•))) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
40 simp2 999 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
4140nn0cnd 9248 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
42 simp3l 1026 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
4342recnd 8003 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4441, 43mulneg2d 8386 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘€ ยท -๐‘) = -(๐‘€ ยท ๐‘))
4544oveq2d 5906 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท -๐‘)) = (๐ดโ†‘-(๐‘€ ยท ๐‘)))
46 simp1l 1022 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
47 simp3r 1027 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•)
4847nnnn0d 9246 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
49 expmul 10582 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท -๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘-๐‘))
5046, 40, 48, 49syl3anc 1248 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท -๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘-๐‘))
5145, 50eqtr3d 2223 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘-๐‘))
5251oveq2d 5906 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ ยท ๐‘))) = (1 / ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘-๐‘)))
53 simp1r 1023 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด # 0)
5441, 43mulcld 7995 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5540, 48nn0mulcld 9251 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘€ ยท -๐‘) โˆˆ โ„•0)
5644, 55eqeltrrd 2266 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -(๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„•0)
5746, 53, 54, 56, 32syl22anc 1249 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = (1 / (๐ดโ†‘-(๐‘€ ยท ๐‘))))
58 expcl 10555 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5946, 40, 58syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
6040nn0zd 9390 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
61 expap0i 10569 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) # 0)
6246, 53, 60, 61syl3anc 1248 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) # 0)
63 expineg2 10546 . . . . . . . . 9 ((((๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘๐‘€) # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘) = (1 / ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘-๐‘)))
6459, 62, 43, 48, 63syl22anc 1249 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘) = (1 / ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘-๐‘)))
6552, 57, 643eqtr4d 2231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))
66653expia 1206 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
67 simp1l 1022 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
68 simp1r 1023 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ด # 0)
69 simp2l 1024 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
7069recnd 8003 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
71 simp2r 1025 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•)
7271nnnn0d 9246 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„•0)
7367, 68, 70, 72, 34syl22anc 1249 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) = (1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)))
7473oveq1d 5905 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘) = ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€))โ†‘๐‘))
7567, 72, 19syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚)
7671nnzd 9391 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘€ โˆˆ โ„ค)
7767, 68, 76, 23syl3anc 1248 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0)
7875, 77recclapd 8755 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
7975, 77recap0d 8756 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) # 0)
80 simp3l 1026 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
8180recnd 8003 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
82 simp3r 1027 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•)
8382nnnn0d 9246 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•0)
84 expineg2 10546 . . . . . . . . 9 ((((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / (๐ดโ†‘-๐‘€)) # 0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€))โ†‘๐‘) = (1 / ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€))โ†‘-๐‘)))
8578, 79, 81, 83, 84syl22anc 1249 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€))โ†‘๐‘) = (1 / ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€))โ†‘-๐‘)))
8682nnzd 9391 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
87 exprecap 10578 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€))โ†‘-๐‘) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘-๐‘)))
8875, 77, 86, 87syl3anc 1248 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€))โ†‘-๐‘) = (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘-๐‘)))
8988oveq2d 5906 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€))โ†‘-๐‘)) = (1 / (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘-๐‘))))
90 expcl 10555 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
9175, 83, 90syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘-๐‘) โˆˆ โ„‚)
92 expap0i 10569 . . . . . . . . . . 11 (((๐ดโ†‘-๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘-๐‘€) # 0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘-๐‘) # 0)
9375, 77, 86, 92syl3anc 1248 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘-๐‘) # 0)
9491, 93recrecapd 8759 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / (1 / ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘-๐‘))) = ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘-๐‘))
95 expmul 10582 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(-๐‘€ ยท -๐‘)) = ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘-๐‘))
9667, 72, 83, 95syl3anc 1248 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(-๐‘€ ยท -๐‘)) = ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘-๐‘))
9770, 81mul2negd 8387 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (-๐‘€ ยท -๐‘) = (๐‘€ ยท ๐‘))
9897oveq2d 5906 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(-๐‘€ ยท -๐‘)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
9996, 98eqtr3d 2223 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐ดโ†‘-๐‘€)โ†‘-๐‘) = (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
10089, 94, 993eqtrd 2225 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ((1 / (๐ดโ†‘-๐‘€))โ†‘-๐‘)) = (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)))
10174, 85, 1003eqtrrd 2226 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))
1021013expia 1206 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
10366, 102jaodan 798 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
10439, 103jaod 718 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘€ โˆˆ โ„•))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
1052, 104sylan2b 287 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
1061, 105biimtrid 152 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘)))
107106impr 379 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด # 0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐ดโ†‘๐‘€)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2159   class class class wbr 4017  (class class class)co 5890  โ„‚cc 7826  โ„cr 7827  0cc0 7828  1c1 7829   ยท cmul 7833  -cneg 8146   # cap 8555   / cdiv 8646  โ„•cn 8936  โ„•0cn0 9193  โ„คcz 9270  โ†‘cexp 10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-seqfrec 10463  df-exp 10537
This theorem is referenced by:  iexpcyc  10642  lgseisenlem1  14833  m1lgs  14835
  Copyright terms: Public domain W3C validator