Theorem wlkvtxiedgg 16042

Description: The vertices of a walk are connected by indexed edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkvtxeledg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkvtxiedgg	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼,𝑘   𝑃,𝑒   𝑒,𝑊,𝑘

Proof of Theorem wlkvtxiedgg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkvtxeledg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	wlkvtxeledgg 16041	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
3		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	wlkpg 16035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
6		elfzofz 10355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
7	6	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
8	5, 7	ffvelcdmd 5770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (Vtx‘𝐺))
9		prmg 3788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ (Vtx‘𝐺) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
12		wlkvg 16031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
13	12	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝐹 ∈ V)
14		vex 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑘 ∈ V
15		fvexg 5645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑘 ∈ V) → (𝐹‘𝑘) ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝐹‘𝑘) ∈ V)
17	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐹‘𝑘) ∈ V)
18		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
19		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
20	18, 19	sseldd 3225	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
21		fvmbr 5661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘)𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐹‘𝑘)𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
23		breq1 4085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑘) → (𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘)𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
24	17, 22, 23	elabd 2948	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ∃𝑦 𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
25		elfvex 5660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
26		elrng 4912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑦 𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
27	20, 25, 26	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑦 𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼)
29	11, 28	exlimddv 1945	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼)
30		sseq2 3248	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
31	30	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑒 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
32		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
33	29, 31, 32	rspcedvd 2913	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
34	33	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒))
35	34	ralimdva 2597	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒))
36	2, 35	mpd 13	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  {cpr 3667   class class class wbr 4082  ran crn 4719  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998  ...cfz 10200  ..^cfzo 10334  ♯chash 10992  Vtxcvtx 15807  iEdgciedg 15808  Walkscwlks 16024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-ifp 984  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-map 6795  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-dec 9575  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-edgf 15800  df-vtx 15809  df-iedg 15810  df-wlks 16025

This theorem is referenced by: (None)