Theorem wlkvtxiedgg 16587

Description: The vertices of a walk are connected by indexed edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkvtxeledg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkvtxiedgg	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼,𝑘   𝑃,𝑒   𝑒,𝑊,𝑘

Proof of Theorem wlkvtxiedgg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkvtxeledg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	wlkvtxeledgg 16585	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
3		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	wlkpg 16576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
6		elfzofz 10570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
7	6	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
8	5, 7	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (Vtx‘𝐺))
9		prmg 3835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ (Vtx‘𝐺) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
12		wlkvg 16569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
13	12	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝐹 ∈ V)
14		vex 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑘 ∈ V
15		fvexg 5714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑘 ∈ V) → (𝐹‘𝑘) ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝐹‘𝑘) ∈ V)
17	16	ad3antrrr 496	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐹‘𝑘) ∈ V)
18		simplr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
19		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
20	18, 19	sseldd 3249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
21		fvmbr 5731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘)𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐹‘𝑘)𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
23		breq1 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑘) → (𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘)𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
24	17, 22, 23	elabd 2971	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ∃𝑦 𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
25		elfvfvex 5730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
26		elrng 4971	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑦 𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
27	20, 25, 26	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑦 𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼)
29	11, 28	exlimddv 1954	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼)
30		sseq2 3272	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
31	30	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑒 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
32		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
33	29, 31, 32	rspcedvd 2935	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
34	33	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒))
35	34	ralimdva 2617	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒))
36	2, 35	mpd 13	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  {cpr 3710   class class class wbr 4130  ran crn 4775  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182  ...cfz 10411  ..^cfzo 10549  ♯chash 11214  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  Walkscwlks 16558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-ifp 991  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-wlks 16559

This theorem is used by: (None)