Theorem wlkvtxiedgg 16196

Description: The vertices of a walk are connected by indexed edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkvtxeledg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkvtxiedgg	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼,𝑘   𝑃,𝑒   𝑒,𝑊,𝑘

Proof of Theorem wlkvtxiedgg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkvtxeledg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	wlkvtxeledgg 16194	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
3		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	wlkpg 16185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
6		elfzofz 10397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
7	6	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
8	5, 7	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (Vtx‘𝐺))
9		prmg 3794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ (Vtx‘𝐺) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
12		wlkvg 16178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
13	12	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝐹 ∈ V)
14		vex 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑘 ∈ V
15		fvexg 5658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑘 ∈ V) → (𝐹‘𝑘) ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝐹‘𝑘) ∈ V)
17	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐹‘𝑘) ∈ V)
18		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
19		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
20	18, 19	sseldd 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
21		fvmbr 5674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘)𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐹‘𝑘)𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
23		breq1 4091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑘) → (𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘)𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
24	17, 22, 23	elabd 2951	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ∃𝑦 𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
25		elfvfvex 5673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
26		elrng 4921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑦 𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
27	20, 25, 26	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑦 𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼)
29	11, 28	exlimddv 1947	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼)
30		sseq2 3251	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
31	30	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑒 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
32		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
33	29, 31, 32	rspcedvd 2916	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
34	33	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒))
35	34	ralimdva 2599	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒))
36	2, 35	mpd 13	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  {cpr 3670   class class class wbr 4088  ran crn 4726  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034  ...cfz 10242  ..^cfzo 10376  ♯chash 11036  Vtxcvtx 15862  iEdgciedg 15863  Walkscwlks 16167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-ifp 986  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-er 6701  df-map 6818  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-ihash 11037  df-word 11113  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-wlks 16168

This theorem is referenced by: (None)