Theorem wlkvtxiedgg 16467

Description: The vertices of a walk are connected by indexed edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkvtxeledg.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wlkvtxiedgg	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝑒,𝐼,𝑘   𝑃,𝑒   𝑒,𝑊,𝑘

Proof of Theorem wlkvtxiedgg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkvtxeledg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	wlkvtxeledgg 16465	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
3		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	wlkpg 16456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
6		elfzofz 10519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
7	6	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
8	5, 7	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (Vtx‘𝐺))
9		prmg 3819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ (Vtx‘𝐺) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
12		wlkvg 16449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
13	12	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → 𝐹 ∈ V)
14		vex 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑘 ∈ V
15		fvexg 5694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑘 ∈ V) → (𝐹‘𝑘) ∈ V)
16	13, 14, 15	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (𝐹‘𝑘) ∈ V)
17	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐹‘𝑘) ∈ V)
18		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
19		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
20	18, 19	sseldd 3243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → 𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
21		fvmbr 5710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐹‘𝑘)𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐹‘𝑘)𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
23		breq1 4117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑘) → (𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ (𝐹‘𝑘)𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
24	17, 22, 23	elabd 2965	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ∃𝑦 𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
25		elfvfvex 5709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V)
26		elrng 4951	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ V → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑦 𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
27	20, 25, 26	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → ((𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑦 𝑦𝐼(𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
28	24, 27	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑥 ∈ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼)
29	11, 28	exlimddv 1950	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ran 𝐼)
30		sseq2 3266	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
31	30	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ∧ 𝑒 = (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒 ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
32		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
33	29, 31, 32	rspcedvd 2929	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)
34	33	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) ∧ 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒))
35	34	ralimdva 2611	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒))
36	2, 35	mpd 13	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))∃𝑒 ∈ ran 𝐼{(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  Vcvv 2815   ⊆ wss 3214  {cpr 3695   class class class wbr 4114  ran crn 4755  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146  ...cfz 10361  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  Walkscwlks 16438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-wlks 16439

This theorem is referenced by: (None)