Theorem nn0maxcl 11993

Description: The maximum of two nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nn0maxcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem nn0maxcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 9666	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		nn0z 9666	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zmaxcl 11992	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℤ)
5		0red 8327	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
6		nn0re 9574	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	4	zred 9770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9		nn0ge0 9590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
10	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
11		nn0re 9574	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
12		maxle1 11979	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
13	6, 11, 12	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
14	5, 7, 8, 10, 13	letrd 8450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 0 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
15		elnn0z 9659	. 2 ⊢ (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℕ0 ↔ (sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < )))
16	4, 14, 15	sylanbrc 421	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → sup({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  {cpr 3710   class class class wbr 4130  supcsup 7322  ℝcr 8178  0cc0 8179   < clt 8360   ≤ cle 8361  ℕ₀cn0 9565  ℤcz 9646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-rp 10057  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767

This theorem is used by:  bitsfzo  12724