Theorem nn0nnaddcl 12581

Description: A nonnegative integer plus a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 22-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nnaddcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0nnaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 12287	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		nn0cn 12560	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
3		addcom 11442	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 + 𝑀) = (𝑀 + 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) = (𝑀 + 𝑁))
5		nnnn0addcl 12580	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝑀) ∈ ℕ)
6	4, 5	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
7	6	ancoms 464	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7415  ℂcc 11144   + caddc 11149  ℕcn 12279  ℕ₀cn0 12550

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7418  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-ltxr 11294  df-nn 12280  df-n0 12551

This theorem is used by:  nn0p1nn  12589  nnaddm1cl  12700  numnncl  12768  modfzo0difsn  14029  faclbnd4lem1  14379  vdwlem3  17097  vdwlem5  17099  vdwlem6  17100  vdwlem9  17103  mod2xnegi  17185  tdeglem4  26314  basellem5  27350  wwlksext2clwwlk  30556  fmtnodvds  48461