Theorem 0nn0m1nnn0 35097

Description: A number is zero if and only if it's a nonnegative integer that becomes negative after subtracting 1. (Contributed by BTernaryTau, 30-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0m1nnn0	⊢ (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem 0nn0m1nnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12539	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
3	1, 2	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		1nn 12275	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		0mnnnnn0 12556	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → (0 − 1) ∉ ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 − 1) ∉ ℕ0
7		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
8		neleq1 3050	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) = (0 − 1) → ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 1) ∉ ℕ0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 1) ∉ ℕ0))
10	6, 9	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) ∉ ℕ0)
11		df-nel 3045	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	3, 12	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
14		nn0z 12636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
15		peano2zm 12658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
17		elnn0z 12624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
18	17	notbii 320	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
19	18	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
20		annotanannot 835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
21	20	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1))) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1))
22	16, 19, 21	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1))
23		zre 12615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
24	14, 15, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
25		0red 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
26	24, 25	ltnled 11406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
27	26	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ (𝑁 − 1) → (𝑁 − 1) < 0))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ (𝑁 − 1) → (𝑁 − 1) < 0))
29	22, 28	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) < 0)
30		0z 12622	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
31		zlem1lt 12667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 − 1) < 0))
32	14, 30, 31	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 − 1) < 0))
33	32	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 → 𝑁 ≤ 0))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) < 0 → 𝑁 ≤ 0))
35	29, 34	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ 0)
36		nn0ge0 12549	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
38		nn0re 12533	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
39	38, 25	letri3d 11401	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
40	39	biimprd 248	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 = 0))
41	40	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 = 0))
42	35, 37, 41	mp2and 699	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 = 0)
43	13, 42	impbii 209	1 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3044   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612

This theorem is referenced by:  pthhashvtx  35112