Theorem 0nn0m1nnn0 33071

Description: A number is zero if and only if it's a nonnegative integer that becomes negative after subtracting 1. (Contributed by BTernaryTau, 30-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0m1nnn0	⊢ (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem 0nn0m1nnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12248	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		eleq1 2826	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
3	1, 2	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		1nn 11984	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		0mnnnnn0 12265	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → (0 − 1) ∉ ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 − 1) ∉ ℕ0
7		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
8		neleq1 3054	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) = (0 − 1) → ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 1) ∉ ℕ0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 1) ∉ ℕ0))
10	6, 9	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) ∉ ℕ0)
11		df-nel 3050	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	3, 12	jca 512	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
14		nn0z 12343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
15		peano2zm 12363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
17		elnn0z 12332	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
18	17	notbii 320	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
19	18	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
20		annotanannot 832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
21	20	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1))) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1))
22	16, 19, 21	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1))
23		zre 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
24	14, 15, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
25		0red 10978	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
26	24, 25	ltnled 11122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
27	26	biimprd 247	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ (𝑁 − 1) → (𝑁 − 1) < 0))
28	27	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ (𝑁 − 1) → (𝑁 − 1) < 0))
29	22, 28	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) < 0)
30		0z 12330	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
31		zlem1lt 12372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 − 1) < 0))
32	14, 30, 31	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 − 1) < 0))
33	32	biimprd 247	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 → 𝑁 ≤ 0))
34	33	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) < 0 → 𝑁 ≤ 0))
35	29, 34	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ 0)
36		nn0ge0 12258	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
37	36	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
38		nn0re 12242	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
39	38, 25	letri3d 11117	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
40	39	biimprd 247	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 = 0))
41	40	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 = 0))
42	35, 37, 41	mp2and 696	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 = 0)
43	13, 42	impbii 208	1 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3049   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320

This theorem is referenced by:  pthhashvtx  33089