Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0nn0m1nnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nn0m1nnn0 33476
Description: A number is zero if and only if it's a nonnegative integer that becomes negative after subtracting 1. (Contributed by BTernaryTau, 30-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
0nn0m1nnn0 (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem 0nn0m1nnn0
StepHypRef Expression
1 0nn0 12361 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2 eleq1 2825 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
31, 2mpbiri 257 . . 3 (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 1nn 12097 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
5 0mnnnnn0 12378 . . . . . 6 (1 ∈ ℕ → (0 − 1) ∉ ℕ0)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (0 − 1) ∉ ℕ0
7 oveq1 7356 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
8 neleq1 3052 . . . . . 6 ((𝑁 − 1) = (0 − 1) → ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 1) ∉ ℕ0))
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 1) ∉ ℕ0))
106, 9mpbiri 257 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) ∉ ℕ0)
11 df-nel 3048 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1210, 11sylib 217 . . 3 (𝑁 = 0 → ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
133, 12jca 512 . 2 (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
14 nn0z 12456 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
15 peano2zm 12476 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
17 elnn0z 12445 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
1817notbii 319 . . . . . . 7 (¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
1918biimpi 215 . . . . . 6 (¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
20 annotanannot 833 . . . . . . 7 (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
2120simprbi 497 . . . . . 6 (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1))) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1))
2216, 19, 21syl2an 596 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1))
23 zre 12436 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
2414, 15, 233syl 18 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
25 0red 11091 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
2624, 25ltnled 11235 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
2726biimprd 247 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ (𝑁 − 1) → (𝑁 − 1) < 0))
2827adantr 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ (𝑁 − 1) → (𝑁 − 1) < 0))
2922, 28mpd 15 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) < 0)
30 0z 12443 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
31 zlem1lt 12485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 − 1) < 0))
3214, 30, 31sylancl 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 − 1) < 0))
3332biimprd 247 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 → 𝑁 ≤ 0))
3433adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) < 0 → 𝑁 ≤ 0))
3529, 34mpd 15 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ 0)
36 nn0ge0 12371 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
3736adantr 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
38 nn0re 12355 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3938, 25letri3d 11230 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
4039biimprd 247 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 = 0))
4140adantr 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 = 0))
4235, 37, 41mp2and 697 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 = 0)
4313, 42impbii 208 1 (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wnel 3047   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  cr 10983  0cc0 10984  1c1 10985   < clt 11122  cle 11123  cmin 11318  cn 12086  0cn0 12346  cz 12432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-nn 12087  df-n0 12347  df-z 12433
This theorem is referenced by:  pthhashvtx  33494
  Copyright terms: Public domain W3C validator