Theorem 0nn0m1nnn0 32971

Description: A number is zero if and only if it's a nonnegative integer that becomes negative after subtracting 1. (Contributed by BTernaryTau, 30-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0m1nnn0	⊢ (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem 0nn0m1nnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12178	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		eleq1 2826	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
3	1, 2	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		1nn 11914	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		0mnnnnn0 12195	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → (0 − 1) ∉ ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 − 1) ∉ ℕ0
7		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
8		neleq1 3053	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) = (0 − 1) → ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 1) ∉ ℕ0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 1) ∉ ℕ0))
10	6, 9	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) ∉ ℕ0)
11		df-nel 3049	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	3, 12	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
14		nn0z 12273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
15		peano2zm 12293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
17		elnn0z 12262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
18	17	notbii 319	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
19	18	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
20		annotanannot 831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
21	20	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1))) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1))
22	16, 19, 21	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1))
23		zre 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
24	14, 15, 23	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
25		0red 10909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
26	24, 25	ltnled 11052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
27	26	biimprd 247	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ (𝑁 − 1) → (𝑁 − 1) < 0))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ (𝑁 − 1) → (𝑁 − 1) < 0))
29	22, 28	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) < 0)
30		0z 12260	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
31		zlem1lt 12302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 − 1) < 0))
32	14, 30, 31	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 − 1) < 0))
33	32	biimprd 247	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 → 𝑁 ≤ 0))
34	33	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) < 0 → 𝑁 ≤ 0))
35	29, 34	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ 0)
36		nn0ge0 12188	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
38		nn0re 12172	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
39	38, 25	letri3d 11047	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
40	39	biimprd 247	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 = 0))
41	40	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 = 0))
42	35, 37, 41	mp2and 695	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 = 0)
43	13, 42	impbii 208	1 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3048   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  pthhashvtx  32989