Theorem 0nn0m1nnn0 12753

Description: A number is zero if and only if it's a nonnegative integer that becomes negative after subtracting 1. (Contributed by BTernaryTau, 30-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
0nn0m1nnn0	⊢ (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem 0nn0m1nnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12621	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		eleq1 2848	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 0 ∈ ℕ0))
3	1, 2	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		1nn 12346	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		0mnnnnn0 12638	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ → (0 − 1) ∉ ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 − 1) ∉ ℕ0
7		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) = (0 − 1))
8		neleq1 3067	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) = (0 − 1) → ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 1) ∉ ℕ0))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ (0 − 1) ∉ ℕ0))
10	6, 9	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 1) ∉ ℕ0)
11		df-nel 3062	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
12	10, 11	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
13	3, 12	jca 521	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
14		nn0z 12717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
15		peano2zm 12739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
17		elnn0z 12706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
18	17	notbii 323	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
19	18	biimpi 219	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
20		annotanannot 848	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1))) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
21	20	simprbi 503	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ ¬ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1))) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1))
22	16, 19, 21	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1))
23		zre 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
24	14, 15, 23	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
25		0red 11311	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
26	24, 25	ltnled 11457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝑁 − 1)))
27	26	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 0 ≤ (𝑁 − 1) → (𝑁 − 1) < 0))
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (¬ 0 ≤ (𝑁 − 1) → (𝑁 − 1) < 0))
29	22, 28	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 1) < 0)
30		0z 12704	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
31		zlem1lt 12748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 − 1) < 0))
32	14, 30, 31	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 0 ↔ (𝑁 − 1) < 0))
33	32	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) < 0 → 𝑁 ≤ 0))
34	33	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) < 0 → 𝑁 ≤ 0))
35	29, 34	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ 0)
36		nn0ge0 12631	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
37	36	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
38		nn0re 12615	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
39	38, 25	letri3d 11452	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁)))
40	39	biimprd 251	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 = 0))
41	40	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 = 0))
42	35, 37, 41	mp2and 712	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 = 0)
43	13, 42	impbii 212	1 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694

This theorem is used by:  pthhashvtx  30315