Theorem 1wlkdlem3 30159

Description: Lemma 3 for 1wlkd 30161. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1wlkd.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
1wlkdlem3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Proof of Theorem 1wlkdlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
2		1wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
3		1wlkd.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		1wlkd.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
5		1wlkd.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
6		1wlkd.j	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	1wlkdlem2 30158	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼‘𝐽))
8		elfvdm 6942	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐼‘𝐽) → 𝐽 ∈ dom 𝐼)
9		s1cl 14641	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ dom 𝐼 → ⟨“𝐽”⟩ ∈ Word dom 𝐼)
10	2, 9	eqeltrid 2844	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
11	7, 8, 10	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3950  {csn 4625  {cpr 4627  dom cdm 5684  ‘cfv 6560  Word cword 14553  ⟨“cs1 14634  ⟨“cs2 14881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-word 14554  df-s1 14635

This theorem is referenced by:  1wlkd  30161