MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s1cl 14497
Description: A singleton word is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
s1cl (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cl
StepHypRef Expression
1 s1val 14493 . 2 (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2 snopiswrd 14418 . 2 (𝐴𝐵 → {⟨0, 𝐴⟩} ∈ Word 𝐵)
31, 2eqeltrd 2838 1 (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  {csn 4591  cop 4597  0cc0 11058  Word cword 14409  ⟨“cs1 14490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-word 14410  df-s1 14491
This theorem is referenced by:  s1cld  14498  s1cli  14500  lsws1  14506  wrdl1s1  14509  ccatws1cl  14511  ccat2s1cl  14513  ccats1alpha  14514  ccats1val2  14522  lswccats1  14529  cats1un  14616  reuccatpfxs1  14642  s2prop  14803  s2eq2s1eq  14832  s3eqs2s1eq  14834  gsumws2  18659  gsumccatsn  18660  vrmdval  18674  vrmdf  18675  psgnpmtr  19299  efgsval2  19522  wwlksnext  28880  wwlksnextbi  28881  wwlksnextsurj  28887  rusgrnumwwlkb0  28958  loopclwwlkn1b  29028  clwwlkn1loopb  29029  clwwlkext2edg  29042  wwlksext2clwwlk  29043  clwwlknon1loop  29084  1ewlk  29101  1wlkdlem3  29125  numclwwlk2lem1lem  29328  numclwwlk1lem2foalem  29337  numclwwlk1lem2fo  29344  signstf0  33220  signstfvn  33221  signstfvp  33223  signstfvneq0  33224  signstfvc  33226  signsvf1  33233  signsvfn  33234  signshf  33240  upwordsing  45197
  Copyright terms: Public domain W3C validator