Theorem s1cl 14630

Description: A singleton word is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
s1cl	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14626	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2		snopiswrd 14550	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝐴⟩} ∈ Word 𝐵)
3	1, 2	eqeltrd 2865	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  {csn 4585  ⟨cop 4591  0cc0 11088  Word cword 14540  ⟨“cs1 14623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-word 14541  df-s1 14624

This theorem is referenced by:  s1cld  14631  s1cli  14633  lsws1  14639  wrdl1s1  14642  ccatws1cl  14644  ccat2s1cl  14646  ccats1alpha  14647  ccats1val2  14655  lswccats1  14662  cats1un  14748  reuccatpfxs1  14774  s2prop  14934  s2eq2s1eq  14963  s3eqs2s1eq  14965  gsumws2  18891  gsumccatsn  18892  vrmdval  18906  vrmdf  18907  psgnpmtr  19571  efgsval2  19794  wwlksnext  30151  wwlksnextbi  30152  wwlksnextsurj  30158  rusgrnumwwlkb0  30232  loopclwwlkn1b  30302  clwwlkn1loopb  30303  clwwlkext2edg  30316  wwlksext2clwwlk  30317  clwwlknon1loop  30358  1ewlk  30375  1wlkdlem3  30399  numclwwlk2lem1lem  30602  numclwwlk1lem2foalem  30611  numclwwlk1lem2fo  30618  signstf0  34872  signstfvn  34873  signstfvp  34875  signstfvneq0  34876  signstfvc  34878  signsvf1  34885  signsvfn  34886  signshf  34892