MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s1cl 13950
Description: A singleton word is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
s1cl (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cl
StepHypRef Expression
1 s1val 13946 . 2 (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2 snopiswrd 13864 . 2 (𝐴𝐵 → {⟨0, 𝐴⟩} ∈ Word 𝐵)
31, 2eqeltrd 2913 1 (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2110  {csn 4560  cop 4566  0cc0 10531  Word cword 13855  ⟨“cs1 13943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-word 13856  df-s1 13944
This theorem is referenced by:  s1cld  13951  s1cli  13953  lsws1  13959  wrdl1s1  13962  ccatws1cl  13964  ccat2s1cl  13966  ccats1alpha  13967  ccat2s1lenOLD  13972  ccats1val1OLD  13976  ccats1val2  13977  ccat2s1p1OLD  13981  ccat2s1p2OLD  13982  ccatw2s1assOLD  13984  lswccats1  13987  cats1un  14077  reuccatpfxs1  14103  s2prop  14263  s2eq2s1eq  14292  s3eqs2s1eq  14294  gsumws2  18001  gsumccatsn  18002  vrmdval  18016  vrmdf  18017  psgnpmtr  18632  efgsval2  18853  wwlksnext  27665  wwlksnextbi  27666  wwlksnextsurj  27672  rusgrnumwwlkb0  27744  loopclwwlkn1b  27814  clwwlkn1loopb  27815  clwwlkext2edg  27829  wwlksext2clwwlk  27830  clwwlknon1loop  27871  1ewlk  27888  1wlkdlem3  27912  numclwwlk2lem1lem  28115  numclwwlk1lem2foalem  28124  numclwwlk1lem2fo  28131  signstf0  31833  signstfvn  31834  signstfvp  31836  signstfvneq0  31837  signstfvc  31839  signsvf1  31846  signsvfn  31847  signshf  31853
  Copyright terms: Public domain W3C validator