Theorem ackvalsuc1 49182

Description: The Ackermann function at a successor of the first argument and an arbitrary second argument. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2024.) (Revised by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackvalsuc1	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘𝑁) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1))

Proof of Theorem ackvalsuc1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackvalsuc1mpt 49181	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (Ack‘(𝑀 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑛 + 1))‘1)))
2	1	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (Ack‘(𝑀 + 1)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑛 + 1))‘1)))
3		fvoveq1 7382	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑛 + 1)) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)))
4	3	fveq1d 6832	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑛 + 1))‘1) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1))
5	4	adantl 483	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = 𝑁) → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑛 + 1))‘1) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1))
6		simpr 486	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		fvexd 6845	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1) ∈ V)
8	2, 5, 6, 7	fvmptd 6946	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘𝑁) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ↦ cmpt 5155  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  1c1 11035   + caddc 11037  ℕ₀cn0 12432  IterCompcitco 49160  Ackcack 49161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-seq 13959  df-ack 49163

This theorem is referenced by:  ackvalsuc0val  49190  ackvalsucsucval  49191