Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackvalsucsucval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackvalsucsucval 46565
Description: The Ackermann function at the successors. This is the third equation of Péter's definition of the Ackermann function. (Contributed by AV, 8-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackvalsucsucval ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘(𝑁 + 1)) = ((Ack‘𝑀)‘((Ack‘(𝑀 + 1))‘𝑁)))

Proof of Theorem ackvalsucsucval
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 12387 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2 ackvalsuc1 46556 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘(𝑁 + 1)) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘((𝑁 + 1) + 1))‘1))
31, 2sylan2 594 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘(𝑁 + 1)) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘((𝑁 + 1) + 1))‘1))
4 fvexd 6853 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (Ack‘𝑀) ∈ V)
51adantl 483 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6 eqidd 2739 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)))
7 itcovalsucov 46545 . . . . 5 (((Ack‘𝑀) ∈ V ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))))
84, 5, 6, 7syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))))
98fveq1d 6840 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘((𝑁 + 1) + 1))‘1) = (((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)))‘1))
10 ackfnnn0 46562 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (Ack‘𝑀) Fn ℕ0)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (Ack‘𝑀) Fn ℕ0)
12 nn0ex 12353 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ℕ0 ∈ V)
14 ackendofnn0 46561 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (Ack‘𝑀):ℕ0⟶ℕ0)
1514adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (Ack‘𝑀):ℕ0⟶ℕ0)
16 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1713, 15, 16itcovalendof 46546 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁):ℕ0⟶ℕ0)
1817ffnd 6665 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁) Fn ℕ0)
1917frnd 6672 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ran ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁) ⊆ ℕ0)
20 fnco 6614 . . . . . 6 (((Ack‘𝑀) Fn ℕ0 ∧ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁) Fn ℕ0 ∧ ran ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁) ⊆ ℕ0) → ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁)) Fn ℕ0)
2111, 18, 19, 20syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁)) Fn ℕ0)
22 eqidd 2739 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁))
23 itcovalsucov 46545 . . . . . . 7 (((Ack‘𝑀) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁)) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) = ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁)))
244, 16, 22, 23syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) = ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁)))
2524fneq1d 6591 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) Fn ℕ0 ↔ ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁)) Fn ℕ0))
2621, 25mpbird 257 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) Fn ℕ0)
27 1nn0 12363 . . . 4 1 ∈ ℕ0
28 fvco2 6934 . . . 4 ((((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) Fn ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)))‘1) = ((Ack‘𝑀)‘(((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1)))
2926, 27, 28sylancl 587 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)))‘1) = ((Ack‘𝑀)‘(((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1)))
309, 29eqtrd 2778 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘((𝑁 + 1) + 1))‘1) = ((Ack‘𝑀)‘(((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1)))
31 ackvalsuc1 46556 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘𝑁) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1))
3231eqcomd 2744 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1) = ((Ack‘(𝑀 + 1))‘𝑁))
3332fveq2d 6842 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘𝑀)‘(((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1)) = ((Ack‘𝑀)‘((Ack‘(𝑀 + 1))‘𝑁)))
343, 30, 333eqtrd 2782 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘(𝑁 + 1)) = ((Ack‘𝑀)‘((Ack‘(𝑀 + 1))‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  wss 3909  ran crn 5632  ccom 5635   Fn wfn 6487  wf 6488  cfv 6492  (class class class)co 7350  1c1 10986   + caddc 10988  0cn0 12347  IterCompcitco 46534  Ackcack 46535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12698  df-seq 13837  df-itco 46536  df-ack 46537
This theorem is referenced by:  ackval41a  46571  ackval42  46573
  Copyright terms: Public domain W3C validator