Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackvalsucsucval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackvalsucsucval 45143
 Description: The Ackermann function at the successors. This is the third equation of Péter's definition of the Ackermann function. (Contributed by AV, 8-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackvalsucsucval ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘(𝑁 + 1)) = ((Ack‘𝑀)‘((Ack‘(𝑀 + 1))‘𝑁)))

Proof of Theorem ackvalsucsucval
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 11928 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2 ackvalsuc1 45134 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘(𝑁 + 1)) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘((𝑁 + 1) + 1))‘1))
31, 2sylan2 595 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘(𝑁 + 1)) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘((𝑁 + 1) + 1))‘1))
4 fvexd 6661 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (Ack‘𝑀) ∈ V)
51adantl 485 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
6 eqidd 2799 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)))
7 itcovalsucov 45123 . . . . 5 (((Ack‘𝑀) ∈ V ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))))
84, 5, 6, 7syl3anc 1368 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘((𝑁 + 1) + 1)) = ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))))
98fveq1d 6648 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘((𝑁 + 1) + 1))‘1) = (((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)))‘1))
10 ackfnnn0 45140 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (Ack‘𝑀) Fn ℕ0)
1110adantr 484 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (Ack‘𝑀) Fn ℕ0)
12 nn0ex 11894 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ℕ0 ∈ V)
14 ackendofnn0 45139 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (Ack‘𝑀):ℕ0⟶ℕ0)
1514adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (Ack‘𝑀):ℕ0⟶ℕ0)
16 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1713, 15, 16itcovalendof 45124 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁):ℕ0⟶ℕ0)
1817ffnd 6489 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁) Fn ℕ0)
1917frnd 6495 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ran ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁) ⊆ ℕ0)
20 fnco 6438 . . . . . 6 (((Ack‘𝑀) Fn ℕ0 ∧ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁) Fn ℕ0 ∧ ran ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁) ⊆ ℕ0) → ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁)) Fn ℕ0)
2111, 18, 19, 20syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁)) Fn ℕ0)
22 eqidd 2799 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁))
23 itcovalsucov 45123 . . . . . . 7 (((Ack‘𝑀) ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁)) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) = ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁)))
244, 16, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) = ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁)))
2524fneq1d 6417 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) Fn ℕ0 ↔ ((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘𝑁)) Fn ℕ0))
2621, 25mpbird 260 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) Fn ℕ0)
27 1nn0 11904 . . . 4 1 ∈ ℕ0
28 fvco2 6736 . . . 4 ((((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)) Fn ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)))‘1) = ((Ack‘𝑀)‘(((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1)))
2926, 27, 28sylancl 589 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((Ack‘𝑀) ∘ ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1)))‘1) = ((Ack‘𝑀)‘(((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1)))
309, 29eqtrd 2833 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘((𝑁 + 1) + 1))‘1) = ((Ack‘𝑀)‘(((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1)))
31 ackvalsuc1 45134 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘𝑁) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1))
3231eqcomd 2804 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1) = ((Ack‘(𝑀 + 1))‘𝑁))
3332fveq2d 6650 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘𝑀)‘(((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(𝑁 + 1))‘1)) = ((Ack‘𝑀)‘((Ack‘(𝑀 + 1))‘𝑁)))
343, 30, 333eqtrd 2837 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘(𝑁 + 1)) = ((Ack‘𝑀)‘((Ack‘(𝑀 + 1))‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ran crn 5521   ∘ ccom 5524   Fn wfn 6320  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  1c1 10530   + caddc 10532  ℕ0cn0 11888  IterCompcitco 45112  Ackcack 45113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-seq 13368  df-itco 45114  df-ack 45115 This theorem is referenced by:  ackval41a  45149  ackval42  45151
 Copyright terms: Public domain W3C validator