Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackvalsuc0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackvalsuc0val 45032
 Description: The Ackermann function at a successor (of the first argument). This is the second equation of Péter's definition of the Ackermann function. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackvalsuc0val (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = ((Ack‘𝑀)‘1))

Proof of Theorem ackvalsuc0val
StepHypRef Expression
1 0nn0 11909 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 ackvalsuc1 45024 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1))
31, 2mpan2 690 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1))
4 0p1e1 11756 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
54a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 + 1) = 1)
65fveq2d 6665 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1)) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1))
7 ackfnnn0 45030 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (Ack‘𝑀) Fn ℕ0)
8 fnfun 6441 . . . . . 6 ((Ack‘𝑀) Fn ℕ0 → Fun (Ack‘𝑀))
9 funrel 6360 . . . . . 6 (Fun (Ack‘𝑀) → Rel (Ack‘𝑀))
107, 8, 93syl 18 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → Rel (Ack‘𝑀))
11 fvex 6674 . . . . 5 (Ack‘𝑀) ∈ V
12 itcoval1 45008 . . . . 5 ((Rel (Ack‘𝑀) ∧ (Ack‘𝑀) ∈ V) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1) = (Ack‘𝑀))
1310, 11, 12sylancl 589 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1) = (Ack‘𝑀))
146, 13eqtrd 2859 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1)) = (Ack‘𝑀))
1514fveq1d 6663 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1) = ((Ack‘𝑀)‘1))
163, 15eqtrd 2859 1 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = ((Ack‘𝑀)‘1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  Rel wrel 5547  Fun wfun 6337   Fn wfn 6338  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538  ℕ0cn0 11894  IterCompcitco 45002  Ackcack 45003 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-seq 13374  df-itco 45004  df-ack 45005 This theorem is referenced by:  ackval40  45038  ackval50  45043
 Copyright terms: Public domain W3C validator