Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackvalsuc0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackvalsuc0val 46780
Description: The Ackermann function at a successor (of the first argument). This is the second equation of PΓ©ter's definition of the Ackermann function. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackvalsuc0val (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((Ackβ€˜(𝑀 + 1))β€˜0) = ((Ackβ€˜π‘€)β€˜1))

Proof of Theorem ackvalsuc0val
StepHypRef Expression
1 0nn0 12429 . . 3 0 ∈ β„•0
2 ackvalsuc1 46772 . . 3 ((𝑀 ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ ((Ackβ€˜(𝑀 + 1))β€˜0) = (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘€))β€˜(0 + 1))β€˜1))
31, 2mpan2 690 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((Ackβ€˜(𝑀 + 1))β€˜0) = (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘€))β€˜(0 + 1))β€˜1))
4 0p1e1 12276 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
54a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (0 + 1) = 1)
65fveq2d 6847 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘€))β€˜(0 + 1)) = ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘€))β€˜1))
7 ackfnnn0 46778 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (Ackβ€˜π‘€) Fn β„•0)
8 fnfun 6603 . . . . . 6 ((Ackβ€˜π‘€) Fn β„•0 β†’ Fun (Ackβ€˜π‘€))
9 funrel 6519 . . . . . 6 (Fun (Ackβ€˜π‘€) β†’ Rel (Ackβ€˜π‘€))
107, 8, 93syl 18 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ Rel (Ackβ€˜π‘€))
11 fvex 6856 . . . . 5 (Ackβ€˜π‘€) ∈ V
12 itcoval1 46756 . . . . 5 ((Rel (Ackβ€˜π‘€) ∧ (Ackβ€˜π‘€) ∈ V) β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘€))β€˜1) = (Ackβ€˜π‘€))
1310, 11, 12sylancl 587 . . . 4 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘€))β€˜1) = (Ackβ€˜π‘€))
146, 13eqtrd 2777 . . 3 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘€))β€˜(0 + 1)) = (Ackβ€˜π‘€))
1514fveq1d 6845 . 2 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (((IterCompβ€˜(Ackβ€˜π‘€))β€˜(0 + 1))β€˜1) = ((Ackβ€˜π‘€)β€˜1))
163, 15eqtrd 2777 1 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ ((Ackβ€˜(𝑀 + 1))β€˜0) = ((Ackβ€˜π‘€)β€˜1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446  Rel wrel 5639  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055  β„•0cn0 12414  IterCompcitco 46750  Ackcack 46751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-seq 13908  df-itco 46752  df-ack 46753
This theorem is referenced by:  ackval40  46786  ackval50  46791
  Copyright terms: Public domain W3C validator