Theorem ackvalsuc0val 49319

Description: The Ackermann function at a successor (of the first argument). This is the second equation of Péter's definition of the Ackermann function. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackvalsuc0val	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = ((Ack‘𝑀)‘1))

Proof of Theorem ackvalsuc0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12507	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		ackvalsuc1 49311	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1))
4		0p1e1 12349	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 + 1) = 1)
6	5	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1)) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1))
7		ackfnnn0 49317	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (Ack‘𝑀) Fn ℕ0)
8		fnfun 6625	. . . . . 6 ⊢ ((Ack‘𝑀) Fn ℕ0 → Fun (Ack‘𝑀))
9		funrel 6542	. . . . . 6 ⊢ (Fun (Ack‘𝑀) → Rel (Ack‘𝑀))
10	7, 8, 9	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → Rel (Ack‘𝑀))
11		fvex 6884	. . . . 5 ⊢ (Ack‘𝑀) ∈ V
12		itcoval1 49295	. . . . 5 ⊢ ((Rel (Ack‘𝑀) ∧ (Ack‘𝑀) ∈ V) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1) = (Ack‘𝑀))
13	10, 11, 12	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1) = (Ack‘𝑀))
14	6, 13	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1)) = (Ack‘𝑀))
15	14	fveq1d 6873	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1) = ((Ack‘𝑀)‘1))
16	3, 15	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = ((Ack‘𝑀)‘1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  Rel wrel 5656  Fun wfun 6519   Fn wfn 6520  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091  ℕ₀cn0 12492  IterCompcitco 49289  Ackcack 49290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-seq 14026  df-itco 49291  df-ack 49292

This theorem is referenced by:  ackval40  49325  ackval50  49330