Theorem ackvalsuc0val 49185

Description: The Ackermann function at a successor (of the first argument). This is the second equation of Péter's definition of the Ackermann function. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackvalsuc0val	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = ((Ack‘𝑀)‘1))

Proof of Theorem ackvalsuc0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12450	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		ackvalsuc1 49177	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1))
3	1, 2	mpan2 697	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1))
4		0p1e1 12296	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 + 1) = 1)
6	5	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1)) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1))
7		ackfnnn0 49183	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (Ack‘𝑀) Fn ℕ0)
8		fnfun 6592	. . . . . 6 ⊢ ((Ack‘𝑀) Fn ℕ0 → Fun (Ack‘𝑀))
9		funrel 6509	. . . . . 6 ⊢ (Fun (Ack‘𝑀) → Rel (Ack‘𝑀))
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → Rel (Ack‘𝑀))
11		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ (Ack‘𝑀) ∈ V
12		itcoval1 49161	. . . . 5 ⊢ ((Rel (Ack‘𝑀) ∧ (Ack‘𝑀) ∈ V) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1) = (Ack‘𝑀))
13	10, 11, 12	sylancl 592	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1) = (Ack‘𝑀))
14	6, 13	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1)) = (Ack‘𝑀))
15	14	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1) = ((Ack‘𝑀)‘1))
16	3, 15	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = ((Ack‘𝑀)‘1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  Rel wrel 5630  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039  ℕ₀cn0 12435  IterCompcitco 49155  Ackcack 49156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-seq 13962  df-itco 49157  df-ack 49158

This theorem is referenced by:  ackval40  49191  ackval50  49196