Theorem ackvalsuc0val 48933

Description: The Ackermann function at a successor (of the first argument). This is the second equation of Péter's definition of the Ackermann function. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ackvalsuc0val	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = ((Ack‘𝑀)‘1))

Proof of Theorem ackvalsuc0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12416	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		ackvalsuc1 48925	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1))
4		0p1e1 12262	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 + 1) = 1)
6	5	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1)) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1))
7		ackfnnn0 48931	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (Ack‘𝑀) Fn ℕ0)
8		fnfun 6592	. . . . . 6 ⊢ ((Ack‘𝑀) Fn ℕ0 → Fun (Ack‘𝑀))
9		funrel 6509	. . . . . 6 ⊢ (Fun (Ack‘𝑀) → Rel (Ack‘𝑀))
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → Rel (Ack‘𝑀))
11		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ (Ack‘𝑀) ∈ V
12		itcoval1 48909	. . . . 5 ⊢ ((Rel (Ack‘𝑀) ∧ (Ack‘𝑀) ∈ V) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1) = (Ack‘𝑀))
13	10, 11, 12	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1) = (Ack‘𝑀))
14	6, 13	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1)) = (Ack‘𝑀))
15	14	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1) = ((Ack‘𝑀)‘1))
16	3, 15	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = ((Ack‘𝑀)‘1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  Rel wrel 5629  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  ℕ₀cn0 12401  IterCompcitco 48903  Ackcack 48904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-itco 48905  df-ack 48906

This theorem is referenced by:  ackval40  48939  ackval50  48944