Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ackvalsuc0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackvalsuc0val 48608
Description: The Ackermann function at a successor (of the first argument). This is the second equation of Péter's definition of the Ackermann function. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ackvalsuc0val (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = ((Ack‘𝑀)‘1))

Proof of Theorem ackvalsuc0val
StepHypRef Expression
1 0nn0 12541 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 ackvalsuc1 48600 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1))
31, 2mpan2 691 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1))
4 0p1e1 12388 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
54a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 + 1) = 1)
65fveq2d 6910 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1)) = ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1))
7 ackfnnn0 48606 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (Ack‘𝑀) Fn ℕ0)
8 fnfun 6668 . . . . . 6 ((Ack‘𝑀) Fn ℕ0 → Fun (Ack‘𝑀))
9 funrel 6583 . . . . . 6 (Fun (Ack‘𝑀) → Rel (Ack‘𝑀))
107, 8, 93syl 18 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → Rel (Ack‘𝑀))
11 fvex 6919 . . . . 5 (Ack‘𝑀) ∈ V
12 itcoval1 48584 . . . . 5 ((Rel (Ack‘𝑀) ∧ (Ack‘𝑀) ∈ V) → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1) = (Ack‘𝑀))
1310, 11, 12sylancl 586 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘1) = (Ack‘𝑀))
146, 13eqtrd 2777 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1)) = (Ack‘𝑀))
1514fveq1d 6908 . 2 (𝑀 ∈ ℕ0 → (((IterComp‘(Ack‘𝑀))‘(0 + 1))‘1) = ((Ack‘𝑀)‘1))
163, 15eqtrd 2777 1 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((Ack‘(𝑀 + 1))‘0) = ((Ack‘𝑀)‘1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  Rel wrel 5690  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  0cn0 12526  IterCompcitco 48578  Ackcack 48579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-itco 48580  df-ack 48581
This theorem is referenced by:  ackval40  48614  ackval50  48619
  Copyright terms: Public domain W3C validator