clwwisshclwwslemlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwwisshclwwslemlem 30215

Description: Lemma for clwwisshclwwslem 30216. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwisshclwwslemlem	⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖 𝐵,𝑖 𝑖,𝐿 𝑅,𝑖 𝑖,𝑊

**Proof of Theorem clwwisshclwwslemlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12573	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		1cnd 11175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
4		zcn 12573	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant3 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	2, 3, 5	add32d 11411	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 1) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 1))
7	6	fvoveq1d 7418	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)))
8	7	3ad2ant1 1146	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)))
9	8	preq2d 4699	. 2 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))})
10		zaddcl 12611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
11	10	3adant1 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
12		eluz2nn 12889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐿 ∈ ℕ)
13	12	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℕ)
14	11, 13	zmodcld 13902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ ℕ₀)
15	14	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ ℕ₀)
16		uz2m1nn 12924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
17	16	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
18	17	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
19		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1))
20		elfzo0 13706	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)) ↔ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 1) ∈ ℕ ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)))
21	15, 18, 19, 20	syl3anbrc 1357	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
22		fveq2 6867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
23		fvoveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1)))
24	22, 23	preq12d 4700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))})
25	24	eleq1d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
26	25	rspcv 3577	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
27	21, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
28	10	zred 12677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
29	28	3adant1 1143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
30	29	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
31	12	nnrpd 13035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐿 ∈ ℝ⁺)
32	31	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ⁺)
33	32	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℝ⁺)
34		modltm1p1mod 13936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))
35	30, 33, 19, 34	syl3anc 1390	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))
36	35	fveq2d 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1)))
37	36	preq2d 4699	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))})
38	37	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ({(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
39	27, 38	sylibrd 261	. . . . 5 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
40	39	impancom 455	. . . 4 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
41	40	3adant3 1145	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
42		zmodfzo 13904	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿))
43	11, 13, 42	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿))
44		elfzonlteqm1 13747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1))
45	44	eqcomd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿))
46	45	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
47	43, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
48		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
49	48	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝑊‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
50		zre 12572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
51		zre 12572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
52		readdcl 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
53	50, 51, 52	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54	53	3adant1 1143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
55	54, 32	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ⁺))
56	55	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ⁺))
57		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿))
58	57	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1))
59		modm1p1mod0 13935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ⁺) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = 0))
60	56, 58, 59	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = 0)
61	60	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → 0 = (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))
62	61	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝑊‘0) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)))
63	49, 62	preq12d 4700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))})
64	63	eleq1d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
65	64	biimpd 231	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
66	65	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)))
67	47, 66	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)))
68	67	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)))
69	68	imp 410	. . . 4 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
70	69	3adant2 1144	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
71	41, 70	pm2.61d 180	. 2 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)
72	9, 71	eqeltrd 2862	1 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 399 ∧ w3a 1098 = wceq 1560 ∈ wcel 2142 ∀wral 3076 {cpr 4584 class class class wbr 5100 ‘cfv 6521 (class class class)co 7396 ℂcc 11071 ℝcr 11072 0cc0 11073 1c1 11074 + caddc 11076 < clt 11216 − cmin 11414 ℕcn 12210 2c2 12272 ℕ₀cn0 12481 ℤcz 12568 ℤ_≥cuz 12839 ℝ⁺crp 12993 ..^cfzo 13659 mod cmo 13879

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1815 ax-4 1829 ax-5 1930 ax-6 1987 ax-7 2028 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5322 ax-pr 5390 ax-un 7718 ax-cnex 11129 ax-resscn 11130 ax-1cn 11131 ax-icn 11132 ax-addcl 11133 ax-addrcl 11134 ax-mulcl 11135 ax-mulrcl 11136 ax-mulcom 11137 ax-addass 11138 ax-mulass 11139 ax-distr 11140 ax-i2m1 11141 ax-1ne0 11142 ax-1rid 11143 ax-rnegex 11144 ax-rrecex 11145 ax-cnre 11146 ax-pre-lttri 11147 ax-pre-lttrn 11148 ax-pre-ltadd 11149 ax-pre-mulgt0 11150 ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1099 df-3an 1100 df-tru 1563 df-fal 1573 df-ex 1800 df-nf 1804 df-sb 2091 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3456 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4481 df-pw 4557 df-sn 4583 df-pr 4585 df-op 4589 df-uni 4866 df-iun 4951 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5542 df-eprel 5547 df-po 5555 df-so 5556 df-fr 5600 df-we 5602 df-xp 5653 df-rel 5654 df-cnv 5655 df-co 5656 df-dm 5657 df-rn 5658 df-res 5659 df-ima 5660 df-pred 6288 df-ord 6349 df-on 6350 df-lim 6351 df-suc 6352 df-iota 6477 df-fun 6523 df-fn 6524 df-f 6525 df-f1 6526 df-fo 6527 df-f1o 6528 df-fv 6529 df-riota 7353 df-ov 7399 df-oprab 7400 df-mpo 7401 df-om 7847 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8342 df-rdg 8381 df-er 8678 df-en 8928 df-dom 8929 df-sdom 8930 df-sup 9388 df-inf 9389 df-pnf 11218 df-mnf 11219 df-xr 11220 df-ltxr 11221 df-le 11222 df-sub 11416 df-neg 11417 df-div 11845 df-nn 12211 df-2 12280 df-n0 12482 df-z 12569 df-uz 12840 df-rp 12994 df-fz 13513 df-fzo 13660 df-fl 13802 df-mod 13880

This theorem is referenced by: clwwisshclwwslem 30216

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