clwwisshclwwslemlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwwisshclwwslemlem 29999

Description: Lemma for clwwisshclwwslem 30000. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwisshclwwslemlem	⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖 𝐵,𝑖 𝑖,𝐿 𝑅,𝑖 𝑖,𝑊

**Proof of Theorem clwwisshclwwslemlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		1cnd 11235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
4		zcn 12598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	2, 3, 5	add32d 11468	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 1) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 1))
7	6	fvoveq1d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)))
8	7	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)))
9	8	preq2d 4721	. 2 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))})
10		zaddcl 12637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
11	10	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
12		eluz2nn 12903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐿 ∈ ℕ)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℕ)
14	11, 13	zmodcld 13914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ ℕ₀)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ ℕ₀)
16		uz2m1nn 12944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1))
20		elfzo0 13722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)) ↔ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 1) ∈ ℕ ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)))
21	15, 18, 19, 20	syl3anbrc 1344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
22		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
23		fvoveq1 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1)))
24	22, 23	preq12d 4722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))})
25	24	eleq1d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
26	25	rspcv 3602	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
27	21, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
28	10	zred 12702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
29	28	3adant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
31	12	nnrpd 13054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐿 ∈ ℝ⁺)
32	31	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ⁺)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℝ⁺)
34		modltm1p1mod 13946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))
35	30, 33, 19, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))
36	35	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1)))
37	36	preq2d 4721	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))})
38	37	eleq1d 2820	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ({(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
39	27, 38	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
40	39	impancom 451	. . . 4 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
41	40	3adant3 1132	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
42		zmodfzo 13916	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿))
43	11, 13, 42	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿))
44		elfzonlteqm1 13762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1))
45	44	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿))
46	45	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
47	43, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
48		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝑊‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
50		zre 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
51		zre 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
52		readdcl 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
53	50, 51, 52	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54	53	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
55	54, 32	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ⁺))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ⁺))
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿))
58	57	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1))
59		modm1p1mod0 13945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ⁺) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = 0))
60	56, 58, 59	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = 0)
61	60	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → 0 = (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))
62	61	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝑊‘0) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)))
63	49, 62	preq12d 4722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))})
64	63	eleq1d 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
65	64	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
66	65	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)))
67	47, 66	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)))
68	67	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)))
69	68	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
70	69	3adant2 1131	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
71	41, 70	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)
72	9, 71	eqeltrd 2835	1 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∀wral 3052 {cpr 4608 class class class wbr 5124 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℂcc 11132 ℝcr 11133 0cc0 11134 1c1 11135 + caddc 11137 < clt 11274 − cmin 11471 ℕcn 12245 2c2 12300 ℕ₀cn0 12506 ℤcz 12593 ℤ_≥cuz 12857 ℝ⁺crp 13013 ..^cfzo 13676 mod cmo 13891

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2708 ax-sep 5271 ax-nul 5281 ax-pow 5340 ax-pr 5407 ax-un 7734 ax-cnex 11190 ax-resscn 11191 ax-1cn 11192 ax-icn 11193 ax-addcl 11194 ax-addrcl 11195 ax-mulcl 11196 ax-mulrcl 11197 ax-mulcom 11198 ax-addass 11199 ax-mulass 11200 ax-distr 11201 ax-i2m1 11202 ax-1ne0 11203 ax-1rid 11204 ax-rnegex 11205 ax-rrecex 11206 ax-cnre 11207 ax-pre-lttri 11208 ax-pre-lttrn 11209 ax-pre-ltadd 11210 ax-pre-mulgt0 11211 ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2810 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3421 df-v 3466 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4889 df-iun 4974 df-br 5125 df-opab 5187 df-mpt 5207 df-tr 5235 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6295 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7867 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-er 8724 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-sup 9459 df-inf 9460 df-pnf 11276 df-mnf 11277 df-xr 11278 df-ltxr 11279 df-le 11280 df-sub 11473 df-neg 11474 df-div 11900 df-nn 12246 df-2 12308 df-n0 12507 df-z 12594 df-uz 12858 df-rp 13014 df-fz 13530 df-fzo 13677 df-fl 13814 df-mod 13892

This theorem is referenced by: clwwisshclwwslem 30000

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