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Theorem clwwisshclwwslemlem 29836
Description: Lemma for clwwisshclwwslem 29837. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclwwslemlem (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝑖,𝐿   𝑅,𝑖   𝑖,𝑊

Proof of Theorem clwwisshclwwslemlem
StepHypRef Expression
1 zcn 12594 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
213ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 1cnd 11240 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
4 zcn 12594 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
543ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
62, 3, 5add32d 11472 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 1) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 1))
76fvoveq1d 7442 . . . 4 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)))
873ad2ant1 1131 . . 3 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)))
98preq2d 4745 . 2 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))})
10 zaddcl 12633 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
11103adant1 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
12 eluz2nn 12899 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (ℤ‘2) → 𝐿 ∈ ℕ)
13123ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℕ)
1411, 13zmodcld 13890 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ ℕ0)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ ℕ0)
16 uz2m1nn 12938 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤ‘2) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
17163ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
1817adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
19 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1))
20 elfzo0 13706 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)) ↔ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 1) ∈ ℕ ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)))
2115, 18, 19, 20syl3anbrc 1341 . . . . . . 7 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
22 fveq2 6897 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
23 fvoveq1 7443 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1)))
2422, 23preq12d 4746 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))})
2524eleq1d 2814 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
2625rspcv 3605 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
2721, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
2810zred 12697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
29283adant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
3112nnrpd 13047 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (ℤ‘2) → 𝐿 ∈ ℝ+)
32313ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ+)
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℝ+)
34 modltm1p1mod 13921 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))
3530, 33, 19, 34syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))
3635fveq2d 6901 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1)))
3736preq2d 4745 . . . . . . 7 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))})
3837eleq1d 2814 . . . . . 6 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ({(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
3927, 38sylibrd 259 . . . . 5 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
4039impancom 451 . . . 4 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
41403adant3 1130 . . 3 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
42 zmodfzo 13892 . . . . . . . . 9 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿))
4311, 13, 42syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿))
44 elfzonlteqm1 13741 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1))
4544eqcomd 2734 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿))
4645ex 412 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
4743, 46syl 17 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
48 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝑊‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
50 zre 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
51 zre 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
52 readdcl 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5350, 51, 52syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54533adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5554, 32jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ+))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ+))
57 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿))
5857eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1))
59 modm1p1mod0 13920 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = 0))
6056, 58, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = 0)
6160eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → 0 = (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))
6261fveq2d 6901 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝑊‘0) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)))
6349, 62preq12d 4746 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))})
6463eleq1d 2814 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
6564biimpd 228 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
6665ex 412 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)))
6747, 66syld 47 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)))
6867com23 86 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)))
6968imp 406 . . . 4 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
70693adant2 1129 . . 3 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
7141, 70pm2.61d 179 . 2 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)
729, 71eqeltrd 2829 1 (((𝐿 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058  {cpr 4631   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   < clt 11279  cmin 11475  cn 12243  2c2 12298  0cn0 12503  cz 12589  cuz 12853  +crp 13007  ..^cfzo 13660   mod cmo 13867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868
This theorem is referenced by:  clwwisshclwwslem  29837
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