Proof of Theorem clwwisshclwwslemlem
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | zcn 12620 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈
ℂ) | 
| 2 | 1 | 3ad2ant2 1134 | . . . . . 6
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ) | 
| 3 |  | 1cnd 11257 | . . . . . 6
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈
ℂ) | 
| 4 |  | zcn 12620 | . . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈
ℂ) | 
| 5 | 4 | 3ad2ant3 1135 | . . . . . 6
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 6 | 2, 3, 5 | add32d 11490 | . . . . 5
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 1) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 1)) | 
| 7 | 6 | fvoveq1d 7454 | . . . 4
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))) | 
| 8 | 7 | 3ad2ant1 1133 | . . 3
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))) | 
| 9 | 8 | preq2d 4739 | . 2
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))}) | 
| 10 |  | zaddcl 12659 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ) | 
| 11 | 10 | 3adant1 1130 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ) | 
| 12 |  | eluz2nn 12925 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐿 ∈ ℕ) | 
| 13 | 12 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℕ) | 
| 14 | 11, 13 | zmodcld 13933 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈
ℕ0) | 
| 15 | 14 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈
ℕ0) | 
| 16 |  | uz2m1nn 12966 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ) | 
| 17 | 16 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ) | 
| 18 | 17 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ) | 
| 19 |  | simpr 484 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) | 
| 20 |  | elfzo0 13741 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)) ↔ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 1) ∈ ℕ ∧
((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1))) | 
| 21 | 15, 18, 19, 20 | syl3anbrc 1343 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1))) | 
| 22 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿))) | 
| 23 |  | fvoveq1 7455 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))) | 
| 24 | 22, 23 | preq12d 4740 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))}) | 
| 25 | 24 | eleq1d 2825 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅)) | 
| 26 | 25 | rspcv 3617 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅)) | 
| 27 | 21, 26 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅)) | 
| 28 | 10 | zred 12724 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 29 | 28 | 3adant1 1130 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 30 | 29 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 31 | 12 | nnrpd 13076 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐿 ∈
ℝ+) | 
| 32 | 31 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈
ℝ+) | 
| 33 | 32 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈
ℝ+) | 
| 34 |  | modltm1p1mod 13965 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ+ ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1)) | 
| 35 | 30, 33, 19, 34 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1)) | 
| 36 | 35 | fveq2d 6909 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))) | 
| 37 | 36 | preq2d 4739 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))}) | 
| 38 | 37 | eleq1d 2825 | . . . . . 6
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ({(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅)) | 
| 39 | 27, 38 | sylibrd 259 | . . . . 5
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)) | 
| 40 | 39 | impancom 451 | . . . 4
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)) | 
| 41 | 40 | 3adant3 1132 | . . 3
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)) | 
| 42 |  | zmodfzo 13935 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿)) | 
| 43 | 11, 13, 42 | syl2anc 584 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿)) | 
| 44 |  | elfzonlteqm1 13781 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1)) | 
| 45 | 44 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) | 
| 46 | 45 | ex 412 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿))) | 
| 47 | 43, 46 | syl 17 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿))) | 
| 48 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿))) | 
| 49 | 48 | adantl 481 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝑊‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿))) | 
| 50 |  | zre 12619 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈
ℝ) | 
| 51 |  | zre 12619 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈
ℝ) | 
| 52 |  | readdcl 11239 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 53 | 50, 51, 52 | syl2an 596 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 54 | 53 | 3adant1 1130 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 55 | 54, 32 | jca 511 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈
ℝ+)) | 
| 56 | 55 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈
ℝ+)) | 
| 57 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) | 
| 58 | 57 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1)) | 
| 59 |  | modm1p1mod0 13964 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = 0)) | 
| 60 | 56, 58, 59 | sylc 65 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = 0) | 
| 61 | 60 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → 0 = (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)) | 
| 62 | 61 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝑊‘0) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))) | 
| 63 | 49, 62 | preq12d 4740 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))}) | 
| 64 | 63 | eleq1d 2825 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)) | 
| 65 | 64 | biimpd 229 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)) | 
| 66 | 65 | ex 412 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))) | 
| 67 | 47, 66 | syld 47 | . . . . . 6
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))) | 
| 68 | 67 | com23 86 | . . . . 5
⊢ ((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))) | 
| 69 | 68 | imp 406 | . . . 4
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)) | 
| 70 | 69 | 3adant2 1131 | . . 3
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)) | 
| 71 | 41, 70 | pm2.61d 179 | . 2
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅) | 
| 72 | 9, 71 | eqeltrd 2840 | 1
⊢ (((𝐿 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} ∈ 𝑅) |