clwwisshclwwslemlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwwisshclwwslemlem 30033

Description: Lemma for clwwisshclwwslem 30034. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwisshclwwslemlem	⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖 𝐵,𝑖 𝑖,𝐿 𝑅,𝑖 𝑖,𝑊

**Proof of Theorem clwwisshclwwslemlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12620	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		1cnd 11257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
4		zcn 12620	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	2, 3, 5	add32d 11490	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 1) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + 1))
7	6	fvoveq1d 7454	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)))
8	7	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)))
9	8	preq2d 4739	. 2 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))})
10		zaddcl 12659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
11	10	3adant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
12		eluz2nn 12925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐿 ∈ ℕ)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℕ)
14	11, 13	zmodcld 13933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ ℕ₀)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ ℕ₀)
16		uz2m1nn 12966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
17	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1))
20		elfzo0 13741	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)) ↔ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ ℕ₀ ∧ (𝐿 − 1) ∈ ℕ ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)))
21	15, 18, 19, 20	syl3anbrc 1343	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)))
22		fveq2 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘𝑖) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
23		fvoveq1 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1)))
24	22, 23	preq12d 4740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))})
25	24	eleq1d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
26	25	rspcv 3617	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^(𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
27	21, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
28	10	zred 12724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
29	28	3adant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
31	12	nnrpd 13076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐿 ∈ ℝ⁺)
32	31	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ⁺)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → 𝐿 ∈ ℝ⁺)
34		modltm1p1mod 13965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ⁺ ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))
35	30, 33, 19, 34	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))
36	35	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1)))
37	36	preq2d 4739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))})
38	37	eleq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ({(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) + 1))} ∈ 𝑅))
39	27, 38	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
40	39	impancom 451	. . . 4 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
41	40	3adant3 1132	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
42		zmodfzo 13935	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿))
43	11, 13, 42	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿))
44		elfzonlteqm1 13781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1))
45	44	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1)) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿))
46	45	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) ∈ (0..^𝐿) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
47	43, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
48		fveq2 6905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → (𝑊‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝑊‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)))
50		zre 12619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
51		zre 12619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
52		readdcl 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
53	50, 51, 52	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54	53	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
55	54, 32	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ⁺))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ⁺))
57		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿))
58	57	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1))
59		modm1p1mod0 13964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ⁺) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) = (𝐿 − 1) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = 0))
60	56, 58, 59	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿) = 0)
61	60	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → 0 = (((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))
62	61	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → (𝑊‘0) = (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿)))
63	49, 62	preq12d 4740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} = {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))})
64	63	eleq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 ↔ {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
65	64	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
66	65	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 1) = ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)))
67	47, 66	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)))
68	67	com23 86	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ({(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)))
69	68	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
70	69	3adant2 1131	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → (¬ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿) < (𝐿 − 1) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅))
71	41, 70	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 𝐵) + 1) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)
72	9, 71	eqeltrd 2840	1 ⊢ (((𝐿 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝑅 ∧ {(𝑊‘(𝐿 − 1)), (𝑊‘0)} ∈ 𝑅) → {(𝑊‘((𝐴 + 𝐵) mod 𝐿)), (𝑊‘(((𝐴 + 1) + 𝐵) mod 𝐿))} ∈ 𝑅)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2107 ∀wral 3060 {cpr 4627 class class class wbr 5142 ‘cfv 6560 (class class class)co 7432 ℂcc 11154 ℝcr 11155 0cc0 11156 1c1 11157 + caddc 11159 < clt 11296 − cmin 11493 ℕcn 12267 2c2 12322 ℕ₀cn0 12528 ℤcz 12615 ℤ_≥cuz 12879 ℝ⁺crp 13035 ..^cfzo 13695 mod cmo 13910

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1794 ax-4 1808 ax-5 1909 ax-6 1966 ax-7 2006 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2140 ax-11 2156 ax-12 2176 ax-ext 2707 ax-sep 5295 ax-nul 5305 ax-pow 5364 ax-pr 5431 ax-un 7756 ax-cnex 11212 ax-resscn 11213 ax-1cn 11214 ax-icn 11215 ax-addcl 11216 ax-addrcl 11217 ax-mulcl 11218 ax-mulrcl 11219 ax-mulcom 11220 ax-addass 11221 ax-mulass 11222 ax-distr 11223 ax-i2m1 11224 ax-1ne0 11225 ax-1rid 11226 ax-rnegex 11227 ax-rrecex 11228 ax-cnre 11229 ax-pre-lttri 11230 ax-pre-lttrn 11231 ax-pre-ltadd 11232 ax-pre-mulgt0 11233 ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1779 df-nf 1783 df-sb 2064 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2815 df-nfc 2891 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3379 df-reu 3380 df-rab 3436 df-v 3481 df-sbc 3788 df-csb 3899 df-dif 3953 df-un 3955 df-in 3957 df-ss 3967 df-pss 3970 df-nul 4333 df-if 4525 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4907 df-iun 4992 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5577 df-eprel 5583 df-po 5591 df-so 5592 df-fr 5636 df-we 5638 df-xp 5690 df-rel 5691 df-cnv 5692 df-co 5693 df-dm 5694 df-rn 5695 df-res 5696 df-ima 5697 df-pred 6320 df-ord 6386 df-on 6387 df-lim 6388 df-suc 6389 df-iota 6513 df-fun 6562 df-fn 6563 df-f 6564 df-f1 6565 df-fo 6566 df-f1o 6567 df-fv 6568 df-riota 7389 df-ov 7435 df-oprab 7436 df-mpo 7437 df-om 7889 df-1st 8015 df-2nd 8016 df-frecs 8307 df-wrecs 8338 df-recs 8412 df-rdg 8451 df-er 8746 df-en 8987 df-dom 8988 df-sdom 8989 df-sup 9483 df-inf 9484 df-pnf 11298 df-mnf 11299 df-xr 11300 df-ltxr 11301 df-le 11302 df-sub 11495 df-neg 11496 df-div 11922 df-nn 12268 df-2 12330 df-n0 12529 df-z 12616 df-uz 12880 df-rp 13036 df-fz 13549 df-fzo 13696 df-fl 13833 df-mod 13911

This theorem is referenced by: clwwisshclwwslem 30034

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