MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem5 24951
Description: Lemma for uniioombl 24953. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
uniioombl.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.s (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
uniioombl.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
uniioombl.m2 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝑀) − sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐶)
uniioombl.k 𝐾 = (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀))
uniioombl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
uniioombl.n2 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘(Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*‘(((,)‘(𝐹𝑖)) ∩ ((,)‘(𝐺𝑗)))) − (vol*‘(((,)‘(𝐺𝑗)) ∩ 𝐴)))) < (𝐶 / 𝑀))
uniioombl.l 𝐿 = (((,) ∘ 𝐹) “ (1...𝑁))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem5 (𝜑 → ((vol*‘(𝐸𝐴)) + (vol*‘(𝐸𝐴))) ≤ ((vol*‘𝐸) + (4 · 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑥,𝐹   𝑖,𝐺,𝑗,𝑥   𝑗,𝐾,𝑥   𝐴,𝑗,𝑥   𝐶,𝑖,𝑗,𝑥   𝑖,𝑀,𝑗,𝑥   𝑖,𝑁,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗,𝑥   𝑇,𝑖,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐸(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐾(𝑖)   𝐿(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem uniioombllem5
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4188 . . . 4 (𝐸𝐴) ⊆ 𝐸
2 uniioombl.s . . . . 5 (𝜑𝐸 ran ((,) ∘ 𝐺))
3 uniioombl.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
43uniiccdif 24942 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ran ((,) ∘ 𝐺) ⊆ ran ([,] ∘ 𝐺) ∧ (vol*‘( ran ([,] ∘ 𝐺) ∖ ran ((,) ∘ 𝐺))) = 0))
54simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 ran ((,) ∘ 𝐺) ⊆ ran ([,] ∘ 𝐺))
6 ovolficcss 24833 . . . . . . 7 (𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ran ([,] ∘ 𝐺) ⊆ ℝ)
73, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 ran ([,] ∘ 𝐺) ⊆ ℝ)
85, 7sstrd 3954 . . . . 5 (𝜑 ran ((,) ∘ 𝐺) ⊆ ℝ)
92, 8sstrd 3954 . . . 4 (𝜑𝐸 ⊆ ℝ)
10 uniioombl.e . . . 4 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℝ)
11 ovolsscl 24850 . . . 4 (((𝐸𝐴) ⊆ 𝐸𝐸 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐸) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐸𝐴)) ∈ ℝ)
121, 9, 10, 11mp3an2i 1466 . . 3 (𝜑 → (vol*‘(𝐸𝐴)) ∈ ℝ)
13 difssd 4092 . . . 4 (𝜑 → (𝐸𝐴) ⊆ 𝐸)
14 ovolsscl 24850 . . . 4 (((𝐸𝐴) ⊆ 𝐸𝐸 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐸) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐸𝐴)) ∈ ℝ)
1513, 9, 10, 14syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (vol*‘(𝐸𝐴)) ∈ ℝ)
1612, 15readdcld 11184 . 2 (𝜑 → ((vol*‘(𝐸𝐴)) + (vol*‘(𝐸𝐴))) ∈ ℝ)
17 inss1 4188 . . . . 5 (𝐾𝐴) ⊆ 𝐾
18 uniioombl.k . . . . . . 7 𝐾 = (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀))
19 imassrn 6024 . . . . . . . 8 (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)) ⊆ ran ((,) ∘ 𝐺)
2019unissi 4874 . . . . . . 7 (((,) ∘ 𝐺) “ (1...𝑀)) ⊆ ran ((,) ∘ 𝐺)
2118, 20eqsstri 3978 . . . . . 6 𝐾 ran ((,) ∘ 𝐺)
2221, 8sstrid 3955 . . . . 5 (𝜑𝐾 ⊆ ℝ)
23 uniioombl.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
24 uniioombl.2 . . . . . . . 8 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
25 uniioombl.3 . . . . . . . 8 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
26 uniioombl.a . . . . . . . 8 𝐴 = ran ((,) ∘ 𝐹)
27 uniioombl.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
28 uniioombl.t . . . . . . . 8 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐺))
29 uniioombl.v . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
3023, 24, 25, 26, 10, 27, 3, 2, 28, 29uniioombllem1 24945 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
31 ssid 3966 . . . . . . . 8 ran ((,) ∘ 𝐺) ⊆ ran ((,) ∘ 𝐺)
3228ovollb 24843 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ran ((,) ∘ 𝐺) ⊆ ran ((,) ∘ 𝐺)) → (vol*‘ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≤ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
333, 31, 32sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≤ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
34 ovollecl 24847 . . . . . . 7 (( ran ((,) ∘ 𝐺) ⊆ ℝ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ (vol*‘ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≤ sup(ran 𝑇, ℝ*, < )) → (vol*‘ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ)
358, 30, 33, 34syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (vol*‘ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ)
36 ovolsscl 24850 . . . . . 6 ((𝐾 ran ((,) ∘ 𝐺) ∧ ran ((,) ∘ 𝐺) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐾) ∈ ℝ)
3721, 8, 35, 36mp3an2i 1466 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘𝐾) ∈ ℝ)
38 ovolsscl 24850 . . . . 5 (((𝐾𝐴) ⊆ 𝐾𝐾 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐾𝐴)) ∈ ℝ)
3917, 22, 37, 38mp3an2i 1466 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘(𝐾𝐴)) ∈ ℝ)
40 difssd 4092 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾𝐴) ⊆ 𝐾)
41 ovolsscl 24850 . . . . 5 (((𝐾𝐴) ⊆ 𝐾𝐾 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐾𝐴)) ∈ ℝ)
4240, 22, 37, 41syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘(𝐾𝐴)) ∈ ℝ)
4339, 42readdcld 11184 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘(𝐾𝐴)) + (vol*‘(𝐾𝐴))) ∈ ℝ)
4427rpred 12957 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4544, 44readdcld 11184 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ)
4643, 45readdcld 11184 . 2 (𝜑 → (((vol*‘(𝐾𝐴)) + (vol*‘(𝐾𝐴))) + (𝐶 + 𝐶)) ∈ ℝ)
47 4re 12237 . . . 4 4 ∈ ℝ
48 remulcl 11136 . . . 4 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (4 · 𝐶) ∈ ℝ)
4947, 44, 48sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (4 · 𝐶) ∈ ℝ)
5010, 49readdcld 11184 . 2 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + (4 · 𝐶)) ∈ ℝ)
51 uniioombl.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
52 uniioombl.m2 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑇𝑀) − sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐶)
5323, 24, 25, 26, 10, 27, 3, 2, 28, 29, 51, 52, 18uniioombllem3 24949 . . 3 (𝜑 → ((vol*‘(𝐸𝐴)) + (vol*‘(𝐸𝐴))) < (((vol*‘(𝐾𝐴)) + (vol*‘(𝐾𝐴))) + (𝐶 + 𝐶)))
5416, 46, 53ltled 11303 . 2 (𝜑 → ((vol*‘(𝐸𝐴)) + (vol*‘(𝐸𝐴))) ≤ (((vol*‘(𝐾𝐴)) + (vol*‘(𝐾𝐴))) + (𝐶 + 𝐶)))
5510, 45readdcld 11184 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + (𝐶 + 𝐶)) ∈ ℝ)
5637, 44readdcld 11184 . . . . 5 (𝜑 → ((vol*‘𝐾) + 𝐶) ∈ ℝ)
57 inss1 4188 . . . . . . . . 9 (𝐾𝐿) ⊆ 𝐾
58 ovolsscl 24850 . . . . . . . . 9 (((𝐾𝐿) ⊆ 𝐾𝐾 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐾𝐿)) ∈ ℝ)
5957, 22, 37, 58mp3an2i 1466 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(𝐾𝐿)) ∈ ℝ)
6059, 44readdcld 11184 . . . . . . 7 (𝜑 → ((vol*‘(𝐾𝐿)) + 𝐶) ∈ ℝ)
61 difssd 4092 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐿) ⊆ 𝐾)
62 ovolsscl 24850 . . . . . . . 8 (((𝐾𝐿) ⊆ 𝐾𝐾 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐾𝐿)) ∈ ℝ)
6361, 22, 37, 62syl3anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘(𝐾𝐿)) ∈ ℝ)
64 uniioombl.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65 uniioombl.n2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (1...𝑀)(abs‘(Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*‘(((,)‘(𝐹𝑖)) ∩ ((,)‘(𝐺𝑗)))) − (vol*‘(((,)‘(𝐺𝑗)) ∩ 𝐴)))) < (𝐶 / 𝑀))
66 uniioombl.l . . . . . . . 8 𝐿 = (((,) ∘ 𝐹) “ (1...𝑁))
6723, 24, 25, 26, 10, 27, 3, 2, 28, 29, 51, 52, 18, 64, 65, 66uniioombllem4 24950 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘(𝐾𝐴)) ≤ ((vol*‘(𝐾𝐿)) + 𝐶))
68 imassrn 6024 . . . . . . . . . . 11 (((,) ∘ 𝐹) “ (1...𝑁)) ⊆ ran ((,) ∘ 𝐹)
6968unissi 4874 . . . . . . . . . 10 (((,) ∘ 𝐹) “ (1...𝑁)) ⊆ ran ((,) ∘ 𝐹)
7069, 66, 263sstr4i 3987 . . . . . . . . 9 𝐿𝐴
71 sscon 4098 . . . . . . . . 9 (𝐿𝐴 → (𝐾𝐴) ⊆ (𝐾𝐿))
7270, 71mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐴) ⊆ (𝐾𝐿))
7361, 22sstrd 3954 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐿) ⊆ ℝ)
74 ovolss 24849 . . . . . . . 8 (((𝐾𝐴) ⊆ (𝐾𝐿) ∧ (𝐾𝐿) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝐾𝐴)) ≤ (vol*‘(𝐾𝐿)))
7572, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘(𝐾𝐴)) ≤ (vol*‘(𝐾𝐿)))
7639, 42, 60, 63, 67, 75le2addd 11774 . . . . . 6 (𝜑 → ((vol*‘(𝐾𝐴)) + (vol*‘(𝐾𝐴))) ≤ (((vol*‘(𝐾𝐿)) + 𝐶) + (vol*‘(𝐾𝐿))))
7759recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(𝐾𝐿)) ∈ ℂ)
7844recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
7963recnd 11183 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(𝐾𝐿)) ∈ ℂ)
8077, 78, 79add32d 11382 . . . . . . 7 (𝜑 → (((vol*‘(𝐾𝐿)) + 𝐶) + (vol*‘(𝐾𝐿))) = (((vol*‘(𝐾𝐿)) + (vol*‘(𝐾𝐿))) + 𝐶))
81 ioof 13364 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
82 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
83 rexpssxrxp 11200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
8482, 83sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
85 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
8623, 84, 85sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*))
87 fco 6692 . . . . . . . . . . . . 13 (((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ ∧ 𝐹:ℕ⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
8881, 86, 87sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ)
89 ffun 6671 . . . . . . . . . . . 12 (((,) ∘ 𝐹):ℕ⟶𝒫 ℝ → Fun ((,) ∘ 𝐹))
90 funiunfv 7195 . . . . . . . . . . . 12 (Fun ((,) ∘ 𝐹) → 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)‘𝑛) = (((,) ∘ 𝐹) “ (1...𝑁)))
9188, 89, 903syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)‘𝑛) = (((,) ∘ 𝐹) “ (1...𝑁)))
9291, 66eqtr4di 2794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)‘𝑛) = 𝐿)
93 fzfid 13878 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
94 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ)
95 fvco3 6940 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((,) ∘ 𝐹)‘𝑛) = ((,)‘(𝐹𝑛)))
9623, 94, 95syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((,) ∘ 𝐹)‘𝑛) = ((,)‘(𝐹𝑛)))
97 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
9823, 94, 97syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑛) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
9998elin2d 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑛) ∈ (ℝ × ℝ))
100 1st2nd2 7960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑛) ∈ (ℝ × ℝ) → (𝐹𝑛) = ⟨(1st ‘(𝐹𝑛)), (2nd ‘(𝐹𝑛))⟩)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑛) = ⟨(1st ‘(𝐹𝑛)), (2nd ‘(𝐹𝑛))⟩)
102101fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((,)‘(𝐹𝑛)) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐹𝑛)), (2nd ‘(𝐹𝑛))⟩))
103 df-ov 7360 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1st ‘(𝐹𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹𝑛))) = ((,)‘⟨(1st ‘(𝐹𝑛)), (2nd ‘(𝐹𝑛))⟩)
104102, 103eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((,)‘(𝐹𝑛)) = ((1st ‘(𝐹𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹𝑛))))
10596, 104eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((,) ∘ 𝐹)‘𝑛) = ((1st ‘(𝐹𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹𝑛))))
106 ioombl 24929 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st ‘(𝐹𝑛))(,)(2nd ‘(𝐹𝑛))) ∈ dom vol
107105, 106eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((,) ∘ 𝐹)‘𝑛) ∈ dom vol)
108107ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)‘𝑛) ∈ dom vol)
109 finiunmbl 24908 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)‘𝑛) ∈ dom vol) → 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)‘𝑛) ∈ dom vol)
11093, 108, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)‘𝑛) ∈ dom vol)
11192, 110eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ dom vol)
112 mblsplit 24896 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ dom vol ∧ 𝐾 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐾) ∈ ℝ) → (vol*‘𝐾) = ((vol*‘(𝐾𝐿)) + (vol*‘(𝐾𝐿))))
113111, 22, 37, 112syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘𝐾) = ((vol*‘(𝐾𝐿)) + (vol*‘(𝐾𝐿))))
114113oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝜑 → ((vol*‘𝐾) + 𝐶) = (((vol*‘(𝐾𝐿)) + (vol*‘(𝐾𝐿))) + 𝐶))
11580, 114eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (((vol*‘(𝐾𝐿)) + 𝐶) + (vol*‘(𝐾𝐿))) = ((vol*‘𝐾) + 𝐶))
11676, 115breqtrd 5131 . . . . 5 (𝜑 → ((vol*‘(𝐾𝐴)) + (vol*‘(𝐾𝐴))) ≤ ((vol*‘𝐾) + 𝐶))
11710, 44readdcld 11184 . . . . . . 7 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + 𝐶) ∈ ℝ)
11828ovollb 24843 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐾 ran ((,) ∘ 𝐺)) → (vol*‘𝐾) ≤ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
1193, 21, 118sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘𝐾) ≤ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
12037, 30, 117, 119, 29letrd 11312 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘𝐾) ≤ ((vol*‘𝐸) + 𝐶))
12137, 117, 44, 120leadd1dd 11769 . . . . . 6 (𝜑 → ((vol*‘𝐾) + 𝐶) ≤ (((vol*‘𝐸) + 𝐶) + 𝐶))
12210recnd 11183 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol*‘𝐸) ∈ ℂ)
123122, 78, 78addassd 11177 . . . . . 6 (𝜑 → (((vol*‘𝐸) + 𝐶) + 𝐶) = ((vol*‘𝐸) + (𝐶 + 𝐶)))
124121, 123breqtrd 5131 . . . . 5 (𝜑 → ((vol*‘𝐾) + 𝐶) ≤ ((vol*‘𝐸) + (𝐶 + 𝐶)))
12543, 56, 55, 116, 124letrd 11312 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘(𝐾𝐴)) + (vol*‘(𝐾𝐴))) ≤ ((vol*‘𝐸) + (𝐶 + 𝐶)))
12643, 55, 45, 125leadd1dd 11769 . . 3 (𝜑 → (((vol*‘(𝐾𝐴)) + (vol*‘(𝐾𝐴))) + (𝐶 + 𝐶)) ≤ (((vol*‘𝐸) + (𝐶 + 𝐶)) + (𝐶 + 𝐶)))
12745recnd 11183 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℂ)
128122, 127, 127addassd 11177 . . . 4 (𝜑 → (((vol*‘𝐸) + (𝐶 + 𝐶)) + (𝐶 + 𝐶)) = ((vol*‘𝐸) + ((𝐶 + 𝐶) + (𝐶 + 𝐶))))
129 2t2e4 12317 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
130129oveq1i 7367 . . . . . 6 ((2 · 2) · 𝐶) = (4 · 𝐶)
131 2cnd 12231 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
132131, 131, 78mulassd 11178 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 2) · 𝐶) = (2 · (2 · 𝐶)))
133782timesd 12396 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐶) = (𝐶 + 𝐶))
134133oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (2 · 𝐶)) = (2 · (𝐶 + 𝐶)))
1351272timesd 12396 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐶 + 𝐶)) = ((𝐶 + 𝐶) + (𝐶 + 𝐶)))
136132, 134, 1353eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 2) · 𝐶) = ((𝐶 + 𝐶) + (𝐶 + 𝐶)))
137130, 136eqtr3id 2790 . . . . 5 (𝜑 → (4 · 𝐶) = ((𝐶 + 𝐶) + (𝐶 + 𝐶)))
138137oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘𝐸) + (4 · 𝐶)) = ((vol*‘𝐸) + ((𝐶 + 𝐶) + (𝐶 + 𝐶))))
139128, 138eqtr4d 2779 . . 3 (𝜑 → (((vol*‘𝐸) + (𝐶 + 𝐶)) + (𝐶 + 𝐶)) = ((vol*‘𝐸) + (4 · 𝐶)))
140126, 139breqtrd 5131 . 2 (𝜑 → (((vol*‘(𝐾𝐴)) + (vol*‘(𝐾𝐴))) + (𝐶 + 𝐶)) ≤ ((vol*‘𝐸) + (4 · 𝐶)))
14116, 46, 50, 54, 140letrd 11312 1 (𝜑 → ((vol*‘(𝐸𝐴)) + (vol*‘(𝐸𝐴))) ≤ ((vol*‘𝐸) + (4 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  𝒫 cpw 4560  cop 4592   cuni 4865   ciun 4954  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5105   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  cima 5636  ccom 5637  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  1st c1st 7919  2nd c2nd 7920  Fincfn 8883  supcsup 9376  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  4c4 12210  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  seqcseq 13906  abscabs 15119  Σcsu 15570  vol*covol 24826  volcvol 24827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  24952
  Copyright terms: Public domain W3C validator