MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem5 25103
Description: Lemma for uniioombl 25105. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
uniioombl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.s (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
uniioombl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
uniioombl.m2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐢)
uniioombl.k 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
uniioombl.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
uniioombl.n2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(absβ€˜(Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) βˆ’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)))) < (𝐢 / 𝑀))
uniioombl.l 𝐿 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem5 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,π‘₯,𝐹   𝑖,𝐺,𝑗,π‘₯   𝑗,𝐾,π‘₯   𝐴,𝑗,π‘₯   𝐢,𝑖,𝑗,π‘₯   𝑖,𝑀,𝑗,π‘₯   𝑖,𝑁,𝑗   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘₯   𝑇,𝑖,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑆(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝐸(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝐾(𝑖)   𝐿(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem uniioombllem5
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4228 . . . 4 (𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐸
2 uniioombl.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
3 uniioombl.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
43uniiccdif 25094 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) ∧ (vol*β€˜(βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))) = 0))
54simpld 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺))
6 ovolficcss 24985 . . . . . . 7 (𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
73, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
85, 7sstrd 3992 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
92, 8sstrd 3992 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† ℝ)
10 uniioombl.e . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
11 ovolsscl 25002 . . . 4 (((𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐸 ∧ 𝐸 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
121, 9, 10, 11mp3an2i 1466 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
13 difssd 4132 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐸)
14 ovolsscl 25002 . . . 4 (((𝐸 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐸 ∧ 𝐸 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
1513, 9, 10, 14syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
1612, 15readdcld 11242 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) ∈ ℝ)
17 inss1 4228 . . . . 5 (𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐾
18 uniioombl.k . . . . . . 7 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
19 imassrn 6070 . . . . . . . 8 (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βŠ† ran ((,) ∘ 𝐺)
2019unissi 4917 . . . . . . 7 βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)
2118, 20eqsstri 4016 . . . . . 6 𝐾 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)
2221, 8sstrid 3993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† ℝ)
23 uniioombl.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
24 uniioombl.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
25 uniioombl.3 . . . . . . . 8 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
26 uniioombl.a . . . . . . . 8 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
27 uniioombl.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
28 uniioombl.t . . . . . . . 8 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
29 uniioombl.v . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
3023, 24, 25, 26, 10, 27, 3, 2, 28, 29uniioombllem1 25097 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
31 ssid 4004 . . . . . . . 8 βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)
3228ovollb 24995 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
333, 31, 32sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
34 ovollecl 24999 . . . . . . 7 ((βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < )) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ)
358, 30, 33, 34syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ)
36 ovolsscl 25002 . . . . . 6 ((𝐾 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
3721, 8, 35, 36mp3an2i 1466 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
38 ovolsscl 25002 . . . . 5 (((𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
3917, 22, 37, 38mp3an2i 1466 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
40 difssd 4132 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐾)
41 ovolsscl 25002 . . . . 5 (((𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
4240, 22, 37, 41syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
4339, 42readdcld 11242 . . 3 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) ∈ ℝ)
4427rpred 13015 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
4544, 44readdcld 11242 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝐢) ∈ ℝ)
4643, 45readdcld 11242 . 2 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)) ∈ ℝ)
47 4re 12295 . . . 4 4 ∈ ℝ
48 remulcl 11194 . . . 4 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ (4 Β· 𝐢) ∈ ℝ)
4947, 44, 48sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (4 Β· 𝐢) ∈ ℝ)
5010, 49readdcld 11242 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)) ∈ ℝ)
51 uniioombl.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
52 uniioombl.m2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐢)
5323, 24, 25, 26, 10, 27, 3, 2, 28, 29, 51, 52, 18uniioombllem3 25101 . . 3 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) < (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)))
5416, 46, 53ltled 11361 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) ≀ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)))
5510, 45readdcld 11242 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)) ∈ ℝ)
5637, 44readdcld 11242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢) ∈ ℝ)
57 inss1 4228 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∩ 𝐿) βŠ† 𝐾
58 ovolsscl 25002 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∩ 𝐿) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) ∈ ℝ)
5957, 22, 37, 58mp3an2i 1466 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) ∈ ℝ)
6059, 44readdcld 11242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢) ∈ ℝ)
61 difssd 4132 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐿) βŠ† 𝐾)
62 ovolsscl 25002 . . . . . . . 8 (((𝐾 βˆ– 𝐿) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)) ∈ ℝ)
6361, 22, 37, 62syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)) ∈ ℝ)
64 uniioombl.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
65 uniioombl.n2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(absβ€˜(Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) βˆ’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)))) < (𝐢 / 𝑀))
66 uniioombl.l . . . . . . . 8 𝐿 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁))
6723, 24, 25, 26, 10, 27, 3, 2, 28, 29, 51, 52, 18, 64, 65, 66uniioombllem4 25102 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢))
68 imassrn 6070 . . . . . . . . . . 11 (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)) βŠ† ran ((,) ∘ 𝐹)
6968unissi 4917 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
7069, 66, 263sstr4i 4025 . . . . . . . . 9 𝐿 βŠ† 𝐴
71 sscon 4138 . . . . . . . . 9 (𝐿 βŠ† 𝐴 β†’ (𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† (𝐾 βˆ– 𝐿))
7270, 71mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† (𝐾 βˆ– 𝐿))
7361, 22sstrd 3992 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐿) βŠ† ℝ)
74 ovolss 25001 . . . . . . . 8 (((𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† (𝐾 βˆ– 𝐿) ∧ (𝐾 βˆ– 𝐿) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ≀ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)))
7572, 73, 74syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ≀ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)))
7639, 42, 60, 63, 67, 75le2addd 11832 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) ≀ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))))
7759recnd 11241 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) ∈ β„‚)
7844recnd 11241 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7963recnd 11241 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)) ∈ β„‚)
8077, 78, 79add32d 11440 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))) = (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))) + 𝐢))
81 ioof 13423 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
82 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
83 rexpssxrxp 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
8482, 83sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
85 fss 6734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
8623, 84, 85sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
87 fco 6741 . . . . . . . . . . . . 13 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
8881, 86, 87sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
89 ffun 6720 . . . . . . . . . . . 12 (((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun ((,) ∘ 𝐹))
90 funiunfv 7246 . . . . . . . . . . . 12 (Fun ((,) ∘ 𝐹) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)))
9188, 89, 903syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)))
9291, 66eqtr4di 2790 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = 𝐿)
93 fzfid 13937 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
94 elfznn 13529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
95 fvco3 6990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
9623, 94, 95syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
97 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
9823, 94, 97syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
9998elin2d 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
100 1st2nd2 8013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩)
102101fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩))
103 df-ov 7411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩)
104102, 103eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
10596, 104eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
106 ioombl 25081 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))) ∈ dom vol
107105, 106eqeltrdi 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol)
108107ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol)
109 finiunmbl 25060 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol)
11093, 108, 109syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol)
11192, 110eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ dom vol)
112 mblsplit 25048 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ dom vol ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜πΎ) = ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))))
113111, 22, 37, 112syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) = ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))))
114113oveq1d 7423 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢) = (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))) + 𝐢))
11580, 114eqtr4d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))) = ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢))
11676, 115breqtrd 5174 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) ≀ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢))
11710, 44readdcld 11242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢) ∈ ℝ)
11828ovollb 24995 . . . . . . . . 9 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐾 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) β†’ (vol*β€˜πΎ) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
1193, 21, 118sylancl 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
12037, 30, 117, 119, 29letrd 11370 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
12137, 117, 44, 120leadd1dd 11827 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢) ≀ (((vol*β€˜πΈ) + 𝐢) + 𝐢))
12210recnd 11241 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ β„‚)
123122, 78, 78addassd 11235 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜πΈ) + 𝐢) + 𝐢) = ((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)))
124121, 123breqtrd 5174 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)))
12543, 56, 55, 116, 124letrd 11370 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)))
12643, 55, 45, 125leadd1dd 11827 . . 3 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)) ≀ (((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)) + (𝐢 + 𝐢)))
12745recnd 11241 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝐢) ∈ β„‚)
128122, 127, 127addassd 11235 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)) + (𝐢 + 𝐢)) = ((vol*β€˜πΈ) + ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢))))
129 2t2e4 12375 . . . . . . 7 (2 Β· 2) = 4
130129oveq1i 7418 . . . . . 6 ((2 Β· 2) Β· 𝐢) = (4 Β· 𝐢)
131 2cnd 12289 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
132131, 131, 78mulassd 11236 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 2) Β· 𝐢) = (2 Β· (2 Β· 𝐢)))
133782timesd 12454 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) = (𝐢 + 𝐢))
134133oveq2d 7424 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 Β· 𝐢)) = (2 Β· (𝐢 + 𝐢)))
1351272timesd 12454 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐢 + 𝐢)) = ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢)))
136132, 134, 1353eqtrd 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 2) Β· 𝐢) = ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢)))
137130, 136eqtr3id 2786 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· 𝐢) = ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢)))
138137oveq2d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)) = ((vol*β€˜πΈ) + ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢))))
139128, 138eqtr4d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)) + (𝐢 + 𝐢)) = ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)))
140126, 139breqtrd 5174 . 2 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)))
14116, 46, 50, 54, 140letrd 11370 1 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  1st c1st 7972  2nd c2nd 7973  Fincfn 8938  supcsup 9434  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  β„•cn 12211  2c2 12266  4c4 12268  β„+crp 12973  (,)cioo 13323  [,]cicc 13326  ...cfz 13483  seqcseq 13965  abscabs 15180  Ξ£csu 15631  vol*covol 24978  volcvol 24979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-ovol 24980  df-vol 24981
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  25104
  Copyright terms: Public domain W3C validator