MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem5 25104
Description: Lemma for uniioombl 25106. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
uniioombl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.s (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
uniioombl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
uniioombl.m2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐢)
uniioombl.k 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
uniioombl.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
uniioombl.n2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(absβ€˜(Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) βˆ’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)))) < (𝐢 / 𝑀))
uniioombl.l 𝐿 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem5 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,π‘₯,𝐹   𝑖,𝐺,𝑗,π‘₯   𝑗,𝐾,π‘₯   𝐴,𝑗,π‘₯   𝐢,𝑖,𝑗,π‘₯   𝑖,𝑀,𝑗,π‘₯   𝑖,𝑁,𝑗   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘₯   𝑇,𝑖,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑆(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝐸(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝐾(𝑖)   𝐿(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem uniioombllem5
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4229 . . . 4 (𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐸
2 uniioombl.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
3 uniioombl.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
43uniiccdif 25095 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) ∧ (vol*β€˜(βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))) = 0))
54simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺))
6 ovolficcss 24986 . . . . . . 7 (𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
73, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
85, 7sstrd 3993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
92, 8sstrd 3993 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† ℝ)
10 uniioombl.e . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
11 ovolsscl 25003 . . . 4 (((𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐸 ∧ 𝐸 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
121, 9, 10, 11mp3an2i 1467 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
13 difssd 4133 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐸)
14 ovolsscl 25003 . . . 4 (((𝐸 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐸 ∧ 𝐸 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
1513, 9, 10, 14syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
1612, 15readdcld 11243 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) ∈ ℝ)
17 inss1 4229 . . . . 5 (𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐾
18 uniioombl.k . . . . . . 7 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
19 imassrn 6071 . . . . . . . 8 (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βŠ† ran ((,) ∘ 𝐺)
2019unissi 4918 . . . . . . 7 βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)
2118, 20eqsstri 4017 . . . . . 6 𝐾 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)
2221, 8sstrid 3994 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† ℝ)
23 uniioombl.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
24 uniioombl.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
25 uniioombl.3 . . . . . . . 8 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
26 uniioombl.a . . . . . . . 8 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
27 uniioombl.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
28 uniioombl.t . . . . . . . 8 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
29 uniioombl.v . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
3023, 24, 25, 26, 10, 27, 3, 2, 28, 29uniioombllem1 25098 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
31 ssid 4005 . . . . . . . 8 βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)
3228ovollb 24996 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
333, 31, 32sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
34 ovollecl 25000 . . . . . . 7 ((βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < )) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ)
358, 30, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ)
36 ovolsscl 25003 . . . . . 6 ((𝐾 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
3721, 8, 35, 36mp3an2i 1467 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
38 ovolsscl 25003 . . . . 5 (((𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
3917, 22, 37, 38mp3an2i 1467 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
40 difssd 4133 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐾)
41 ovolsscl 25003 . . . . 5 (((𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
4240, 22, 37, 41syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
4339, 42readdcld 11243 . . 3 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) ∈ ℝ)
4427rpred 13016 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
4544, 44readdcld 11243 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝐢) ∈ ℝ)
4643, 45readdcld 11243 . 2 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)) ∈ ℝ)
47 4re 12296 . . . 4 4 ∈ ℝ
48 remulcl 11195 . . . 4 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ (4 Β· 𝐢) ∈ ℝ)
4947, 44, 48sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (4 Β· 𝐢) ∈ ℝ)
5010, 49readdcld 11243 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)) ∈ ℝ)
51 uniioombl.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
52 uniioombl.m2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐢)
5323, 24, 25, 26, 10, 27, 3, 2, 28, 29, 51, 52, 18uniioombllem3 25102 . . 3 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) < (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)))
5416, 46, 53ltled 11362 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) ≀ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)))
5510, 45readdcld 11243 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)) ∈ ℝ)
5637, 44readdcld 11243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢) ∈ ℝ)
57 inss1 4229 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∩ 𝐿) βŠ† 𝐾
58 ovolsscl 25003 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∩ 𝐿) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) ∈ ℝ)
5957, 22, 37, 58mp3an2i 1467 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) ∈ ℝ)
6059, 44readdcld 11243 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢) ∈ ℝ)
61 difssd 4133 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐿) βŠ† 𝐾)
62 ovolsscl 25003 . . . . . . . 8 (((𝐾 βˆ– 𝐿) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)) ∈ ℝ)
6361, 22, 37, 62syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)) ∈ ℝ)
64 uniioombl.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
65 uniioombl.n2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(absβ€˜(Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) βˆ’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)))) < (𝐢 / 𝑀))
66 uniioombl.l . . . . . . . 8 𝐿 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁))
6723, 24, 25, 26, 10, 27, 3, 2, 28, 29, 51, 52, 18, 64, 65, 66uniioombllem4 25103 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢))
68 imassrn 6071 . . . . . . . . . . 11 (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)) βŠ† ran ((,) ∘ 𝐹)
6968unissi 4918 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
7069, 66, 263sstr4i 4026 . . . . . . . . 9 𝐿 βŠ† 𝐴
71 sscon 4139 . . . . . . . . 9 (𝐿 βŠ† 𝐴 β†’ (𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† (𝐾 βˆ– 𝐿))
7270, 71mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† (𝐾 βˆ– 𝐿))
7361, 22sstrd 3993 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐿) βŠ† ℝ)
74 ovolss 25002 . . . . . . . 8 (((𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† (𝐾 βˆ– 𝐿) ∧ (𝐾 βˆ– 𝐿) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ≀ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)))
7572, 73, 74syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ≀ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)))
7639, 42, 60, 63, 67, 75le2addd 11833 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) ≀ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))))
7759recnd 11242 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) ∈ β„‚)
7844recnd 11242 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7963recnd 11242 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)) ∈ β„‚)
8077, 78, 79add32d 11441 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))) = (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))) + 𝐢))
81 ioof 13424 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
82 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
83 rexpssxrxp 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
8482, 83sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
85 fss 6735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
8623, 84, 85sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
87 fco 6742 . . . . . . . . . . . . 13 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
8881, 86, 87sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
89 ffun 6721 . . . . . . . . . . . 12 (((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun ((,) ∘ 𝐹))
90 funiunfv 7247 . . . . . . . . . . . 12 (Fun ((,) ∘ 𝐹) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)))
9188, 89, 903syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)))
9291, 66eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = 𝐿)
93 fzfid 13938 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
94 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
95 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
9623, 94, 95syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
97 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
9823, 94, 97syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
9998elin2d 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
100 1st2nd2 8014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩)
102101fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩))
103 df-ov 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩)
104102, 103eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
10596, 104eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
106 ioombl 25082 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))) ∈ dom vol
107105, 106eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol)
108107ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol)
109 finiunmbl 25061 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol)
11093, 108, 109syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol)
11192, 110eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ dom vol)
112 mblsplit 25049 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ dom vol ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜πΎ) = ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))))
113111, 22, 37, 112syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) = ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))))
114113oveq1d 7424 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢) = (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))) + 𝐢))
11580, 114eqtr4d 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))) = ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢))
11676, 115breqtrd 5175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) ≀ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢))
11710, 44readdcld 11243 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢) ∈ ℝ)
11828ovollb 24996 . . . . . . . . 9 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐾 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) β†’ (vol*β€˜πΎ) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
1193, 21, 118sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
12037, 30, 117, 119, 29letrd 11371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
12137, 117, 44, 120leadd1dd 11828 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢) ≀ (((vol*β€˜πΈ) + 𝐢) + 𝐢))
12210recnd 11242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ β„‚)
123122, 78, 78addassd 11236 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜πΈ) + 𝐢) + 𝐢) = ((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)))
124121, 123breqtrd 5175 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)))
12543, 56, 55, 116, 124letrd 11371 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)))
12643, 55, 45, 125leadd1dd 11828 . . 3 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)) ≀ (((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)) + (𝐢 + 𝐢)))
12745recnd 11242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝐢) ∈ β„‚)
128122, 127, 127addassd 11236 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)) + (𝐢 + 𝐢)) = ((vol*β€˜πΈ) + ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢))))
129 2t2e4 12376 . . . . . . 7 (2 Β· 2) = 4
130129oveq1i 7419 . . . . . 6 ((2 Β· 2) Β· 𝐢) = (4 Β· 𝐢)
131 2cnd 12290 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
132131, 131, 78mulassd 11237 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 2) Β· 𝐢) = (2 Β· (2 Β· 𝐢)))
133782timesd 12455 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) = (𝐢 + 𝐢))
134133oveq2d 7425 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 Β· 𝐢)) = (2 Β· (𝐢 + 𝐢)))
1351272timesd 12455 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐢 + 𝐢)) = ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢)))
136132, 134, 1353eqtrd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 2) Β· 𝐢) = ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢)))
137130, 136eqtr3id 2787 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· 𝐢) = ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢)))
138137oveq2d 7425 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)) = ((vol*β€˜πΈ) + ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢))))
139128, 138eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)) + (𝐢 + 𝐢)) = ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)))
140126, 139breqtrd 5175 . 2 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)))
14116, 46, 50, 54, 140letrd 11371 1 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  Fincfn 8939  supcsup 9435  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  4c4 12269  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  seqcseq 13966  abscabs 15181  Ξ£csu 15632  vol*covol 24979  volcvol 24980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  25105
  Copyright terms: Public domain W3C validator