MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniioombllem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniioombllem5 24974
Description: Lemma for uniioombl 24976. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.2 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
uniioombl.a 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
uniioombl.e (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
uniioombl.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
uniioombl.g (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
uniioombl.s (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
uniioombl.t 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
uniioombl.v (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
uniioombl.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
uniioombl.m2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐢)
uniioombl.k 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
uniioombl.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
uniioombl.n2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(absβ€˜(Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) βˆ’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)))) < (𝐢 / 𝑀))
uniioombl.l 𝐿 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁))
Assertion
Ref Expression
uniioombllem5 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,π‘₯,𝐹   𝑖,𝐺,𝑗,π‘₯   𝑗,𝐾,π‘₯   𝐴,𝑗,π‘₯   𝐢,𝑖,𝑗,π‘₯   𝑖,𝑀,𝑗,π‘₯   𝑖,𝑁,𝑗   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘₯   𝑇,𝑖,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑆(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝐸(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝐾(𝑖)   𝐿(π‘₯,𝑖,𝑗)   𝑁(π‘₯)

Proof of Theorem uniioombllem5
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4192 . . . 4 (𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐸
2 uniioombl.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))
3 uniioombl.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
43uniiccdif 24965 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) ∧ (vol*β€˜(βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βˆ– βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺))) = 0))
54simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺))
6 ovolficcss 24856 . . . . . . 7 (𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
73, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ([,] ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
85, 7sstrd 3958 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ)
92, 8sstrd 3958 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 βŠ† ℝ)
10 uniioombl.e . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ)
11 ovolsscl 24873 . . . 4 (((𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐸 ∧ 𝐸 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
121, 9, 10, 11mp3an2i 1467 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
13 difssd 4096 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐸)
14 ovolsscl 24873 . . . 4 (((𝐸 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐸 ∧ 𝐸 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΈ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
1513, 9, 10, 14syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
1612, 15readdcld 11192 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) ∈ ℝ)
17 inss1 4192 . . . . 5 (𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐾
18 uniioombl.k . . . . . . 7 𝐾 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀))
19 imassrn 6028 . . . . . . . 8 (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βŠ† ran ((,) ∘ 𝐺)
2019unissi 4878 . . . . . . 7 βˆͺ (((,) ∘ 𝐺) β€œ (1...𝑀)) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)
2118, 20eqsstri 3982 . . . . . 6 𝐾 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)
2221, 8sstrid 3959 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† ℝ)
23 uniioombl.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
24 uniioombl.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Disj π‘₯ ∈ β„• ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
25 uniioombl.3 . . . . . . . 8 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
26 uniioombl.a . . . . . . . 8 𝐴 = βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
27 uniioombl.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
28 uniioombl.t . . . . . . . 8 𝑇 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐺))
29 uniioombl.v . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
3023, 24, 25, 26, 10, 27, 3, 2, 28, 29uniioombllem1 24968 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
31 ssid 3970 . . . . . . . 8 βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)
3228ovollb 24866 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
333, 31, 32sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
34 ovollecl 24870 . . . . . . 7 ((βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ ∧ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < )) β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ)
358, 30, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ)
36 ovolsscl 24873 . . . . . 6 ((𝐾 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) ∧ βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
3721, 8, 35, 36mp3an2i 1467 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ)
38 ovolsscl 24873 . . . . 5 (((𝐾 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
3917, 22, 37, 38mp3an2i 1467 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ)
40 difssd 4096 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐾)
41 ovolsscl 24873 . . . . 5 (((𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
4240, 22, 37, 41syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ∈ ℝ)
4339, 42readdcld 11192 . . 3 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) ∈ ℝ)
4427rpred 12965 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
4544, 44readdcld 11192 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝐢) ∈ ℝ)
4643, 45readdcld 11192 . 2 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)) ∈ ℝ)
47 4re 12245 . . . 4 4 ∈ ℝ
48 remulcl 11144 . . . 4 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ (4 Β· 𝐢) ∈ ℝ)
4947, 44, 48sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (4 Β· 𝐢) ∈ ℝ)
5010, 49readdcld 11192 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)) ∈ ℝ)
51 uniioombl.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
52 uniioombl.m2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((π‘‡β€˜π‘€) βˆ’ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))) < 𝐢)
5323, 24, 25, 26, 10, 27, 3, 2, 28, 29, 51, 52, 18uniioombllem3 24972 . . 3 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) < (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)))
5416, 46, 53ltled 11311 . 2 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) ≀ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)))
5510, 45readdcld 11192 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)) ∈ ℝ)
5637, 44readdcld 11192 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢) ∈ ℝ)
57 inss1 4192 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∩ 𝐿) βŠ† 𝐾
58 ovolsscl 24873 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∩ 𝐿) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) ∈ ℝ)
5957, 22, 37, 58mp3an2i 1467 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) ∈ ℝ)
6059, 44readdcld 11192 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢) ∈ ℝ)
61 difssd 4096 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐿) βŠ† 𝐾)
62 ovolsscl 24873 . . . . . . . 8 (((𝐾 βˆ– 𝐿) βŠ† 𝐾 ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)) ∈ ℝ)
6361, 22, 37, 62syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)) ∈ ℝ)
64 uniioombl.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
65 uniioombl.n2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ (1...𝑀)(absβ€˜(Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(vol*β€˜(((,)β€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∩ ((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)))) βˆ’ (vol*β€˜(((,)β€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∩ 𝐴)))) < (𝐢 / 𝑀))
66 uniioombl.l . . . . . . . 8 𝐿 = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁))
6723, 24, 25, 26, 10, 27, 3, 2, 28, 29, 51, 52, 18, 64, 65, 66uniioombllem4 24973 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) ≀ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢))
68 imassrn 6028 . . . . . . . . . . 11 (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)) βŠ† ran ((,) ∘ 𝐹)
6968unissi 4878 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)) βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐹)
7069, 66, 263sstr4i 3991 . . . . . . . . 9 𝐿 βŠ† 𝐴
71 sscon 4102 . . . . . . . . 9 (𝐿 βŠ† 𝐴 β†’ (𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† (𝐾 βˆ– 𝐿))
7270, 71mp1i 13 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† (𝐾 βˆ– 𝐿))
7361, 22sstrd 3958 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 βˆ– 𝐿) βŠ† ℝ)
74 ovolss 24872 . . . . . . . 8 (((𝐾 βˆ– 𝐴) βŠ† (𝐾 βˆ– 𝐿) ∧ (𝐾 βˆ– 𝐿) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ≀ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)))
7572, 73, 74syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴)) ≀ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)))
7639, 42, 60, 63, 67, 75le2addd 11782 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) ≀ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))))
7759recnd 11191 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) ∈ β„‚)
7844recnd 11191 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7963recnd 11191 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿)) ∈ β„‚)
8077, 78, 79add32d 11390 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))) = (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))) + 𝐢))
81 ioof 13373 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
82 inss2 4193 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
83 rexpssxrxp 11208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
8482, 83sstri 3957 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
85 fss 6689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
8623, 84, 85sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*))
87 fco 6696 . . . . . . . . . . . . 13 (((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ ∧ 𝐹:β„•βŸΆ(ℝ* Γ— ℝ*)) β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
8881, 86, 87sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ)
89 ffun 6675 . . . . . . . . . . . 12 (((,) ∘ 𝐹):β„•βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun ((,) ∘ 𝐹))
90 funiunfv 7199 . . . . . . . . . . . 12 (Fun ((,) ∘ 𝐹) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)))
9188, 89, 903syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = βˆͺ (((,) ∘ 𝐹) β€œ (1...𝑁)))
9291, 66eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = 𝐿)
93 fzfid 13887 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) ∈ Fin)
94 elfznn 13479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
95 fvco3 6944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
9623, 94, 95syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
97 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
9823, 94, 97syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
9998elin2d 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
100 1st2nd2 7964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩)
102101fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩))
103 df-ov 7364 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘›)), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))⟩)
104102, 103eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
10596, 104eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) = ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
106 ioombl 24952 . . . . . . . . . . . . 13 ((1st β€˜(πΉβ€˜π‘›))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜π‘›))) ∈ dom vol
107105, 106eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol)
108107ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol)
109 finiunmbl 24931 . . . . . . . . . . 11 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol)
11093, 108, 109syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...𝑁)(((,) ∘ 𝐹)β€˜π‘›) ∈ dom vol)
11192, 110eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ dom vol)
112 mblsplit 24919 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ dom vol ∧ 𝐾 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜πΎ) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜πΎ) = ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))))
113111, 22, 37, 112syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) = ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))))
114113oveq1d 7376 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢) = (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))) + 𝐢))
11580, 114eqtr4d 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐿)) + 𝐢) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐿))) = ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢))
11676, 115breqtrd 5135 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) ≀ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢))
11710, 44readdcld 11192 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢) ∈ ℝ)
11828ovollb 24866 . . . . . . . . 9 ((𝐺:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ 𝐾 βŠ† βˆͺ ran ((,) ∘ 𝐺)) β†’ (vol*β€˜πΎ) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
1193, 21, 118sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ≀ sup(ran 𝑇, ℝ*, < ))
12037, 30, 117, 119, 29letrd 11320 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΎ) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + 𝐢))
12137, 117, 44, 120leadd1dd 11777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢) ≀ (((vol*β€˜πΈ) + 𝐢) + 𝐢))
12210recnd 11191 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜πΈ) ∈ β„‚)
123122, 78, 78addassd 11185 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜πΈ) + 𝐢) + 𝐢) = ((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)))
124121, 123breqtrd 5135 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΎ) + 𝐢) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)))
12543, 56, 55, 116, 124letrd 11320 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)))
12643, 55, 45, 125leadd1dd 11777 . . 3 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)) ≀ (((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)) + (𝐢 + 𝐢)))
12745recnd 11191 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝐢) ∈ β„‚)
128122, 127, 127addassd 11185 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)) + (𝐢 + 𝐢)) = ((vol*β€˜πΈ) + ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢))))
129 2t2e4 12325 . . . . . . 7 (2 Β· 2) = 4
130129oveq1i 7371 . . . . . 6 ((2 Β· 2) Β· 𝐢) = (4 Β· 𝐢)
131 2cnd 12239 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
132131, 131, 78mulassd 11186 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 2) Β· 𝐢) = (2 Β· (2 Β· 𝐢)))
133782timesd 12404 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐢) = (𝐢 + 𝐢))
134133oveq2d 7377 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (2 Β· 𝐢)) = (2 Β· (𝐢 + 𝐢)))
1351272timesd 12404 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2 Β· (𝐢 + 𝐢)) = ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢)))
136132, 134, 1353eqtrd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 2) Β· 𝐢) = ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢)))
137130, 136eqtr3id 2787 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (4 Β· 𝐢) = ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢)))
138137oveq2d 7377 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)) = ((vol*β€˜πΈ) + ((𝐢 + 𝐢) + (𝐢 + 𝐢))))
139128, 138eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜πΈ) + (𝐢 + 𝐢)) + (𝐢 + 𝐢)) = ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)))
140126, 139breqtrd 5135 . 2 (πœ‘ β†’ (((vol*β€˜(𝐾 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐾 βˆ– 𝐴))) + (𝐢 + 𝐢)) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)))
14116, 46, 50, 54, 140letrd 11320 1 (πœ‘ β†’ ((vol*β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) + (vol*β€˜(𝐸 βˆ– 𝐴))) ≀ ((vol*β€˜πΈ) + (4 Β· 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3911   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869  βˆͺ ciun 4958  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638   β€œ cima 5640   ∘ ccom 5641  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  1st c1st 7923  2nd c2nd 7924  Fincfn 8889  supcsup 9384  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  β„•cn 12161  2c2 12216  4c4 12218  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  ...cfz 13433  seqcseq 13915  abscabs 15128  Ξ£csu 15579  vol*covol 24849  volcvol 24850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852
This theorem is referenced by:  uniioombllem6  24975
  Copyright terms: Public domain W3C validator