Theorem iseraltlem3 15761

Description: Lemma for iseralt 15762. From iseraltlem2 15760, we have (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) and (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 1) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘 + 1), and we also have (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 1) = (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) − 𝐺(𝑛 + 1) for each 𝑛 by the definition of the partial sum 𝑆, so combining the inequalities we get (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) − 𝐺(𝑛 + 1) = (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 1) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘 + 1) = (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘) − 𝐺(𝑛 + 2𝑘 + 1) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) + 𝐺(𝑛 + 1), so ∣ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘 + 1) − (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) ∣ = ∣ 𝑆(𝑛 + 2𝑘 + 1) − 𝑆(𝑛) ∣ ≤ 𝐺(𝑛 + 1) and ∣ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘) − (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) ∣ = ∣ 𝑆(𝑛 + 2𝑘) − 𝑆(𝑛) ∣ ≤ 𝐺(𝑛 + 1). Thus, both even and odd partial sums are Cauchy if 𝐺 converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseralt.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iseralt.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
iseralt.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
iseralt.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
iseraltlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1rr 12222	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℝ)
3		neg1ne0 12223	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → -1 ≠ 0)
5		iseralt.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		uzssz 12901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
7	5, 6	eqsstri 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
8		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ 𝑍)
9	7, 8	sselid 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	2, 4, 9	reexpclzd 14305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
12		iseralt.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		iseralt.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -1 ∈ ℝ)
15	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -1 ≠ 0)
16		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
17	7, 16	sselid 3938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
18	14, 15, 17	reexpclzd 14305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
19		iseralt.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
20	19	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
21	18, 20	remulcld 11257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
22	13, 21	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
23	5, 12, 22	serfre 14087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
25	8, 5	eleqtrdi 2876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		2nn0 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
27		simp3 1156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
28		nn0mulcl 12558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
29	26, 27, 28	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
30		uzaddcl 12946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (2 · 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31	25, 29, 30	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31, 5	eleqtrrdi 2877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ 𝑍)
33	24, 32	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) ∈ ℂ)
35	24, 8	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
37	11, 34, 36	subdid 11688	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
38	37	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
39	33, 35	resubcld 11660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11255	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℂ)
41	11, 40	absmuld 15534	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
42	38, 41	eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
43	2	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℂ)
44		absexpz 15382	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑𝑁)) = ((abs‘-1)↑𝑁))
45	43, 4, 9, 44	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑𝑁)) = ((abs‘-1)↑𝑁))
46		ax-1cn 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
47	46	absnegi 15478	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
48		abs1 15374	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
49	47, 48	eqtri 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = 1
50	49	oveq1i 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘-1)↑𝑁) = (1↑𝑁)
51		1exp 14147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
52	9, 51	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑𝑁) = 1)
53	50, 52	eqtrid 2813	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘-1)↑𝑁) = 1)
54	45, 53	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑𝑁)) = 1)
55	54	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (1 · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
56	40	abscld 15516	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ∈ ℂ)
58	57	mullidd 11245	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
59	42, 55, 58	3eqtrd 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
60	10, 35	remulcld 11257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
61	19	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
62	5	peano2uzs 12944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
63	62	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
64	61, 63	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
65	60, 64	resubcld 11660	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
66	5	peano2uzs 12944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ 𝑍 → ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) ∈ 𝑍)
67	32, 66	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) ∈ 𝑍)
68	24, 67	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ∈ ℝ)
69	10, 68	remulcld 11257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ∈ ℝ)
70	10, 33	remulcld 11257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ∈ ℝ)
71		seqp1 14072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
72	25, 71	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
73		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
74		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(𝑁 + 1)))
75		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(𝑁 + 1)))
76	74, 75	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
77	73, 76	eqeq12d 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
78	13	ralrimiva 3160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
79	78	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
80	77, 79, 63	rspcdva 3585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
81	80	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
82	43, 4, 9	expp1zd 14211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 1)) = ((-1↑𝑁) · -1))
83		neg1cn 12221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
84		mulcom 11204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((-1↑𝑁) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((-1↑𝑁) · -1) = (-1 · (-1↑𝑁)))
85	11, 83, 84	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · -1) = (-1 · (-1↑𝑁)))
86	11	mulm1d 11684	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1 · (-1↑𝑁)) = -(-1↑𝑁))
87	82, 85, 86	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 1)) = -(-1↑𝑁))
88	87	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = (-(-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
89	64	recnd 11255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
90	11, 89	mulneg1d 11685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
91	88, 90	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
92	91	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
93	72, 81, 92	3eqtrd 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
94	10, 64	remulcld 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
96	36, 95	negsubd 11593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
97	93, 96	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
98	97	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))))
99	11, 36, 95	subdid 11688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))))
100	9	zcnd 12719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
101	100	2timesd 12505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
102	101	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
103		2z 12644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
105		expmulz 14164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · 𝑁)) = ((-1↑2)↑𝑁))
106	43, 4, 104, 9, 105	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑁)) = ((-1↑2)↑𝑁))
107	102, 106	eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑2)↑𝑁))
108		neg1sqe1 14252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1↑2) = 1
109	108	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑2)↑𝑁) = (1↑𝑁)
110	107, 109	eqtrdi 2817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (1↑𝑁))
111		expaddz 14162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
112	43, 4, 9, 9, 111	syl22anc 852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
113	110, 112, 52	3eqtr3d 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
114	113	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = (1 · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
115	11, 11, 89	mulassd 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
116	89	mullidd 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = (𝐺‘(𝑁 + 1)))
117	114, 115, 116	3eqtr3d 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))) = (𝐺‘(𝑁 + 1)))
118	117	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))))
119	98, 99, 118	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))))
120		iseralt.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
121		iseralt.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
122	5, 12, 19, 120, 121, 13	iseraltlem2 15760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
123	62, 122	syl3an2 1182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
124		1cnd 11220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
125	29	nn0cnd 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
126	100, 124, 125	add32d 11456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾)) = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))
127	126	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
128	87, 127	oveq12d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾)))) = (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
129	87	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
130	123, 128, 129	3brtr3d 5147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
131	68	recnd 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ∈ ℂ)
132	11, 131	mulneg1d 11685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
133	24, 63	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
134	133	recnd 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
135	11, 134	mulneg1d 11685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
136	130, 132, 135	3brtr3d 5147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
137	10, 133	remulcld 11257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
138	137, 69	lenegd 11811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ↔ -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))))
139	136, 138	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
140	119, 139	eqbrtrrd 5140	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
141		seqp1 14072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
142	31, 141	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
143		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
144		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
145		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
146	144, 145	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
147	143, 146	eqeq12d 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → ((𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
148	147, 79, 67	rspcdva 3585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
149	7, 63	sselid 3938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
150	29	nn0zd 12634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
151		expaddz 14162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐾) ∈ ℤ)) → (-1↑((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (-1↑(2 · 𝐾))))
152	43, 4, 149, 150, 151	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (-1↑(2 · 𝐾))))
153	27	nn0zd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
154		expmulz 14164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · 𝐾)) = ((-1↑2)↑𝐾))
155	43, 4, 104, 153, 154	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝐾)) = ((-1↑2)↑𝐾))
156	108	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-1↑2)↑𝐾) = (1↑𝐾)
157		1exp 14147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1↑𝐾) = 1)
158	153, 157	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑𝐾) = 1)
159	156, 158	eqtrid 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑2)↑𝐾) = 1)
160	155, 159	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝐾)) = 1)
161	87, 160	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (-1↑(2 · 𝐾))) = (-(-1↑𝑁) · 1))
162	152, 161	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = (-(-1↑𝑁) · 1))
163	126	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = (-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
164	11	negcld 11574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → -(-1↑𝑁) ∈ ℂ)
165	164	mulridd 11244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · 1) = -(-1↑𝑁))
166	162, 163, 165	3eqtr3d 2809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = -(-1↑𝑁))
167	166	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = (-(-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
168	61, 67	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ∈ ℝ)
169	168	recnd 11255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ∈ ℂ)
170	11, 169	mulneg1d 11685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = -((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
171	148, 167, 170	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = -((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
172	171	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
173	10, 168	remulcld 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ∈ ℝ)
174	173	recnd 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ∈ ℂ)
175	34, 174	negsubd 11593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
176	142, 172, 175	3eqtrd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
177	176	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))))
178	11, 34, 174	subdid 11688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))))
179	113	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = (1 · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
180	11, 11, 169	mulassd 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
181	169	mullidd 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
182	179, 180, 181	3eqtr3d 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))) = (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
183	182	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
184	177, 178, 183	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
185		simp1 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝜑)
186	5, 12, 19, 120, 121	iseraltlem1 15759	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
187	185, 67, 186	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
188	70, 168	subge02d 11824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ↔ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))))))
189	187, 188	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))))
190	184, 189	eqbrtrd 5138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))))
191	65, 69, 70, 140, 190	letrd 11385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))))
192	60, 64	readdcld 11256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
193	5, 12, 19, 120, 121, 13	iseraltlem2 15760	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
194	5, 12, 19, 120, 121	iseraltlem1 15759	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
195	185, 63, 194	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
196	60, 64	addge01d 11820	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
197	195, 196	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))
198	70, 60, 192, 193, 197	letrd 11385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))
199	70, 60, 64	absdifled 15514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ↔ ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))))
200	191, 198, 199	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
201	59, 200	eqbrtrrd 5140	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
202	11, 131, 36	subdid 11688	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
203	202	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
204	68, 35	resubcld 11660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
205	204	recnd 11255	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℂ)
206	11, 205	absmuld 15534	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
207	203, 206	eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
208	54	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (1 · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
209	205	abscld 15516	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ∈ ℝ)
210	209	recnd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ∈ ℂ)
211	210	mullidd 11245	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
212	207, 208, 211	3eqtrd 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
213	69, 70, 192, 190, 198	letrd 11385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))
214	69, 60, 64	absdifled 15514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ↔ ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))))
215	140, 213, 214	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
216	212, 215	eqbrtrrd 5140	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
217	201, 216	jca 521	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082   class class class wbr 5114  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   ≤ cle 11262   − cmin 11459  -cneg 11460  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  seqcseq 14057  ↑cexp 14117  abscabs 15311   ⇝ cli 15561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566

This theorem is used by:  iseralt  15762