Theorem iseraltlem3 15683

Description: Lemma for iseralt 15684. From iseraltlem2 15682, we have (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) and (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 1) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘 + 1), and we also have (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 1) = (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) − 𝐺(𝑛 + 1) for each 𝑛 by the definition of the partial sum 𝑆, so combining the inequalities we get (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) − 𝐺(𝑛 + 1) = (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 1) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘 + 1) = (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘) − 𝐺(𝑛 + 2𝑘 + 1) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) ≤ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) + 𝐺(𝑛 + 1), so ∣ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘 + 1) − (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) ∣ = ∣ 𝑆(𝑛 + 2𝑘 + 1) − 𝑆(𝑛) ∣ ≤ 𝐺(𝑛 + 1) and ∣ (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛 + 2𝑘) − (-1↑𝑛) · 𝑆(𝑛) ∣ = ∣ 𝑆(𝑛 + 2𝑘) − 𝑆(𝑛) ∣ ≤ 𝐺(𝑛 + 1). Thus, both even and odd partial sums are Cauchy if 𝐺 converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseralt.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iseralt.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iseralt.3	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
iseralt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
iseralt.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
iseralt.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
iseraltlem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Proof of Theorem iseraltlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1rr 12374	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℝ)
3		neg1ne0 12375	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → -1 ≠ 0)
5		iseralt.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		uzssz 12890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
7	5, 6	eqsstri 4013	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
8		simp2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ 𝑍)
9	7, 8	sselid 3976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	2, 4, 9	reexpclzd 14261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑁) ∈ ℂ)
12		iseralt.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		iseralt.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
14	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -1 ∈ ℝ)
15	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -1 ≠ 0)
16		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
17	7, 16	sselid 3976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
18	14, 15, 17	reexpclzd 14261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (-1↑𝑘) ∈ ℝ)
19		iseralt.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
20	19	ffvelcdmda 7097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
21	18, 20	remulcld 11290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
22	13, 21	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
23	5, 12, 22	serfre 14046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
24	23	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
25	8, 5	eleqtrdi 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26		2nn0 12536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
27		simp3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
28		nn0mulcl 12555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
29	26, 27, 28	sylancr 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
30		uzaddcl 12935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (2 · 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31	25, 29, 30	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31, 5	eleqtrrdi 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ 𝑍)
33	24, 32	ffvelcdmd 7098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) ∈ ℂ)
35	24, 8	ffvelcdmd 7098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
37	11, 34, 36	subdid 11716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
38	37	fveq2d 6904	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
39	33, 35	resubcld 11688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11288	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℂ)
41	11, 40	absmuld 15454	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
42	38, 41	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
43	2	recnd 11288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℂ)
44		absexpz 15305	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑𝑁)) = ((abs‘-1)↑𝑁))
45	43, 4, 9, 44	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑𝑁)) = ((abs‘-1)↑𝑁))
46		ax-1cn 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
47	46	absnegi 15400	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
48		abs1 15297	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
49	47, 48	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = 1
50	49	oveq1i 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘-1)↑𝑁) = (1↑𝑁)
51		1exp 14106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
52	9, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑𝑁) = 1)
53	50, 52	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘-1)↑𝑁) = 1)
54	45, 53	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑𝑁)) = 1)
55	54	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (1 · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
56	40	abscld 15436	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11288	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ∈ ℂ)
58	57	mullidd 11278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
59	42, 55, 58	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
60	10, 35	remulcld 11290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
61	19	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐺:𝑍⟶ℝ)
62	5	peano2uzs 12933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
63	62	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
64	61, 63	ffvelcdmd 7098	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
65	60, 64	resubcld 11688	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
66	5	peano2uzs 12933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ 𝑍 → ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) ∈ 𝑍)
67	32, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) ∈ 𝑍)
68	24, 67	ffvelcdmd 7098	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ∈ ℝ)
69	10, 68	remulcld 11290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ∈ ℝ)
70	10, 33	remulcld 11290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ∈ ℝ)
71		seqp1 14031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
72	25, 71	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
73		fveq2 6900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
74		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑(𝑁 + 1)))
75		fveq2 6900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(𝑁 + 1)))
76	74, 75	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
77	73, 76	eqeq12d 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
78	13	ralrimiva 3135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
79	78	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)))
80	77, 79, 63	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
81	80	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
82	43, 4, 9	expp1zd 14169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 1)) = ((-1↑𝑁) · -1))
83		neg1cn 12373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
84		mulcom 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((-1↑𝑁) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((-1↑𝑁) · -1) = (-1 · (-1↑𝑁)))
85	11, 83, 84	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · -1) = (-1 · (-1↑𝑁)))
86	11	mulm1d 11712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1 · (-1↑𝑁)) = -(-1↑𝑁))
87	82, 85, 86	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 1)) = -(-1↑𝑁))
88	87	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = (-(-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
89	64	recnd 11288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
90	11, 89	mulneg1d 11713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
91	88, 90	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
92	91	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + ((-1↑(𝑁 + 1)) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
93	72, 81, 92	3eqtrd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
94	10, 64	remulcld 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
95	94	recnd 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
96	36, 95	negsubd 11623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
97	93, 96	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
98	97	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))))
99	11, 36, 95	subdid 11716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))))
100	9	zcnd 12714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
101	100	2timesd 12502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
102	101	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑁)) = (-1↑(𝑁 + 𝑁)))
103		2z 12641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
105		expmulz 14123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · 𝑁)) = ((-1↑2)↑𝑁))
106	43, 4, 104, 9, 105	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝑁)) = ((-1↑2)↑𝑁))
107	102, 106	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑2)↑𝑁))
108		neg1sqe1 14209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1↑2) = 1
109	108	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1↑2)↑𝑁) = (1↑𝑁)
110	107, 109	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = (1↑𝑁))
111		expaddz 14121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
112	43, 4, 9, 9, 111	syl22anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑁 + 𝑁)) = ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)))
113	110, 112, 52	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) = 1)
114	113	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = (1 · (𝐺‘(𝑁 + 1))))
115	11, 11, 89	mulassd 11283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
116	89	mullidd 11278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐺‘(𝑁 + 1))) = (𝐺‘(𝑁 + 1)))
117	114, 115, 116	3eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1)))) = (𝐺‘(𝑁 + 1)))
118	117	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘(𝑁 + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))))
119	98, 99, 118	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))))
120		iseralt.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐺‘𝑘))
121		iseralt.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
122	5, 12, 19, 120, 121, 13	iseraltlem2 15682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
123	62, 122	syl3an2 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
124		1cnd 11255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
125	29	nn0cnd 12581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
126	100, 124, 125	add32d 11487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾)) = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))
127	126	fveq2d 6904	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
128	87, 127	oveq12d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾)))) = (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
129	87	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
130	123, 128, 129	3brtr3d 5183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
131	68	recnd 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ∈ ℂ)
132	11, 131	mulneg1d 11713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
133	24, 63	ffvelcdmd 7098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
134	133	recnd 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
135	11, 134	mulneg1d 11713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) = -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
136	130, 132, 135	3brtr3d 5183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))))
137	10, 133	remulcld 11290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
138	137, 69	lenegd 11839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ↔ -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ -((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))))
139	136, 138	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
140	119, 139	eqbrtrrd 5176	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
141		seqp1 14031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + (2 · 𝐾)) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
142	31, 141	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
143		fveq2 6900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
144		oveq2 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → (-1↑𝑘) = (-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
145		fveq2 6900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
146	144, 145	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
147	143, 146	eqeq12d 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) → ((𝐹‘𝑘) = ((-1↑𝑘) · (𝐺‘𝑘)) ↔ (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
148	147, 79, 67	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
149	7, 63	sselid 3976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
150	29	nn0zd 12631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
151		expaddz 14121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐾) ∈ ℤ)) → (-1↑((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (-1↑(2 · 𝐾))))
152	43, 4, 149, 150, 151	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = ((-1↑(𝑁 + 1)) · (-1↑(2 · 𝐾))))
153	27	nn0zd 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
154		expmulz 14123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · 𝐾)) = ((-1↑2)↑𝐾))
155	43, 4, 104, 153, 154	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝐾)) = ((-1↑2)↑𝐾))
156	108	oveq1i 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-1↑2)↑𝐾) = (1↑𝐾)
157		1exp 14106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1↑𝐾) = 1)
158	153, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑𝐾) = 1)
159	156, 158	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑2)↑𝐾) = 1)
160	155, 159	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑(2 · 𝐾)) = 1)
161	87, 160	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑(𝑁 + 1)) · (-1↑(2 · 𝐾))) = (-(-1↑𝑁) · 1))
162	152, 161	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = (-(-1↑𝑁) · 1))
163	126	oveq2d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + 1) + (2 · 𝐾))) = (-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
164	11	negcld 11604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → -(-1↑𝑁) ∈ ℂ)
165	164	mulridd 11277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · 1) = -(-1↑𝑁))
166	162, 163, 165	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = -(-1↑𝑁))
167	166	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = (-(-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
168	61, 67	ffvelcdmd 7098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ∈ ℝ)
169	168	recnd 11288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ∈ ℂ)
170	11, 169	mulneg1d 11713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (-(-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = -((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
171	148, 167, 170	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = -((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
172	171	oveq2d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + (𝐹‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
173	10, 168	remulcld 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ∈ ℝ)
174	173	recnd 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ∈ ℂ)
175	34, 174	negsubd 11623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) + -((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
176	142, 172, 175	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
177	176	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))))
178	11, 34, 174	subdid 11716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))))
179	113	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = (1 · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
180	11, 11, 169	mulassd 11283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (-1↑𝑁)) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))))
181	169	mullidd 11278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
182	179, 180, 181	3eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))) = (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
183	182	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · ((-1↑𝑁) · (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
184	177, 178, 183	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))))
185		simp1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝜑)
186	5, 12, 19, 120, 121	iseraltlem1 15681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
187	185, 67, 186	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)))
188	70, 168	subge02d 11852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) ↔ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))))))
189	187, 188	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − (𝐺‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))))
190	184, 189	eqbrtrd 5174	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))))
191	65, 69, 70, 140, 190	letrd 11417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))))
192	60, 64	readdcld 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
193	5, 12, 19, 120, 121, 13	iseraltlem2 15682	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
194	5, 12, 19, 120, 121	iseraltlem1 15681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
195	185, 63, 194	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
196	60, 64	addge01d 11848	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ↔ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1)))))
197	195, 196	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))
198	70, 60, 192, 193, 197	letrd 11417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))
199	70, 60, 64	absdifled 15434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ↔ ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))))
200	191, 198, 199	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾)))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
201	59, 200	eqbrtrrd 5176	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
202	11, 131, 36	subdid 11716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) = (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
203	202	fveq2d 6904	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
204	68, 35	resubcld 11688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℝ)
205	204	recnd 11288	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℂ)
206	11, 205	absmuld 15454	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((-1↑𝑁) · ((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
207	203, 206	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
208	54	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘(-1↑𝑁)) · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (1 · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))))
209	205	abscld 15436	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ∈ ℝ)
210	209	recnd 11288	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ∈ ℂ)
211	210	mullidd 11278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
212	207, 208, 211	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) = (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
213	69, 70, 192, 190, 198	letrd 11417	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))
214	69, 60, 64	absdifled 15434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ↔ ((((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) − (𝐺‘(𝑁 + 1))) ≤ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ∧ ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) ≤ (((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) + (𝐺‘(𝑁 + 1))))))
215	140, 213, 214	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘(((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1))) − ((-1↑𝑁) · (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
216	212, 215	eqbrtrrd 5176	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
217	201, 216	jca 510	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ 𝑍 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + (2 · 𝐾))) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)) ∧ (abs‘((seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 + (2 · 𝐾)) + 1)) − (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∀wral 3050   class class class wbr 5152  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7423  ℂcc 11152  ℝcr 11153  0cc0 11154  1c1 11155   + caddc 11157   · cmul 11159   ≤ cle 11295   − cmin 11490  -cneg 11491  2c2 12314  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12605  ℤ_≥cuz 12869  seqcseq 14016  ↑cexp 14076  abscabs 15234   ⇝ cli 15481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-pm 8857  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9481  df-inf 9482  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-rp 13024  df-fz 13534  df-fl 13807  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-rlim 15486

This theorem is referenced by:  iseralt  15684