Theorem fladdz 13945

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)

Assertion

Ref	Expression
fladdz	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁))

Proof of Theorem fladdz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reflcl 13916	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zred 12784	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		flle 13919	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
8	2, 3, 5, 7	leadd1dd 11911	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ≤ (𝐴 + 𝑁))
9		1red 11290	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
10	2, 9	readdcld 11319	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
11		flltp1 13920	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
13	3, 10, 5, 12	ltadd1dd 11908	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 1) + 𝑁))
14	2	recnd 11318	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
15		1cnd 11283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
16	5	recnd 11318	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	add32d 11519	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((⌊‘𝐴) + 1) + 𝑁) = (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))
18	13, 17	breqtrd 5131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))
19	3, 5	readdcld 11319	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) ∈ ℝ)
20	3	flcld 13918	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
21	20, 4	zaddcld 12788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ∈ ℤ)
22		flbi 13936	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ↔ (((⌊‘𝐴) + 𝑁) ≤ (𝐴 + 𝑁) ∧ (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))))
23	19, 21, 22	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁) ↔ (((⌊‘𝐴) + 𝑁) ≤ (𝐴 + 𝑁) ∧ (𝐴 + 𝑁) < (((⌊‘𝐴) + 𝑁) + 1))))
24	8, 18, 23	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  1c1 11182   + caddc 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℤcz 12674  ⌊cfl 13910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fl 13912

This theorem is used by:  flzadd  13946  modcyc  14026  bitsmod  16586  fldivp1  17055  ppip1le  27470  dya2ub  34885  fourierdlem4  47065  fourierdlem47  47107  flsubz  49578  blennnt2  49645