Theorem zesq 14221

Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zesq	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		sqval 14112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
4	3	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 · 𝑁) / 2))
5		2cnd 12321	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
6		2ne0 12347	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
8	1, 1, 5, 7	divassd 12056	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
9	4, 8	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
11		zmulcl 12642	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
12	10, 11	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ)
13	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
14		sqcl 14115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16		peano2cn 11417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℂ → ((𝑁↑2) + 1) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) + 1) ∈ ℂ)
18	17	halfcld 12488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℂ)
19	18, 13	pncand 11603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) − 𝑁) = (((𝑁↑2) + 1) / 2))
20		binom21 14214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1)↑2) = (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1))
21	13, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)↑2) = (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1))
22		peano2cn 11417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
23	13, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
24		sqval 14112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → ((𝑁 + 1)↑2) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)↑2) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
26		2cn 12318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		mulcl 11223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
28	26, 13, 27	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
29		1cnd 11240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
30	15, 28, 29	add32d 11472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1) = (((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)))
31	21, 25, 30	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) = (((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)))
32	31	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2))
33		2cnd 12321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
34	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
35	23, 23, 33, 34	divassd 12056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) / 2) = ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)))
36	17, 28, 33, 34	divdird 12059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
37	13, 33, 34	divcan3d 12026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
38	37	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
39	36, 38	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
40	32, 35, 39	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
41		peano2z 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
42		zmulcl 12642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
43	41, 42	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
44	40, 43	eqeltrrd 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) ∈ ℤ)
45		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
46	44, 45	zsubcld 12702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
47	19, 46	eqeltrrd 2830	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ)
48	47	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
49	48	con3d 152	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
50		zsqcl 14126	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
51		zeo2 12680	. . . . 5 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
52	50, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
53		zeo2 12680	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
54	49, 52, 53	3imtr4d 294	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
55	54	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
56	12, 55	impbida 800	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144   − cmin 11475   / cdiv 11902  2c2 12298  ℤcz 12589  ↑cexp 14059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060

This theorem is referenced by:  nnesq  14222  sqrt2irrlem  16225