MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zesq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zesq 14190
Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zesq (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค))

Proof of Theorem zesq
StepHypRef Expression
1 zcn 12562 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2 sqval 14081 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
43oveq1d 7417 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) = ((๐‘ ยท ๐‘) / 2))
5 2cnd 12289 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6 2ne0 12315 . . . . . . 7 2 โ‰  0
76a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
81, 1, 5, 7divassd 12024 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) / 2) = (๐‘ ยท (๐‘ / 2)))
94, 8eqtrd 2764 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) = (๐‘ ยท (๐‘ / 2)))
109adantr 480 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) = (๐‘ ยท (๐‘ / 2)))
11 zmulcl 12610 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ / 2)) โˆˆ โ„ค)
1210, 11eqeltrd 2825 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค)
131adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
14 sqcl 14084 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
16 peano2cn 11385 . . . . . . . . . 10 ((๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘โ†‘2) + 1) โˆˆ โ„‚)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘โ†‘2) + 1) โˆˆ โ„‚)
1817halfcld 12456 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) โˆˆ โ„‚)
1918, 13pncand 11571 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ๐‘) โˆ’ ๐‘) = (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2))
20 binom21 14183 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘2) = (((๐‘โ†‘2) + (2 ยท ๐‘)) + 1))
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘2) = (((๐‘โ†‘2) + (2 ยท ๐‘)) + 1))
22 peano2cn 11385 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
24 sqval 14081 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘2) = ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 1)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘2) = ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 1)))
26 2cn 12286 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„‚
27 mulcl 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2826, 13, 27sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
29 1cnd 11208 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3015, 28, 29add32d 11440 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘โ†‘2) + (2 ยท ๐‘)) + 1) = (((๐‘โ†‘2) + 1) + (2 ยท ๐‘)))
3121, 25, 303eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 1)) = (((๐‘โ†‘2) + 1) + (2 ยท ๐‘)))
3231oveq1d 7417 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 1)) / 2) = ((((๐‘โ†‘2) + 1) + (2 ยท ๐‘)) / 2))
33 2cnd 12289 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
346a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โ‰  0)
3523, 23, 33, 34divassd 12024 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 1)) / 2) = ((๐‘ + 1) ยท ((๐‘ + 1) / 2)))
3617, 28, 33, 34divdird 12027 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐‘โ†‘2) + 1) + (2 ยท ๐‘)) / 2) = ((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ((2 ยท ๐‘) / 2)))
3713, 33, 34divcan3d 11994 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 2) = ๐‘)
3837oveq2d 7418 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ((2 ยท ๐‘) / 2)) = ((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ๐‘))
3936, 38eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐‘โ†‘2) + 1) + (2 ยท ๐‘)) / 2) = ((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ๐‘))
4032, 35, 393eqtr3d 2772 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ((๐‘ + 1) / 2)) = ((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ๐‘))
41 peano2z 12602 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
42 zmulcl 12610 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
4341, 42sylan 579 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
4440, 43eqeltrrd 2826 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
45 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4644, 45zsubcld 12670 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ๐‘) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค)
4719, 46eqeltrrd 2826 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
4847ex 412 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
4948con3d 152 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
50 zsqcl 14095 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
51 zeo2 12648 . . . . 5 ((๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ยฌ (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
5250, 51syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ยฌ (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
53 zeo2 12648 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
5449, 52, 533imtr4d 294 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค))
5554imp 406 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค)
5612, 55impbida 798 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  โ„คcz 12557  โ†‘cexp 14028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13968  df-exp 14029
This theorem is referenced by:  nnesq  14191  sqrt2irrlem  16194
  Copyright terms: Public domain W3C validator