MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zesq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zesq 14214
Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zesq (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค))

Proof of Theorem zesq
StepHypRef Expression
1 zcn 12587 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2 sqval 14105 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
43oveq1d 7429 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) = ((๐‘ ยท ๐‘) / 2))
5 2cnd 12314 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6 2ne0 12340 . . . . . . 7 2 โ‰  0
76a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โ‰  0)
81, 1, 5, 7divassd 12049 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) / 2) = (๐‘ ยท (๐‘ / 2)))
94, 8eqtrd 2768 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) = (๐‘ ยท (๐‘ / 2)))
109adantr 480 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) = (๐‘ ยท (๐‘ / 2)))
11 zmulcl 12635 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ / 2)) โˆˆ โ„ค)
1210, 11eqeltrd 2829 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค)
131adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
14 sqcl 14108 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
16 peano2cn 11410 . . . . . . . . . 10 ((๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘โ†‘2) + 1) โˆˆ โ„‚)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘โ†‘2) + 1) โˆˆ โ„‚)
1817halfcld 12481 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) โˆˆ โ„‚)
1918, 13pncand 11596 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ๐‘) โˆ’ ๐‘) = (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2))
20 binom21 14207 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘2) = (((๐‘โ†‘2) + (2 ยท ๐‘)) + 1))
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘2) = (((๐‘โ†‘2) + (2 ยท ๐‘)) + 1))
22 peano2cn 11410 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
24 sqval 14105 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘2) = ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 1)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + 1)โ†‘2) = ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 1)))
26 2cn 12311 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„‚
27 mulcl 11216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2826, 13, 27sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
29 1cnd 11233 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3015, 28, 29add32d 11465 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘โ†‘2) + (2 ยท ๐‘)) + 1) = (((๐‘โ†‘2) + 1) + (2 ยท ๐‘)))
3121, 25, 303eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 1)) = (((๐‘โ†‘2) + 1) + (2 ยท ๐‘)))
3231oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 1)) / 2) = ((((๐‘โ†‘2) + 1) + (2 ยท ๐‘)) / 2))
33 2cnd 12314 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
346a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โ‰  0)
3523, 23, 33, 34divassd 12049 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘ + 1) ยท (๐‘ + 1)) / 2) = ((๐‘ + 1) ยท ((๐‘ + 1) / 2)))
3617, 28, 33, 34divdird 12052 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐‘โ†‘2) + 1) + (2 ยท ๐‘)) / 2) = ((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ((2 ยท ๐‘) / 2)))
3713, 33, 34divcan3d 12019 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘) / 2) = ๐‘)
3837oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ((2 ยท ๐‘) / 2)) = ((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ๐‘))
3936, 38eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐‘โ†‘2) + 1) + (2 ยท ๐‘)) / 2) = ((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ๐‘))
4032, 35, 393eqtr3d 2776 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ((๐‘ + 1) / 2)) = ((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ๐‘))
41 peano2z 12627 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค)
42 zmulcl 12635 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
4341, 42sylan 579 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
4440, 43eqeltrrd 2830 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
45 simpl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4644, 45zsubcld 12695 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) + ๐‘) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค)
4719, 46eqeltrrd 2830 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
4847ex 412 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
4948con3d 152 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
50 zsqcl 14119 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
51 zeo2 12673 . . . . 5 ((๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ยฌ (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
5250, 51syl 17 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ยฌ (((๐‘โ†‘2) + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
53 zeo2 12673 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค))
5449, 52, 533imtr4d 294 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค))
5554imp 406 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค)
5612, 55impbida 800 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘โ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2936  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   ยท cmul 11137   โˆ’ cmin 11468   / cdiv 11895  2c2 12291  โ„คcz 12582  โ†‘cexp 14052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-seq 13993  df-exp 14053
This theorem is referenced by:  nnesq  14215  sqrt2irrlem  16218
  Copyright terms: Public domain W3C validator