Theorem zesq 13869

Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zesq	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		sqval 13763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
4	3	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 · 𝑁) / 2))
5		2cnd 11981	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
6		2ne0 12007	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
8	1, 1, 5, 7	divassd 11716	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
9	4, 8	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
11		zmulcl 12299	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
12	10, 11	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ)
13	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
14		sqcl 13766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16		peano2cn 11077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℂ → ((𝑁↑2) + 1) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) + 1) ∈ ℂ)
18	17	halfcld 12148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℂ)
19	18, 13	pncand 11263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) − 𝑁) = (((𝑁↑2) + 1) / 2))
20		binom21 13862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1)↑2) = (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1))
21	13, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)↑2) = (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1))
22		peano2cn 11077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
23	13, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
24		sqval 13763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → ((𝑁 + 1)↑2) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)↑2) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
26		2cn 11978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		mulcl 10886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
28	26, 13, 27	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
29		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
30	15, 28, 29	add32d 11132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1) = (((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)))
31	21, 25, 30	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) = (((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)))
32	31	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2))
33		2cnd 11981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
34	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
35	23, 23, 33, 34	divassd 11716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) / 2) = ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)))
36	17, 28, 33, 34	divdird 11719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
37	13, 33, 34	divcan3d 11686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
38	37	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
39	36, 38	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
40	32, 35, 39	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
41		peano2z 12291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
42		zmulcl 12299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
43	41, 42	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
44	40, 43	eqeltrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) ∈ ℤ)
45		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
46	44, 45	zsubcld 12360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
47	19, 46	eqeltrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ)
48	47	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
49	48	con3d 152	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
50		zsqcl 13776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
51		zeo2 12337	. . . . 5 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
52	50, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
53		zeo2 12337	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
54	49, 52, 53	3imtr4d 293	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
55	54	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
56	12, 55	impbida 797	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  ℤcz 12249  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  nnesq  13870  sqrt2irrlem  15885