Theorem zesq 14377

Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
zesq	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))

Proof of Theorem zesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2		sqval 14264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
3	1, 2	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
4	3	oveq1d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 · 𝑁) / 2))
5		2cnd 12428	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
6		2ne0 12456	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
8	1, 1, 5, 7	divassd 12135	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
9	4, 8	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
11		zmulcl 12752	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
12	10, 11	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ)
13	1	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
14		sqcl 14268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16		peano2cn 11489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℂ → ((𝑁↑2) + 1) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁↑2) + 1) ∈ ℂ)
18	17	halfcld 12598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℂ)
19	18, 13	pncand 11677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) − 𝑁) = (((𝑁↑2) + 1) / 2))
20		binom21 14370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1)↑2) = (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1))
21	13, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)↑2) = (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1))
22		peano2cn 11489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
23	13, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
24		sqval 14264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℂ → ((𝑁 + 1)↑2) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1)↑2) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
26		2cn 12425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
27		mulcl 11291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
28	26, 13, 27	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
29		1cnd 11309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
30	15, 28, 29	add32d 11545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1) = (((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)))
31	21, 25, 30	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) = (((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)))
32	31	oveq1d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2))
33		2cnd 12428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
34	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
35	23, 23, 33, 34	divassd 12135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) / 2) = ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)))
36	17, 28, 33, 34	divdird 12138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
37	13, 33, 34	divcan3d 12105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
38	37	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
39	36, 38	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
40	32, 35, 39	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
41		peano2z 12744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
42		zmulcl 12752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
43	41, 42	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
44	40, 43	eqeltrrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) ∈ ℤ)
45		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
46	44, 45	zsubcld 12815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) − 𝑁) ∈ ℤ)
47	19, 46	eqeltrrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ)
48	47	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
49	48	con3d 153	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
50		zsqcl 14279	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
51		zeo2 12793	. . . . 5 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
52	50, 51	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ∈ ℤ))
53		zeo2 12793	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
54	49, 52, 53	3imtr4d 297	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ))
55	54	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
56	12, 55	impbida 813	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   − cmin 11548   / cdiv 11980  2c2 12404  ℤcz 12700  ↑cexp 14211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-seq 14152  df-exp 14212

This theorem is used by:  nnesq  14378  sqrt2irrlem  16425