Proof of Theorem lcmineqlem18
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 0zd 12625 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℤ) |
| 2 | | 2z 12649 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 3 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℤ) |
| 4 | | lcmineqlem18.1 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 5 | 4 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 6 | 3, 5 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℤ) |
| 7 | 6 | peano2zd 12725 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈
ℤ) |
| 8 | 5 | peano2zd 12725 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ) |
| 9 | 4 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 10 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
| 11 | 4 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 12 | 11 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁) |
| 13 | | 0le1 11786 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 ≤
1 |
| 14 | 13 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1) |
| 15 | 9, 10, 12, 14 | addge0d 11839 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1)) |
| 16 | 9, 10 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ) |
| 17 | 16, 9 | addge01d 11851 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁))) |
| 18 | 12, 17 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁)) |
| 19 | 9 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 20 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
| 21 | 19, 20, 19 | add32d 11489 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) + 1)) |
| 22 | 19 | 2timesd 12509 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁)) |
| 23 | 22 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1)) |
| 24 | 23 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1)) |
| 25 | 21, 24 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((2 · 𝑁) + 1)) |
| 26 | 18, 25 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1)) |
| 27 | 1, 7, 8, 15, 26 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1))) |
| 28 | | bcval2 14344 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 ·
𝑁) + 1)) → (((2
· 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((!‘(((2
· 𝑁) + 1) −
(𝑁 + 1))) ·
(!‘(𝑁 +
1))))) |
| 29 | 27, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2
· 𝑁) + 1) −
(𝑁 + 1))) ·
(!‘(𝑁 +
1))))) |
| 30 | 6 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℂ) |
| 31 | 30, 20, 19, 20 | addsub4d 11667 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1))) |
| 32 | 22 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁)) |
| 33 | 19, 19 | pncand 11621 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁) |
| 34 | 32, 33 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁) |
| 35 | | 1m1e0 12338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (1
− 1) = 0 |
| 36 | 35 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (1 − 1) =
0) |
| 37 | 34, 36 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = (𝑁 + 0)) |
| 38 | 19 | addridd 11461 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁) |
| 39 | 37, 38 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = 𝑁) |
| 40 | 31, 39 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁) |
| 41 | 40 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (!‘(((2 ·
𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (!‘𝑁)) |
| 42 | 41 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 ·
𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))) |
| 43 | 42 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((!‘(((2
· 𝑁) + 1) −
(𝑁 + 1))) ·
(!‘(𝑁 + 1)))) =
((!‘((2 · 𝑁) +
1)) / ((!‘𝑁) ·
(!‘(𝑁 +
1))))) |
| 44 | 29, 43 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))))) |
| 45 | | faccl 14322 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑁) ∈
ℕ) |
| 46 | 11, 45 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ) |
| 47 | 46 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ) |
| 48 | | 1nn0 12542 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
| 49 | 48 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℕ0) |
| 50 | 11, 49 | nn0addcld 12591 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈
ℕ0) |
| 51 | | faccl 14322 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0
→ (!‘(𝑁 + 1))
∈ ℕ) |
| 52 | 50, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈
ℕ) |
| 53 | 52 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈
ℂ) |
| 54 | 47, 53 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁))) |
| 55 | | facp1 14317 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (!‘(𝑁 + 1)) =
((!‘𝑁) ·
(𝑁 + 1))) |
| 56 | 11, 55 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1))) |
| 57 | 19, 20 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ) |
| 58 | 47, 57 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁))) |
| 59 | 56, 58 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁))) |
| 60 | 59 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁))) |
| 61 | 57, 47, 47 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
| 62 | 60, 61 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
| 63 | 54, 62 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
| 64 | 63 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2
· 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) |
| 65 | 44, 64 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) |
| 66 | | 2nn0 12543 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
| 67 | 66 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℕ0) |
| 68 | 67, 11 | nn0mulcld 12592 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℕ0) |
| 69 | | facp1 14317 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1))) |
| 70 | 68, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (!‘((2 ·
𝑁) + 1)) = ((!‘(2
· 𝑁)) · ((2
· 𝑁) +
1))) |
| 71 | | faccl 14322 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ) |
| 72 | 68, 71 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈
ℕ) |
| 73 | 72 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈
ℂ) |
| 74 | 30, 20 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈
ℂ) |
| 75 | 73, 74 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((!‘(2 ·
𝑁)) · ((2 ·
𝑁) + 1)) = (((2 ·
𝑁) + 1) ·
(!‘(2 · 𝑁)))) |
| 76 | 70, 75 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (!‘((2 ·
𝑁) + 1)) = (((2 ·
𝑁) + 1) ·
(!‘(2 · 𝑁)))) |
| 77 | 76 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) |
| 78 | 65, 77 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) |
| 79 | 78 | oveq2d 7447 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))) |
| 80 | 74, 73 | mulcld 11281 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁))) ∈
ℂ) |
| 81 | 47, 47 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈
ℂ) |
| 82 | 57, 81 | mulcld 11281 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ) |
| 83 | 4 | peano2nnd 12283 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ) |
| 84 | 83 | nnne0d 12316 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0) |
| 85 | 46 | nnne0d 12316 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0) |
| 86 | 47, 47, 85, 85 | mulne0d 11915 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0) |
| 87 | 57, 81, 84, 86 | mulne0d 11915 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ≠ 0) |
| 88 | 57, 80, 82, 87 | divassd 12078 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))) |
| 89 | 88 | eqcomd 2743 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) |
| 90 | 79, 89 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) |
| 91 | 57, 57, 80, 81, 84, 86 | divmuldivd 12084 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁))) /
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) · (((2 ·
𝑁) + 1) ·
(!‘(2 · 𝑁))))
/ ((𝑁 + 1) ·
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁))))) |
| 92 | 91 | eqcomd 2743 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁))) /
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁))))) |
| 93 | 90, 92 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁))) /
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁))))) |
| 94 | 57, 84 | dividd 12041 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1) |
| 95 | 94 | oveq1d 7446 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁))) /
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁)))) = (1
· ((((2 · 𝑁)
+ 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) |
| 96 | 80, 81, 86 | divcld 12043 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁))) /
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁))) ∈
ℂ) |
| 97 | 96 | mullidd 11279 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (1 · ((((2 ·
𝑁) + 1) ·
(!‘(2 · 𝑁))) /
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁)))) = ((((2
· 𝑁) + 1) ·
(!‘(2 · 𝑁))) /
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁)))) |
| 98 | 95, 97 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁))) /
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁)))) = ((((2
· 𝑁) + 1) ·
(!‘(2 · 𝑁))) /
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁)))) |
| 99 | 93, 98 | eqtrd 2777 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
| 100 | 74, 73, 81, 86 | divassd 12078 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2
· 𝑁))) /
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁))) = (((2
· 𝑁) + 1) ·
((!‘(2 · 𝑁)) /
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁))))) |
| 101 | 99, 100 | eqtrd 2777 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) |
| 102 | 9, 9 | addge01d 11851 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁))) |
| 103 | 22 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁))) |
| 104 | 102, 103 | bitr4d 282 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))) |
| 105 | 12, 104 | mpbid 232 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)) |
| 106 | 1, 6, 5, 12, 105 | elfzd 13555 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁))) |
| 107 | | bcval2 14344 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁)))) |
| 108 | 106, 107 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁)))) |
| 109 | 34 | fveq2d 6910 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (!‘((2 ·
𝑁) − 𝑁)) = (!‘𝑁)) |
| 110 | 109 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((!‘((2 ·
𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) |
| 111 | 110 | oveq2d 7447 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((!‘(2 ·
𝑁)) / ((!‘((2
· 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘(2 ·
𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
| 112 | 108, 111 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
| 113 | 112 | oveq2d 7447 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 ·
𝑁)C𝑁)) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) |
| 114 | 113 | eqcomd 2743 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2
· 𝑁)) /
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁)))) = (((2
· 𝑁) + 1) ·
((2 · 𝑁)C𝑁))) |
| 115 | 101, 114 | eqtrd 2777 |
1
⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁))) |