lcmineqlem18 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem18 42059

Description: Technical lemma to shift factors in binomial coefficient. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lcmineqlem18.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem18	⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

**Proof of Theorem lcmineqlem18**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2		2z 12624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4		lcmineqlem18.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	zmulcld 12703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
8	5	peano2zd 12700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9	4	nnred 12255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10		1red 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11	4	nnnn0d 12562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
12	11	nn0ge0d 12565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
13		0le1 11760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 1
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
15	9, 10, 12, 14	addge0d 11813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
16	9, 10	readdcld 11264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
17	16, 9	addge01d 11825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁)))
18	12, 17	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁))
19	9	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
20		1cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20, 19	add32d 11463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
22	19	2timesd 12484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
23	22	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
24	23	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
25	21, 24	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((2 · 𝑁) + 1))
26	18, 25	breqtrd 5145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
27	1, 7, 8, 15, 26	elfzd 13532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)))
28		bcval2 14323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
30	6	zcnd 12698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
31	30, 20, 19, 20	addsub4d 11641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)))
32	22	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁))
33	19, 19	pncand 11595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
34	32, 33	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
35		1m1e0 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 − 1) = 0
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
37	34, 36	oveq12d 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = (𝑁 + 0))
38	19	addridd 11435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
39	37, 38	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = 𝑁)
40	31, 39	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
41	40	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (!‘𝑁))
42	41	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))))
43	42	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
44	29, 43	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
45		faccl 14301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
46	11, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
47	46	nncnd 12256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
48		1nn0 12517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ₀)
50	11, 49	nn0addcld 12566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
51		faccl 14301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
53	52	nncnd 12256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
54	47, 53	mulcomd 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))
55		facp1 14296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
56	11, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
57	19, 20	addcld 11254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
58	47, 57	mulcomd 11256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
59	56, 58	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
60	59	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)))
61	57, 47, 47	mulassd 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
62	60, 61	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
63	54, 62	eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
64	63	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
65	44, 64	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
66		2nn0 12518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ₀)
68	67, 11	nn0mulcld 12567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ₀)
69		facp1 14296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
71		faccl 14301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
72	68, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
73	72	nncnd 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
74	30, 20	addcld 11254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
75	73, 74	mulcomd 11256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
76	70, 75	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
77	76	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
78	65, 77	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
79	78	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
80	74, 73	mulcld 11255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
81	47, 47	mulcld 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
82	57, 81	mulcld 11255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
83	4	peano2nnd 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
84	83	nnne0d 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
85	46	nnne0d 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0)
86	47, 47, 85, 85	mulne0d 11889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
87	57, 81, 84, 86	mulne0d 11889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ≠ 0)
88	57, 80, 82, 87	divassd 12052	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
89	88	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
90	79, 89	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
91	57, 57, 80, 81, 84, 86	divmuldivd 12058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
92	91	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
93	90, 92	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
94	57, 84	dividd 12015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1)
95	94	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
96	80, 81, 86	divcld 12017	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
97	96	mullidd 11253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
98	95, 97	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
99	93, 98	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
100	74, 73, 81, 86	divassd 12052	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
101	99, 100	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
102	9, 9	addge01d 11825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
103	22	breq2d 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
104	102, 103	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
105	12, 104	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
106	1, 6, 5, 12, 105	elfzd 13532	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
107		bcval2 14323	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
108	106, 107	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
109	34	fveq2d 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) = (!‘𝑁))
110	109	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))
111	110	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
112	108, 111	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
113	112	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
114	113	eqcomd 2741	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
115	101, 114	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 class class class wbr 5119 ‘cfv 6531 (class class class)co 7405 0cc0 11129 1c1 11130 + caddc 11132 · cmul 11134 ≤ cle 11270 − cmin 11466 / cdiv 11894 ℕcn 12240 2c2 12295 ℕ₀cn0 12501 ℤcz 12588 ...cfz 13524 !cfa 14291 Ccbc 14320

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2707 ax-sep 5266 ax-nul 5276 ax-pow 5335 ax-pr 5402 ax-un 7729 ax-cnex 11185 ax-resscn 11186 ax-1cn 11187 ax-icn 11188 ax-addcl 11189 ax-addrcl 11190 ax-mulcl 11191 ax-mulrcl 11192 ax-mulcom 11193 ax-addass 11194 ax-mulass 11195 ax-distr 11196 ax-i2m1 11197 ax-1ne0 11198 ax-1rid 11199 ax-rnegex 11200 ax-rrecex 11201 ax-cnre 11202 ax-pre-lttri 11203 ax-pre-lttrn 11204 ax-pre-ltadd 11205 ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2714 df-cleq 2727 df-clel 2809 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3359 df-reu 3360 df-rab 3416 df-v 3461 df-sbc 3766 df-csb 3875 df-dif 3929 df-un 3931 df-in 3933 df-ss 3943 df-pss 3946 df-nul 4309 df-if 4501 df-pw 4577 df-sn 4602 df-pr 4604 df-op 4608 df-uni 4884 df-iun 4969 df-br 5120 df-opab 5182 df-mpt 5202 df-tr 5230 df-id 5548 df-eprel 5553 df-po 5561 df-so 5562 df-fr 5606 df-we 5608 df-xp 5660 df-rel 5661 df-cnv 5662 df-co 5663 df-dm 5664 df-rn 5665 df-res 5666 df-ima 5667 df-pred 6290 df-ord 6355 df-on 6356 df-lim 6357 df-suc 6358 df-iota 6484 df-fun 6533 df-fn 6534 df-f 6535 df-f1 6536 df-fo 6537 df-f1o 6538 df-fv 6539 df-riota 7362 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7862 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8719 df-en 8960 df-dom 8961 df-sdom 8962 df-pnf 11271 df-mnf 11272 df-xr 11273 df-ltxr 11274 df-le 11275 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11895 df-nn 12241 df-2 12303 df-n0 12502 df-z 12589 df-uz 12853 df-fz 13525 df-seq 14020 df-fac 14292 df-bc 14321

This theorem is referenced by: lcmineqlem19 42060

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