lcmineqlem18 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem18 42034

Description: Technical lemma to shift factors in binomial coefficient. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lcmineqlem18.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem18	⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

**Proof of Theorem lcmineqlem18**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2		2z 12565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4		lcmineqlem18.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	zmulcld 12644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
8	5	peano2zd 12641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9	4	nnred 12201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10		1red 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11	4	nnnn0d 12503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
12	11	nn0ge0d 12506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
13		0le1 11701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 1
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
15	9, 10, 12, 14	addge0d 11754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
16	9, 10	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
17	16, 9	addge01d 11766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁)))
18	12, 17	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁))
19	9	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
20		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20, 19	add32d 11402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
22	19	2timesd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
23	22	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
24	23	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
25	21, 24	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((2 · 𝑁) + 1))
26	18, 25	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
27	1, 7, 8, 15, 26	elfzd 13476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)))
28		bcval2 14270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
30	6	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
31	30, 20, 19, 20	addsub4d 11580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)))
32	22	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁))
33	19, 19	pncand 11534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
34	32, 33	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
35		1m1e0 12258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 − 1) = 0
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
37	34, 36	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = (𝑁 + 0))
38	19	addridd 11374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
39	37, 38	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = 𝑁)
40	31, 39	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
41	40	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (!‘𝑁))
42	41	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))))
43	42	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
44	29, 43	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
45		faccl 14248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
46	11, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
47	46	nncnd 12202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
48		1nn0 12458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ₀)
50	11, 49	nn0addcld 12507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
51		faccl 14248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
53	52	nncnd 12202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
54	47, 53	mulcomd 11195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))
55		facp1 14243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
56	11, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
57	19, 20	addcld 11193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
58	47, 57	mulcomd 11195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
59	56, 58	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
60	59	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)))
61	57, 47, 47	mulassd 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
62	60, 61	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
63	54, 62	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
64	63	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
65	44, 64	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
66		2nn0 12459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ₀)
68	67, 11	nn0mulcld 12508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ₀)
69		facp1 14243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
71		faccl 14248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
72	68, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
73	72	nncnd 12202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
74	30, 20	addcld 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
75	73, 74	mulcomd 11195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
76	70, 75	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
77	76	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
78	65, 77	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
79	78	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
80	74, 73	mulcld 11194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
81	47, 47	mulcld 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
82	57, 81	mulcld 11194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
83	4	peano2nnd 12203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
84	83	nnne0d 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
85	46	nnne0d 12236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0)
86	47, 47, 85, 85	mulne0d 11830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
87	57, 81, 84, 86	mulne0d 11830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ≠ 0)
88	57, 80, 82, 87	divassd 11993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
89	88	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
90	79, 89	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
91	57, 57, 80, 81, 84, 86	divmuldivd 11999	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
92	91	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
93	90, 92	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
94	57, 84	dividd 11956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1)
95	94	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
96	80, 81, 86	divcld 11958	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
97	96	mullidd 11192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
98	95, 97	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
99	93, 98	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
100	74, 73, 81, 86	divassd 11993	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
101	99, 100	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
102	9, 9	addge01d 11766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
103	22	breq2d 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
104	102, 103	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
105	12, 104	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
106	1, 6, 5, 12, 105	elfzd 13476	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
107		bcval2 14270	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
108	106, 107	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
109	34	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) = (!‘𝑁))
110	109	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))
111	110	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
112	108, 111	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
113	112	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
114	113	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
115	101, 114	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 class class class wbr 5107 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 0cc0 11068 1c1 11069 + caddc 11071 · cmul 11073 ≤ cle 11209 − cmin 11405 / cdiv 11835 ℕcn 12186 2c2 12241 ℕ₀cn0 12442 ℤcz 12529 ...cfz 13468 !cfa 14238 Ccbc 14267

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-n0 12443 df-z 12530 df-uz 12794 df-fz 13469 df-seq 13967 df-fac 14239 df-bc 14268

This theorem is referenced by: lcmineqlem19 42035

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