lcmineqlem18 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem18 39334

Description: Technical lemma to shift factors in binomial coefficient. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lcmineqlem18.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem18	⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

**Proof of Theorem lcmineqlem18**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 11981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2		2z 12002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4		lcmineqlem18.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	zmulcld 12081	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
8	5	peano2zd 12078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9	1, 7, 8	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ))
10	4	nnred 11640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
11		1red 10631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12	4	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
13	12	nn0ge0d 11946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
14		0le1 11152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≤ 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
16	10, 11, 13, 15	addge0d 11205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
17	10, 11	readdcld 10659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
18	17, 10	addge01d 11217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁)))
19	13, 18	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁))
20	10	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
21		1cnd 10625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21, 20	add32d 10856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
23	20	2timesd 11868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
24	23	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
25	24	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
26	22, 25	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((2 · 𝑁) + 1))
27	19, 26	breqtrd 5056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
28	16, 27	jca 515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1)))
29	9, 28	jca 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))))
30		elfz2 12892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))))
31	29, 30	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)))
32		bcval2 13661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
34	6	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
35	34, 21, 20, 21	addsub4d 11033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)))
36	23	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁))
37	20, 20	pncand 10987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
38	36, 37	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
39		1m1e0 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 − 1) = 0
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
41	38, 40	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = (𝑁 + 0))
42	20	addid1d 10829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
43	41, 42	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = 𝑁)
44	35, 43	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
45	44	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (!‘𝑁))
46	45	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))))
47	46	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
48	33, 47	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
49		faccl 13639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
50	12, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
51	50	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
52		1nn0 11901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ₀)
54	12, 53	nn0addcld 11947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
55		faccl 13639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
57	56	nncnd 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
58	51, 57	mulcomd 10651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))
59		facp1 13634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
60	12, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
61	20, 21	addcld 10649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
62	51, 61	mulcomd 10651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
63	60, 62	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
64	63	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)))
65	61, 51, 51	mulassd 10653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
66	64, 65	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
67	58, 66	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
68	67	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
69	48, 68	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
70		2nn0 11902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ₀)
72	71, 12	nn0mulcld 11948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ₀)
73		facp1 13634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
75		faccl 13639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
76	72, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
77	76	nncnd 11641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
78	34, 21	addcld 10649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
79	77, 78	mulcomd 10651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
80	74, 79	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
81	80	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
82	69, 81	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
83	82	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
84	78, 77	mulcld 10650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
85	51, 51	mulcld 10650	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
86	61, 85	mulcld 10650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
87	4	peano2nnd 11642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
88	87	nnne0d 11675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
89	50	nnne0d 11675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0)
90	51, 51, 89, 89	mulne0d 11281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
91	61, 85, 88, 90	mulne0d 11281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ≠ 0)
92	61, 84, 86, 91	divassd 11440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
93	92	eqcomd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
94	83, 93	eqtrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
95	61, 61, 84, 85, 88, 90	divmuldivd 11446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
96	95	eqcomd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
97	94, 96	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
98	61, 88	dividd 11403	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1)
99	98	oveq1d 7150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
100	84, 85, 90	divcld 11405	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
101	100	mulid2d 10648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
102	99, 101	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
103	97, 102	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
104	78, 77, 85, 90	divassd 11440	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
105	103, 104	eqtrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
106	1, 6, 5	3jca 1125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
107	10, 10	addge01d 11217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
108	23	breq2d 5042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
109	107, 108	bitr4d 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
110	13, 109	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
111	13, 110	jca 515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
112	106, 111	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))))
113		elfz2 12892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))))
114	112, 113	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
115		bcval2 13661	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
116	114, 115	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
117	38	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) = (!‘𝑁))
118	117	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))
119	118	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
120	116, 119	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
121	120	oveq2d 7151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
122	121	eqcomd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
123	105, 122	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 class class class wbr 5030 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 ≤ cle 10665 − cmin 10859 / cdiv 11286 ℕcn 11625 2c2 11680 ℕ₀cn0 11885 ℤcz 11969 ...cfz 12885 !cfa 13629 Ccbc 13658

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-nn 11626 df-2 11688 df-n0 11886 df-z 11970 df-uz 12232 df-fz 12886 df-seq 13365 df-fac 13630 df-bc 13659

This theorem is referenced by: lcmineqlem19 39335

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