lcmineqlem18 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem18 39598

Description: Technical lemma to shift factors in binomial coefficient. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lcmineqlem18.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem18	⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

**Proof of Theorem lcmineqlem18**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2		2z 12038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4		lcmineqlem18.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	zmulcld 12117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
8	5	peano2zd 12114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9	1, 7, 8	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ))
10	4	nnred 11674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
11		1red 10665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
12	4	nnnn0d 11979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
13	12	nn0ge0d 11982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
14		0le1 11186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≤ 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
16	10, 11, 13, 15	addge0d 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
17	10, 11	readdcld 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
18	17, 10	addge01d 11251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁)))
19	13, 18	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁))
20	10	recnd 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
21		1cnd 10659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21, 20	add32d 10890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
23	20	2timesd 11902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
24	23	oveq1d 7158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
25	24	eqcomd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
26	22, 25	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((2 · 𝑁) + 1))
27	19, 26	breqtrd 5051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
28	16, 27	jca 516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1)))
29	9, 28	jca 516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))))
30		elfz2 12931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))))
31	29, 30	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)))
32		bcval2 13700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
34	6	zcnd 12112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
35	34, 21, 20, 21	addsub4d 11067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)))
36	23	oveq1d 7158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁))
37	20, 20	pncand 11021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
38	36, 37	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
39		1m1e0 11731	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 − 1) = 0
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
41	38, 40	oveq12d 7161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = (𝑁 + 0))
42	20	addid1d 10863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
43	41, 42	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = 𝑁)
44	35, 43	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
45	44	fveq2d 6655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (!‘𝑁))
46	45	oveq1d 7158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))))
47	46	oveq2d 7159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
48	33, 47	eqtrd 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
49		faccl 13678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
50	12, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
51	50	nncnd 11675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
52		1nn0 11935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ₀)
54	12, 53	nn0addcld 11983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
55		faccl 13678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
57	56	nncnd 11675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
58	51, 57	mulcomd 10685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))
59		facp1 13673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
60	12, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
61	20, 21	addcld 10683	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
62	51, 61	mulcomd 10685	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
63	60, 62	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
64	63	oveq1d 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)))
65	61, 51, 51	mulassd 10687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
66	64, 65	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
67	58, 66	eqtrd 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
68	67	oveq2d 7159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
69	48, 68	eqtrd 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
70		2nn0 11936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ₀)
72	71, 12	nn0mulcld 11984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ₀)
73		facp1 13673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
75		faccl 13678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
76	72, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
77	76	nncnd 11675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
78	34, 21	addcld 10683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
79	77, 78	mulcomd 10685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
80	74, 79	eqtrd 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
81	80	oveq1d 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
82	69, 81	eqtrd 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
83	82	oveq2d 7159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
84	78, 77	mulcld 10684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
85	51, 51	mulcld 10684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
86	61, 85	mulcld 10684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
87	4	peano2nnd 11676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
88	87	nnne0d 11709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
89	50	nnne0d 11709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0)
90	51, 51, 89, 89	mulne0d 11315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
91	61, 85, 88, 90	mulne0d 11315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ≠ 0)
92	61, 84, 86, 91	divassd 11474	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
93	92	eqcomd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
94	83, 93	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
95	61, 61, 84, 85, 88, 90	divmuldivd 11480	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
96	95	eqcomd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
97	94, 96	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
98	61, 88	dividd 11437	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1)
99	98	oveq1d 7158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
100	84, 85, 90	divcld 11439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
101	100	mulid2d 10682	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
102	99, 101	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
103	97, 102	eqtrd 2794	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
104	78, 77, 85, 90	divassd 11474	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
105	103, 104	eqtrd 2794	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
106	1, 6, 5	3jca 1126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
107	10, 10	addge01d 11251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
108	23	breq2d 5037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
109	107, 108	bitr4d 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
110	13, 109	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
111	13, 110	jca 516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
112	106, 111	jca 516	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))))
113		elfz2 12931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))))
114	112, 113	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
115		bcval2 13700	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
116	114, 115	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
117	38	fveq2d 6655	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) = (!‘𝑁))
118	117	oveq1d 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))
119	118	oveq2d 7159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
120	116, 119	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
121	120	oveq2d 7159	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
122	121	eqcomd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
123	105, 122	eqtrd 2794	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 400 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∈ wcel 2112 class class class wbr 5025 ‘cfv 6328 (class class class)co 7143 0cc0 10560 1c1 10561 + caddc 10563 · cmul 10565 ≤ cle 10699 − cmin 10893 / cdiv 11320 ℕcn 11659 2c2 11714 ℕ₀cn0 11919 ℤcz 12005 ...cfz 12924 !cfa 13668 Ccbc 13697

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1912 ax-6 1971 ax-7 2016 ax-8 2114 ax-9 2122 ax-10 2143 ax-11 2159 ax-12 2176 ax-ext 2730 ax-sep 5162 ax-nul 5169 ax-pow 5227 ax-pr 5291 ax-un 7452 ax-cnex 10616 ax-resscn 10617 ax-1cn 10618 ax-icn 10619 ax-addcl 10620 ax-addrcl 10621 ax-mulcl 10622 ax-mulrcl 10623 ax-mulcom 10624 ax-addass 10625 ax-mulass 10626 ax-distr 10627 ax-i2m1 10628 ax-1ne0 10629 ax-1rid 10630 ax-rnegex 10631 ax-rrecex 10632 ax-cnre 10633 ax-pre-lttri 10634 ax-pre-lttrn 10635 ax-pre-ltadd 10636 ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 846 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2071 df-mo 2558 df-eu 2589 df-clab 2737 df-cleq 2751 df-clel 2831 df-nfc 2899 df-ne 2950 df-nel 3054 df-ral 3073 df-rex 3074 df-reu 3075 df-rmo 3076 df-rab 3077 df-v 3409 df-sbc 3694 df-csb 3802 df-dif 3857 df-un 3859 df-in 3861 df-ss 3871 df-pss 3873 df-nul 4222 df-if 4414 df-pw 4489 df-sn 4516 df-pr 4518 df-tp 4520 df-op 4522 df-uni 4792 df-iun 4878 df-br 5026 df-opab 5088 df-mpt 5106 df-tr 5132 df-id 5423 df-eprel 5428 df-po 5436 df-so 5437 df-fr 5476 df-we 5478 df-xp 5523 df-rel 5524 df-cnv 5525 df-co 5526 df-dm 5527 df-rn 5528 df-res 5529 df-ima 5530 df-pred 6119 df-ord 6165 df-on 6166 df-lim 6167 df-suc 6168 df-iota 6287 df-fun 6330 df-fn 6331 df-f 6332 df-f1 6333 df-fo 6334 df-f1o 6335 df-fv 6336 df-riota 7101 df-ov 7146 df-oprab 7147 df-mpo 7148 df-om 7573 df-1st 7686 df-2nd 7687 df-wrecs 7950 df-recs 8011 df-rdg 8049 df-er 8292 df-en 8521 df-dom 8522 df-sdom 8523 df-pnf 10700 df-mnf 10701 df-xr 10702 df-ltxr 10703 df-le 10704 df-sub 10895 df-neg 10896 df-div 11321 df-nn 11660 df-2 11722 df-n0 11920 df-z 12006 df-uz 12268 df-fz 12925 df-seq 13404 df-fac 13669 df-bc 13698

This theorem is referenced by: lcmineqlem19 39599

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