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Theorem lcmineqlem18 42028
Description: Technical lemma to shift factors in binomial coefficient. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
lcmineqlem18.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem18 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem18
StepHypRef Expression
1 0zd 12623 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2 2z 12647 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4 lcmineqlem18.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
63, 5zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
76peano2zd 12723 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
85peano2zd 12723 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
94nnred 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
10 1red 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
114nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1211nn0ge0d 12588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
13 0le1 11784 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 1)
159, 10, 12, 14addge0d 11837 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
169, 10readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1716, 9addge01d 11849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁)))
1812, 17mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁))
199recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
20 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2119, 20, 19add32d 11487 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
22192timesd 12507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
2322oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
2423eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
2521, 24eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((2 · 𝑁) + 1))
2618, 25breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
271, 7, 8, 15, 26elfzd 13552 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)))
28 bcval2 14341 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
306zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
3130, 20, 19, 20addsub4d 11665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)))
3222oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁))
3319, 19pncand 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
3432, 33eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
35 1m1e0 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 − 1) = 0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
3734, 36oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = (𝑁 + 0))
3819addridd 11459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
3937, 38eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = 𝑁)
4031, 39eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
4140fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (!‘𝑁))
4241oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))))
4342oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
4429, 43eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
45 faccl 14319 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
4611, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
4746nncnd 12280 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
48 1nn0 12540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
5011, 49nn0addcld 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
51 faccl 14319 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5352nncnd 12280 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
5447, 53mulcomd 11280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))
55 facp1 14314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
5611, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
5719, 20addcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5847, 57mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
5956, 58eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
6059oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)))
6157, 47, 47mulassd 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
6260, 61eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
6354, 62eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
6463oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
6544, 64eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
66 2nn0 12541 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
6867, 11nn0mulcld 12590 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
69 facp1 14314 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
71 faccl 14319 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
7268, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
7372nncnd 12280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
7430, 20addcld 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
7573, 74mulcomd 11280 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
7670, 75eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
7776oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
7865, 77eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
7978oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
8074, 73mulcld 11279 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
8147, 47mulcld 11279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
8257, 81mulcld 11279 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
834peano2nnd 12281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
8483nnne0d 12314 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
8546nnne0d 12314 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0)
8647, 47, 85, 85mulne0d 11913 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
8757, 81, 84, 86mulne0d 11913 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ≠ 0)
8857, 80, 82, 87divassd 12076 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
8988eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9079, 89eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9157, 57, 80, 81, 84, 86divmuldivd 12082 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9291eqcomd 2741 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9390, 92eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9457, 84dividd 12039 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1)
9594oveq1d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9680, 81, 86divcld 12041 . . . . . 6 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
9796mullidd 11277 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
9895, 97eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
9993, 98eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
10074, 73, 81, 86divassd 12076 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
10199, 100eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
1029, 9addge01d 11849 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ 𝑁𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
10322breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
104102, 103bitr4d 282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ 𝑁𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
10512, 104mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
1061, 6, 5, 12, 105elfzd 13552 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
107 bcval2 14341 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
108106, 107syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
10934fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) = (!‘𝑁))
110109oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))
111110oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
112108, 111eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
113112oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
114113eqcomd 2741 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
115101, 114eqtrd 2775 1 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  !cfa 14309  Ccbc 14338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-fac 14310  df-bc 14339
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