lcmineqlem18 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem18 40054

Description: Technical lemma to shift factors in binomial coefficient. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lcmineqlem18.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem18	⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

**Proof of Theorem lcmineqlem18**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		0zd 12331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2		2z 12352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4		lcmineqlem18.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	3, 5	zmulcld 12432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 12429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
8	5	peano2zd 12429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9	4	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
10		1red 10976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
11	4	nnnn0d 12293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
12	11	nn0ge0d 12296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
13		0le1 11498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 1
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
15	9, 10, 12, 14	addge0d 11551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
16	9, 10	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
17	16, 9	addge01d 11563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁)))
18	12, 17	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁))
19	9	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
20		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
21	19, 20, 19	add32d 11202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
22	19	2timesd 12216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
23	22	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
24	23	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
25	21, 24	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((2 · 𝑁) + 1))
26	18, 25	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
27	1, 7, 8, 15, 26	elfzd 13247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)))
28		bcval2 14019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
30	6	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
31	30, 20, 19, 20	addsub4d 11379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)))
32	22	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁))
33	19, 19	pncand 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
34	32, 33	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
35		1m1e0 12045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 − 1) = 0
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
37	34, 36	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = (𝑁 + 0))
38	19	addid1d 11175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
39	37, 38	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = 𝑁)
40	31, 39	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
41	40	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (!‘𝑁))
42	41	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))))
43	42	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
44	29, 43	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
45		faccl 13997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
46	11, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
47	46	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
48		1nn0 12249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ₀)
50	11, 49	nn0addcld 12297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
51		faccl 13997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
53	52	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
54	47, 53	mulcomd 10996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))
55		facp1 13992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
56	11, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
57	19, 20	addcld 10994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
58	47, 57	mulcomd 10996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
59	56, 58	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
60	59	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)))
61	57, 47, 47	mulassd 10998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
62	60, 61	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
63	54, 62	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
64	63	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
65	44, 64	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
66		2nn0 12250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ₀)
68	67, 11	nn0mulcld 12298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ₀)
69		facp1 13992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
71		faccl 13997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
72	68, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
73	72	nncnd 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
74	30, 20	addcld 10994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
75	73, 74	mulcomd 10996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
76	70, 75	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
77	76	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
78	65, 77	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
79	78	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
80	74, 73	mulcld 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
81	47, 47	mulcld 10995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
82	57, 81	mulcld 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
83	4	peano2nnd 11990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
84	83	nnne0d 12023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
85	46	nnne0d 12023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0)
86	47, 47, 85, 85	mulne0d 11627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
87	57, 81, 84, 86	mulne0d 11627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ≠ 0)
88	57, 80, 82, 87	divassd 11786	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
89	88	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
90	79, 89	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
91	57, 57, 80, 81, 84, 86	divmuldivd 11792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
92	91	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
93	90, 92	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
94	57, 84	dividd 11749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1)
95	94	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
96	80, 81, 86	divcld 11751	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
97	96	mulid2d 10993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
98	95, 97	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
99	93, 98	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
100	74, 73, 81, 86	divassd 11786	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
101	99, 100	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
102	9, 9	addge01d 11563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
103	22	breq2d 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
104	102, 103	bitr4d 281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
105	12, 104	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
106	1, 6, 5, 12, 105	elfzd 13247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
107		bcval2 14019	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
108	106, 107	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
109	34	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) = (!‘𝑁))
110	109	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))
111	110	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
112	108, 111	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
113	112	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
114	113	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
115	101, 114	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 class class class wbr 5074 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 ≤ cle 11010 − cmin 11205 / cdiv 11632 ℕcn 11973 2c2 12028 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ...cfz 13239 !cfa 13987 Ccbc 14016

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-fz 13240 df-seq 13722 df-fac 13988 df-bc 14017

This theorem is referenced by: lcmineqlem19 40055

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