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Theorem lcmineqlem18 39295
Description: Technical lemma to shift factors in binomial coefficient. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
lcmineqlem18.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem18 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem18
StepHypRef Expression
1 0zd 11981 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2 2z 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4 lcmineqlem18.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnzd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
63, 5zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
76peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
85peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
91, 7, 83jca 1125 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ))
104nnred 11640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
11 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
124nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1312nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
14 0le1 11152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ 1)
1610, 11, 13, 15addge0d 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
1710, 11readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1817, 10addge01d 11217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁)))
1913, 18mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁))
2010recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
21 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2220, 21, 20add32d 10856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
23202timesd 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
2423oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
2524eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
2622, 25eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((2 · 𝑁) + 1))
2719, 26breqtrd 5068 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
2816, 27jca 515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1)))
299, 28jca 515 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))))
30 elfz2 12892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))))
3129, 30sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)))
32 bcval2 13661 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
346zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
3534, 21, 20, 21addsub4d 11033 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)))
3623oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁))
3720, 20pncand 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
3836, 37eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
39 1m1e0 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 − 1) = 0
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
4138, 40oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = (𝑁 + 0))
4220addid1d 10829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
4341, 42eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = 𝑁)
4435, 43eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
4544fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (!‘𝑁))
4645oveq1d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))))
4746oveq2d 7156 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
4833, 47eqtrd 2857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
49 faccl 13639 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
5012, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
5150nncnd 11641 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
52 1nn0 11901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
5412, 53nn0addcld 11947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
55 faccl 13639 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5756nncnd 11641 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
5851, 57mulcomd 10651 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))
59 facp1 13634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
6012, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
6120, 21addcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
6251, 61mulcomd 10651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
6360, 62eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
6463oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)))
6561, 51, 51mulassd 10653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
6664, 65eqtrd 2857 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
6758, 66eqtrd 2857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
6867oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
6948, 68eqtrd 2857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
70 2nn0 11902 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
7271, 12nn0mulcld 11948 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
73 facp1 13634 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
75 faccl 13639 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
7672, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
7776nncnd 11641 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
7834, 21addcld 10649 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
7977, 78mulcomd 10651 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
8074, 79eqtrd 2857 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
8180oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
8269, 81eqtrd 2857 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
8382oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
8478, 77mulcld 10650 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
8551, 51mulcld 10650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
8661, 85mulcld 10650 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
874peano2nnd 11642 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
8887nnne0d 11675 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
8950nnne0d 11675 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0)
9051, 51, 89, 89mulne0d 11281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
9161, 85, 88, 90mulne0d 11281 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ≠ 0)
9261, 84, 86, 91divassd 11440 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
9392eqcomd 2828 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9483, 93eqtrd 2857 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9561, 61, 84, 85, 88, 90divmuldivd 11446 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9695eqcomd 2828 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9794, 96eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9861, 88dividd 11403 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1)
9998oveq1d 7155 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
10084, 85, 90divcld 11405 . . . . . 6 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
101100mulid2d 10648 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
10299, 101eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
10397, 102eqtrd 2857 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
10478, 77, 85, 90divassd 11440 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
105103, 104eqtrd 2857 . 2 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
1061, 6, 53jca 1125 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
10710, 10addge01d 11217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ 𝑁𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
10823breq2d 5054 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
109107, 108bitr4d 285 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ 𝑁𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
11013, 109mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
11113, 110jca 515 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ 𝑁𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
112106, 111jca 515 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑁𝑁 ≤ (2 · 𝑁))))
113 elfz2 12892 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑁𝑁 ≤ (2 · 𝑁))))
114112, 113sylibr 237 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
115 bcval2 13661 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
116114, 115syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
11738fveq2d 6656 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) = (!‘𝑁))
118117oveq1d 7155 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))
119118oveq2d 7156 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
120116, 119eqtrd 2857 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
121120oveq2d 7156 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
122121eqcomd 2828 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
123105, 122eqtrd 2857 1 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12885  !cfa 13629  Ccbc 13658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-seq 13365  df-fac 13630  df-bc 13659
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