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Theorem lcmineqlem18 40503
Description: Technical lemma to shift factors in binomial coefficient. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
lcmineqlem18.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem18 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem18
StepHypRef Expression
1 0zd 12511 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
2 2z 12535 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4 lcmineqlem18.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
63, 5zmulcld 12613 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
76peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
85peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
94nnred 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
10 1red 11156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
114nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1211nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
13 0le1 11678 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 1)
159, 10, 12, 14addge0d 11731 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
169, 10readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1716, 9addge01d 11743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁)))
1812, 17mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 𝑁))
199recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
20 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2119, 20, 19add32d 11382 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
22192timesd 12396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
2322oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) = ((𝑁 + 𝑁) + 1))
2423eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) + 1) = ((2 · 𝑁) + 1))
2521, 24eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + 1) + 𝑁) = ((2 · 𝑁) + 1))
2618, 25breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ ((2 · 𝑁) + 1))
271, 7, 8, 15, 26elfzd 13432 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)))
28 bcval2 14205 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((2 · 𝑁) + 1)) → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))))
306zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
3130, 20, 19, 20addsub4d 11559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)))
3222oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁))
3319, 19pncand 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
3432, 33eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁)
35 1m1e0 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 − 1) = 0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
3734, 36oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = (𝑁 + 0))
3819addid1d 11355 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
3937, 38eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − 𝑁) + (1 − 1)) = 𝑁)
4031, 39eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1)) = 𝑁)
4140fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) = (!‘𝑁))
4241oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))))
4342oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘(((2 · 𝑁) + 1) − (𝑁 + 1))) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
4429, 43eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))))
45 faccl 14183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
4611, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
4746nncnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
48 1nn0 12429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
5011, 49nn0addcld 12477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
51 faccl 14183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
5352nncnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
5447, 53mulcomd 11176 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)))
55 facp1 14178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
5611, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)))
5719, 20addcld 11174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5847, 57mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
5956, 58eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘(𝑁 + 1)) = ((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)))
6059oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)))
6157, 47, 47mulassd 11178 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (!‘𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
6260, 61eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((!‘(𝑁 + 1)) · (!‘𝑁)) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
6354, 62eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
6463oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((!‘𝑁) · (!‘(𝑁 + 1)))) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
6544, 64eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
66 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
6867, 11nn0mulcld 12478 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
69 facp1 14178 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)))
71 faccl 14183 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
7268, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
7372nncnd 12169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
7430, 20addcld 11174 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
7573, 74mulcomd 11176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) · ((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
7670, 75eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) + 1)) = (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))))
7776oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) + 1)) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
7865, 77eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1)) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
7978oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
8074, 73mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
8147, 47mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
8257, 81mulcld 11175 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
834peano2nnd 12170 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
8483nnne0d 12203 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
8546nnne0d 12203 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘𝑁) ≠ 0)
8647, 47, 85, 85mulne0d 11807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
8757, 81, 84, 86mulne0d 11807 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ≠ 0)
8857, 80, 82, 87divassd 11966 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))))
8988eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9079, 89eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9157, 57, 80, 81, 84, 86divmuldivd 11972 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9291eqcomd 2742 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁)))) / ((𝑁 + 1) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9390, 92eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9457, 84dividd 11929 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1)
9594oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
9680, 81, 86divcld 11931 . . . . . 6 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) ∈ ℂ)
9796mulid2d 11173 . . . . 5 (𝜑 → (1 · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
9895, 97eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) · ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
9993, 98eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
10074, 73, 81, 86divassd 11966 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) + 1) · (!‘(2 · 𝑁))) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
10199, 100eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
1029, 9addge01d 11743 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ 𝑁𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
10322breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + 𝑁)))
104102, 103bitr4d 281 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ 𝑁𝑁 ≤ (2 · 𝑁)))
10512, 104mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≤ (2 · 𝑁))
1061, 6, 5, 12, 105elfzd 13432 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
107 bcval2 14205 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
108106, 107syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))))
10934fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) = (!‘𝑁))
110109oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁)) = ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))
111110oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘((2 · 𝑁) − 𝑁)) · (!‘𝑁))) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
112108, 111eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
113112oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))))
114113eqcomd 2742 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁) + 1) · ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
115101, 114eqtrd 2776 1 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (((2 · 𝑁) + 1)C(𝑁 + 1))) = (((2 · 𝑁) + 1) · ((2 · 𝑁)C𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  !cfa 14173  Ccbc 14202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-seq 13907  df-fac 14174  df-bc 14203
This theorem is referenced by:  lcmineqlem19  40504
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