Theorem dcubic1 25900

Description: Forward direction of dcubic 25901: the claimed formula produces solutions to the cubic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcubic.c	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3	⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
dcubic.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2	⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
dcubic1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))

Assertion

Ref	Expression
dcubic1	⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

Proof of Theorem dcubic1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dcubic.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
2	1	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((𝐺 − 𝑁)↑2))
3		dcubic.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
4		dcubic.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
5		dcubic.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
6	5	halfcld 12148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 2) ∈ ℂ)
7	4, 6	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		binom2sub 13863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐺 − 𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
9	3, 7, 8	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
10		dcubic.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
11		2cnd 11981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
12	11, 3, 7	mul12d 11114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝐺 · (2 · 𝑁)))
13	4	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (2 · (𝑄 / 2)))
14		2ne0 12007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
16	5, 11, 15	divcan2d 11683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 / 2)) = 𝑄)
17	13, 16	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = 𝑄)
18	17	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · (2 · 𝑁)) = (𝐺 · 𝑄))
19	3, 5	mulcomd 10927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · 𝑄) = (𝑄 · 𝐺))
20	12, 18, 19	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝑄 · 𝐺))
21	10, 20	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) = (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
22	21	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
23	2, 9, 22	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
24	7	sqcld 13790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
25		dcubic.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
26		dcubic.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
27		3cn 11984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
29		3ne0 12009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
31	26, 28, 30	divcld 11681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
32	25, 31	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
33		3nn0 12181	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
34		expcl 13728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
35	32, 33, 34	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
36	24, 35	addcld 10925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
37	5, 3	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ)
38	36, 24, 37	addsubd 11283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
39	24, 35, 24	add32d 11132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
40	24	2timesd 12146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = ((𝑁↑2) + (𝑁↑2)))
41	40	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
42	39, 41	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
43	42	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
44	23, 38, 43	3eqtr2d 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
45	5, 3, 7	subdid 11361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝐺 − 𝑁)) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
46	1	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = (𝑄 · (𝐺 − 𝑁)))
47	7	sqvald 13789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
48	47	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
49	11, 7, 7	mulassd 10929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
50	17	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (𝑄 · 𝑁))
51	48, 49, 50	3eqtr2d 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (𝑄 · 𝑁))
52	51	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
53	45, 46, 52	3eqtr4d 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))))
54	53	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)))
55		2cn 11978	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
56		mulcl 10886	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℂ) → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
57	55, 24, 56	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
58	37, 57, 35	subsub4d 11293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
59	54, 58	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
60	44, 59	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))))
61	57, 35	addcld 10925	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
62		npncan2 11178	. . . 4 ⊢ ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ ∧ (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ) → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
63	61, 37, 62	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
64	60, 63	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0)
65		dcubic.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
66		dcubic.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
67		dcubic.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
68		dcubic1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))
69	26, 5, 65, 66, 1, 3, 10, 25, 4, 67, 66, 67, 68	dcubic1lem 25898	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
70	64, 69	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  3c3 11959  ℕ₀cn0 12163  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-dvds 15892

This theorem is referenced by:  dcubic  25901