Theorem dcubic1 26903

Description: Forward direction of dcubic 26904: the claimed formula produces solutions to the cubic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcubic.c	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3	⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
dcubic.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2	⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
dcubic1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))

Assertion

Ref	Expression
dcubic1	⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

Proof of Theorem dcubic1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dcubic.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
2	1	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((𝐺 − 𝑁)↑2))
3		dcubic.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
4		dcubic.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
5		dcubic.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
6	5	halfcld 12509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 2) ∈ ℂ)
7	4, 6	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		binom2sub 14256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐺 − 𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
9	3, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
10		dcubic.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
11		2cnd 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
12	11, 3, 7	mul12d 11468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝐺 · (2 · 𝑁)))
13	4	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (2 · (𝑄 / 2)))
14		2ne0 12368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
16	5, 11, 15	divcan2d 12043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 / 2)) = 𝑄)
17	13, 16	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = 𝑄)
18	17	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · (2 · 𝑁)) = (𝐺 · 𝑄))
19	3, 5	mulcomd 11280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · 𝑄) = (𝑄 · 𝐺))
20	12, 18, 19	3eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝑄 · 𝐺))
21	10, 20	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) = (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
22	21	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
23	2, 9, 22	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
24	7	sqcld 14181	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
25		dcubic.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
26		dcubic.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
27		3cn 12345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
29		3ne0 12370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
31	26, 28, 30	divcld 12041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
32	25, 31	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
33		3nn0 12542	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
34		expcl 14117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
35	32, 33, 34	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
36	24, 35	addcld 11278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
37	5, 3	mulcld 11279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ)
38	36, 24, 37	addsubd 11639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
39	24, 35, 24	add32d 11487	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
40	24	2timesd 12507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = ((𝑁↑2) + (𝑁↑2)))
41	40	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
42	39, 41	eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
43	42	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
44	23, 38, 43	3eqtr2d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
45	5, 3, 7	subdid 11717	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝐺 − 𝑁)) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
46	1	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = (𝑄 · (𝐺 − 𝑁)))
47	7	sqvald 14180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
48	47	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
49	11, 7, 7	mulassd 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
50	17	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (𝑄 · 𝑁))
51	48, 49, 50	3eqtr2d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (𝑄 · 𝑁))
52	51	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
53	45, 46, 52	3eqtr4d 2785	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))))
54	53	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)))
55		2cn 12339	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
56		mulcl 11237	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℂ) → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
57	55, 24, 56	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
58	37, 57, 35	subsub4d 11649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
59	54, 58	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
60	44, 59	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))))
61	57, 35	addcld 11278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
62		npncan2 11534	. . . 4 ⊢ ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ ∧ (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ) → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
63	61, 37, 62	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
64	60, 63	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0)
65		dcubic.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
66		dcubic.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
67		dcubic.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
68		dcubic1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))
69	26, 5, 65, 66, 1, 3, 10, 25, 4, 67, 66, 67, 68	dcubic1lem 26901	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
70	64, 69	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  3c3 12320  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-dvds 16288

This theorem is referenced by:  dcubic  26904