Theorem dcubic1 25114

Description: Forward direction of dcubic 25115: the claimed formula produces solutions to the cubic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcubic.c	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3	⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
dcubic.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2	⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
dcubic1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))

Assertion

Ref	Expression
dcubic1	⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

Proof of Theorem dcubic1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dcubic.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
2	1	oveq1d 6985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((𝐺 − 𝑁)↑2))
3		dcubic.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
4		dcubic.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
5		dcubic.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
6	5	halfcld 11685	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 2) ∈ ℂ)
7	4, 6	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		binom2sub 13389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐺 − 𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
9	3, 7, 8	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
10		dcubic.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
11		2cnd 11511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
12	11, 3, 7	mul12d 10641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝐺 · (2 · 𝑁)))
13	4	oveq2d 6986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (2 · (𝑄 / 2)))
14		2ne0 11544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
16	5, 11, 15	divcan2d 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 / 2)) = 𝑄)
17	13, 16	eqtrd 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = 𝑄)
18	17	oveq2d 6986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · (2 · 𝑁)) = (𝐺 · 𝑄))
19	3, 5	mulcomd 10453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · 𝑄) = (𝑄 · 𝐺))
20	12, 18, 19	3eqtrd 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝑄 · 𝐺))
21	10, 20	oveq12d 6988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) = (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
22	21	oveq1d 6985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
23	2, 9, 22	3eqtrd 2812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
24	7	sqcld 13316	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
25		dcubic.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
26		dcubic.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
27		3cn 11514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
29		3ne0 11546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
31	26, 28, 30	divcld 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
32	25, 31	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
33		3nn0 11720	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
34		expcl 13255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
35	32, 33, 34	sylancl 577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
36	24, 35	addcld 10451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
37	5, 3	mulcld 10452	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ)
38	36, 24, 37	addsubd 10811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
39	24, 35, 24	add32d 10659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
40	24	2timesd 11683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = ((𝑁↑2) + (𝑁↑2)))
41	40	oveq1d 6985	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
42	39, 41	eqtr4d 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
43	42	oveq1d 6985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
44	23, 38, 43	3eqtr2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
45	5, 3, 7	subdid 10889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝐺 − 𝑁)) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
46	1	oveq2d 6986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = (𝑄 · (𝐺 − 𝑁)))
47	7	sqvald 13315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
48	47	oveq2d 6986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
49	11, 7, 7	mulassd 10455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
50	17	oveq1d 6985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (𝑄 · 𝑁))
51	48, 49, 50	3eqtr2d 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (𝑄 · 𝑁))
52	51	oveq2d 6986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
53	45, 46, 52	3eqtr4d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))))
54	53	oveq1d 6985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)))
55		2cn 11508	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
56		mulcl 10411	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℂ) → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
57	55, 24, 56	sylancr 578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
58	37, 57, 35	subsub4d 10821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
59	54, 58	eqtrd 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
60	44, 59	oveq12d 6988	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))))
61	57, 35	addcld 10451	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
62		npncan2 10706	. . . 4 ⊢ ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ ∧ (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ) → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
63	61, 37, 62	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
64	60, 63	eqtrd 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0)
65		dcubic.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
66		dcubic.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
67		dcubic.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
68		dcubic1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))
69	26, 5, 65, 66, 1, 3, 10, 25, 4, 67, 66, 67, 68	dcubic1lem 25112	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
70	64, 69	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ≠ wne 2961  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  0cc0 10327   + caddc 10330   · cmul 10332   − cmin 10662   / cdiv 11090  2c2 11488  3c3 11489  ℕ₀cn0 11700  ↑cexp 13237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-seq 13178  df-exp 13238  df-dvds 15458

This theorem is referenced by:  dcubic  25115