Theorem dcubic1 26888

Description: Forward direction of dcubic 26889: the claimed formula produces solutions to the cubic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcubic.c	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3	⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
dcubic.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2	⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
dcubic1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))

Assertion

Ref	Expression
dcubic1	⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

Proof of Theorem dcubic1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dcubic.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
2	1	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((𝐺 − 𝑁)↑2))
3		dcubic.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
4		dcubic.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
5		dcubic.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
6	5	halfcld 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 2) ∈ ℂ)
7	4, 6	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		binom2sub 14259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐺 − 𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
9	3, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
10		dcubic.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
11		2cnd 12344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
12	11, 3, 7	mul12d 11470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝐺 · (2 · 𝑁)))
13	4	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (2 · (𝑄 / 2)))
14		2ne0 12370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
16	5, 11, 15	divcan2d 12045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 / 2)) = 𝑄)
17	13, 16	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = 𝑄)
18	17	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · (2 · 𝑁)) = (𝐺 · 𝑄))
19	3, 5	mulcomd 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · 𝑄) = (𝑄 · 𝐺))
20	12, 18, 19	3eqtrd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝑄 · 𝐺))
21	10, 20	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) = (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
22	21	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
23	2, 9, 22	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
24	7	sqcld 14184	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
25		dcubic.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
26		dcubic.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
27		3cn 12347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
29		3ne0 12372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
31	26, 28, 30	divcld 12043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
32	25, 31	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
33		3nn0 12544	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
34		expcl 14120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
35	32, 33, 34	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
36	24, 35	addcld 11280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
37	5, 3	mulcld 11281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ)
38	36, 24, 37	addsubd 11641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
39	24, 35, 24	add32d 11489	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
40	24	2timesd 12509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = ((𝑁↑2) + (𝑁↑2)))
41	40	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
42	39, 41	eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
43	42	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
44	23, 38, 43	3eqtr2d 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
45	5, 3, 7	subdid 11719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝐺 − 𝑁)) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
46	1	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = (𝑄 · (𝐺 − 𝑁)))
47	7	sqvald 14183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
48	47	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
49	11, 7, 7	mulassd 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
50	17	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (𝑄 · 𝑁))
51	48, 49, 50	3eqtr2d 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (𝑄 · 𝑁))
52	51	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
53	45, 46, 52	3eqtr4d 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))))
54	53	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)))
55		2cn 12341	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
56		mulcl 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℂ) → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
57	55, 24, 56	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
58	37, 57, 35	subsub4d 11651	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
59	54, 58	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
60	44, 59	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))))
61	57, 35	addcld 11280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
62		npncan2 11536	. . . 4 ⊢ ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ ∧ (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ) → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
63	61, 37, 62	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
64	60, 63	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0)
65		dcubic.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
66		dcubic.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
67		dcubic.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
68		dcubic1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))
69	26, 5, 65, 66, 1, 3, 10, 25, 4, 67, 66, 67, 68	dcubic1lem 26886	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
70	64, 69	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  ℕ₀cn0 12526  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-dvds 16291

This theorem is referenced by:  dcubic  26889