MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dcubic1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dcubic1 26347
Description: Forward direction of dcubic 26348: the claimed formula produces solutions to the cubic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
dcubic.d (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
dcubic.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
dcubic.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
dcubic.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
dcubic.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
dcubic.2 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)))
dcubic.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = (๐‘ƒ / 3))
dcubic.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘„ / 2))
dcubic.0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
dcubic1.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = (๐‘‡ โˆ’ (๐‘€ / ๐‘‡)))
Assertion
Ref Expression
dcubic1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0)

Proof of Theorem dcubic1
StepHypRef Expression
1 dcubic.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
21oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡โ†‘3)โ†‘2) = ((๐บ โˆ’ ๐‘)โ†‘2))
3 dcubic.g . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
4 dcubic.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘„ / 2))
5 dcubic.d . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
65halfcld 12456 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ / 2) โˆˆ โ„‚)
74, 6eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8 binom2sub 14182 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐บ โˆ’ ๐‘)โ†‘2) = (((๐บโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐บ ยท ๐‘))) + (๐‘โ†‘2)))
93, 7, 8syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ โˆ’ ๐‘)โ†‘2) = (((๐บโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐บ ยท ๐‘))) + (๐‘โ†‘2)))
10 dcubic.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)))
11 2cnd 12289 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
1211, 3, 7mul12d 11422 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐บ ยท ๐‘)) = (๐บ ยท (2 ยท ๐‘)))
134oveq2d 7424 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) = (2 ยท (๐‘„ / 2)))
14 2ne0 12315 . . . . . . . . . . . . 13 2 โ‰  0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
165, 11, 15divcan2d 11991 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘„ / 2)) = ๐‘„)
1713, 16eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) = ๐‘„)
1817oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐บ ยท (2 ยท ๐‘)) = (๐บ ยท ๐‘„))
193, 5mulcomd 11234 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐บ ยท ๐‘„) = (๐‘„ ยท ๐บ))
2012, 18, 193eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐บ ยท ๐‘)) = (๐‘„ ยท ๐บ))
2110, 20oveq12d 7426 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐บ ยท ๐‘))) = (((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)))
2221oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐บโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐บ ยท ๐‘))) + (๐‘โ†‘2)) = ((((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) + (๐‘โ†‘2)))
232, 9, 223eqtrd 2776 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡โ†‘3)โ†‘2) = ((((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) + (๐‘โ†‘2)))
247sqcld 14108 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
25 dcubic.m . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = (๐‘ƒ / 3))
26 dcubic.c . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
27 3cn 12292 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„‚
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
29 3ne0 12317 . . . . . . . . . . 11 3 โ‰  0
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰  0)
3126, 28, 30divcld 11989 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ / 3) โˆˆ โ„‚)
3225, 31eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
33 3nn0 12489 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„•0
34 expcl 14044 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
3532, 33, 34sylancl 586 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
3624, 35addcld 11232 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
375, 3mulcld 11233 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท ๐บ) โˆˆ โ„‚)
3836, 24, 37addsubd 11591 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) + (๐‘โ†‘2)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) = ((((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) + (๐‘โ†‘2)))
3924, 35, 24add32d 11440 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) + (๐‘โ†‘2)) = (((๐‘โ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)))
40242timesd 12454 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘โ†‘2)) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘โ†‘2)))
4140oveq1d 7423 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) = (((๐‘โ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)))
4239, 41eqtr4d 2775 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) + (๐‘โ†‘2)) = ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)))
4342oveq1d 7423 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) + (๐‘โ†‘2)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) = (((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)))
4423, 38, 433eqtr2d 2778 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡โ†‘3)โ†‘2) = (((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)))
455, 3, 7subdid 11669 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท (๐บ โˆ’ ๐‘)) = ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐‘)))
461oveq2d 7424 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) = (๐‘„ ยท (๐บ โˆ’ ๐‘)))
477sqvald 14107 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
4847oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘โ†‘2)) = (2 ยท (๐‘ ยท ๐‘)))
4911, 7, 7mulassd 11236 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท ๐‘) = (2 ยท (๐‘ ยท ๐‘)))
5017oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท ๐‘) = (๐‘„ ยท ๐‘))
5148, 49, 503eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘โ†‘2)) = (๐‘„ ยท ๐‘))
5251oveq2d 7424 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ (2 ยท (๐‘โ†‘2))) = ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐‘)))
5345, 46, 523eqtr4d 2782 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) = ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ (2 ยท (๐‘โ†‘2))))
5453oveq1d 7423 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3)) = (((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ (2 ยท (๐‘โ†‘2))) โˆ’ (๐‘€โ†‘3)))
55 2cn 12286 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
56 mulcl 11193 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5755, 24, 56sylancr 587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5837, 57, 35subsub4d 11601 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ (2 ยท (๐‘โ†‘2))) โˆ’ (๐‘€โ†‘3)) = ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3))))
5954, 58eqtrd 2772 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3)) = ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3))))
6044, 59oveq12d 7426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‡โ†‘3)โ†‘2) + ((๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3))) = ((((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) + ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)))))
6157, 35addcld 11232 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
62 npncan2 11486 . . . 4 ((((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘„ ยท ๐บ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) + ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)))) = 0)
6361, 37, 62syl2anc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) + ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)))) = 0)
6460, 63eqtrd 2772 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‡โ†‘3)โ†‘2) + ((๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3))) = 0)
65 dcubic.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
66 dcubic.t . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
67 dcubic.0 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
68 dcubic1.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = (๐‘‡ โˆ’ (๐‘€ / ๐‘‡)))
6926, 5, 65, 66, 1, 3, 10, 25, 4, 67, 66, 67, 68dcubic1lem 26345 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0 โ†” (((๐‘‡โ†‘3)โ†‘2) + ((๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3))) = 0))
7064, 69mpbird 256 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  2c2 12266  3c3 12267  โ„•0cn0 12471  โ†‘cexp 14026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-seq 13966  df-exp 14027  df-dvds 16197
This theorem is referenced by:  dcubic  26348
  Copyright terms: Public domain W3C validator