MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dcubic1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dcubic1 25435
Description: Forward direction of dcubic 25436: the claimed formula produces solutions to the cubic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3 (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
dcubic.g (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n (𝜑𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0 (𝜑𝑇 ≠ 0)
dcubic1.x (𝜑𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))
Assertion
Ref Expression
dcubic1 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

Proof of Theorem dcubic1
StepHypRef Expression
1 dcubic.3 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺𝑁))
21oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((𝐺𝑁)↑2))
3 dcubic.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
4 dcubic.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 = (𝑄 / 2))
5 dcubic.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
65halfcld 11874 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 / 2) ∈ ℂ)
74, 6eqeltrd 2893 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8 binom2sub 13581 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐺𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
93, 7, 8syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
10 dcubic.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
11 2cnd 11707 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
1211, 3, 7mul12d 10842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝐺 · (2 · 𝑁)))
134oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (2 · (𝑄 / 2)))
14 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
165, 11, 15divcan2d 11411 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (𝑄 / 2)) = 𝑄)
1713, 16eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) = 𝑄)
1817oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 · (2 · 𝑁)) = (𝐺 · 𝑄))
193, 5mulcomd 10655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 · 𝑄) = (𝑄 · 𝐺))
2012, 18, 193eqtrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝑄 · 𝐺))
2110, 20oveq12d 7157 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) = (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
2221oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
232, 9, 223eqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
247sqcld 13508 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
25 dcubic.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 = (𝑃 / 3))
26 dcubic.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
27 3cn 11710 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
29 3ne0 11735 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 3 ≠ 0)
3126, 28, 30divcld 11409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
3225, 31eqeltrd 2893 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
33 3nn0 11907 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
34 expcl 13447 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
3532, 33, 34sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
3624, 35addcld 10653 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
375, 3mulcld 10654 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ)
3836, 24, 37addsubd 11011 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
3924, 35, 24add32d 10860 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
40242timesd 11872 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = ((𝑁↑2) + (𝑁↑2)))
4140oveq1d 7154 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
4239, 41eqtr4d 2839 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
4342oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
4423, 38, 433eqtr2d 2842 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
455, 3, 7subdid 11089 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 · (𝐺𝑁)) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
461oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = (𝑄 · (𝐺𝑁)))
477sqvald 13507 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
4847oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
4911, 7, 7mulassd 10657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
5017oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (𝑄 · 𝑁))
5148, 49, 503eqtr2d 2842 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (𝑄 · 𝑁))
5251oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
5345, 46, 523eqtr4d 2846 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))))
5453oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)))
55 2cn 11704 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
56 mulcl 10614 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℂ) → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
5755, 24, 56sylancr 590 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
5837, 57, 35subsub4d 11021 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
5954, 58eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
6044, 59oveq12d 7157 . . 3 (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))))
6157, 35addcld 10653 . . . 4 (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
62 npncan2 10906 . . . 4 ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ ∧ (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ) → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
6361, 37, 62syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
6460, 63eqtrd 2836 . 2 (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0)
65 dcubic.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
66 dcubic.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
67 dcubic.0 . . 3 (𝜑𝑇 ≠ 0)
68 dcubic1.x . . 3 (𝜑𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))
6926, 5, 65, 66, 1, 3, 10, 25, 4, 67, 66, 67, 68dcubic1lem 25433 . 2 (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
7064, 69mpbird 260 1 (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530   + caddc 10533   · cmul 10535  cmin 10863   / cdiv 11290  2c2 11684  3c3 11685  0cn0 11889  cexp 13429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-dvds 15604
This theorem is referenced by:  dcubic  25436
  Copyright terms: Public domain W3C validator