Theorem dcubic1 27082

Description: Forward direction of dcubic 27083: the claimed formula produces solutions to the cubic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dcubic.c	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
dcubic.d	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
dcubic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dcubic.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
dcubic.3	⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
dcubic.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
dcubic.2	⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
dcubic.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
dcubic.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
dcubic.0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
dcubic1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))

Assertion

Ref	Expression
dcubic1	⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

Proof of Theorem dcubic1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dcubic.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇↑3) = (𝐺 − 𝑁))
2	1	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((𝐺 − 𝑁)↑2))
3		dcubic.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
4		dcubic.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑄 / 2))
5		dcubic.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
6	5	halfcld 12513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄 / 2) ∈ ℂ)
7	4, 6	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
8		binom2sub 14284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐺 − 𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
9	3, 7, 8	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝑁)↑2) = (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)))
10		dcubic.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) = ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)))
11		2cnd 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
12	11, 3, 7	mul12d 11443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝐺 · (2 · 𝑁)))
13	4	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (2 · (𝑄 / 2)))
14		2ne0 12371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
16	5, 11, 15	divcan2d 12017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 / 2)) = 𝑄)
17	13, 16	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = 𝑄)
18	17	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · (2 · 𝑁)) = (𝐺 · 𝑄))
19	3, 5	mulcomd 11254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 · 𝑄) = (𝑄 · 𝐺))
20	12, 18, 19	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐺 · 𝑁)) = (𝑄 · 𝐺))
21	10, 20	oveq12d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) = (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
22	21	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺↑2) − (2 · (𝐺 · 𝑁))) + (𝑁↑2)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
23	2, 9, 22	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
24	7	sqcld 14208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
25		dcubic.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (𝑃 / 3))
26		dcubic.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
27		3cn 12346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
29		3ne0 12374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
31	26, 28, 30	divcld 12015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 3) ∈ ℂ)
32	25, 31	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
33		3nn0 12546	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
34		expcl 14143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
35	32, 33, 34	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀↑3) ∈ ℂ)
36	24, 35	addcld 11252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
37	5, 3	mulcld 11253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ)
38	36, 24, 37	addsubd 11614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + (𝑁↑2)))
39	24, 35, 24	add32d 11462	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
40	24	2timesd 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = ((𝑁↑2) + (𝑁↑2)))
41	40	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) = (((𝑁↑2) + (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
42	39, 41	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) = ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))
43	42	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁↑2) + (𝑀↑3)) + (𝑁↑2)) − (𝑄 · 𝐺)) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
44	23, 38, 43	3eqtr2d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇↑3)↑2) = (((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)))
45	5, 3, 7	subdid 11694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝐺 − 𝑁)) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
46	1	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = (𝑄 · (𝐺 − 𝑁)))
47	7	sqvald 14207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
48	47	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
49	11, 7, 7	mulassd 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (2 · (𝑁 · 𝑁)))
50	17	oveq1d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · 𝑁) = (𝑄 · 𝑁))
51	48, 49, 50	3eqtr2d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) = (𝑄 · 𝑁))
52	51	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) = ((𝑄 · 𝐺) − (𝑄 · 𝑁)))
53	45, 46, 52	3eqtr4d 2805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · (𝑇↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))))
54	53	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)))
55		2cn 12340	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
56		mulcl 11208	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℂ) → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
57	55, 24, 56	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
58	37, 57, 35	subsub4d 11624	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 · 𝐺) − (2 · (𝑁↑2))) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
59	54, 58	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3)) = ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3))))
60	44, 59	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))))
61	57, 35	addcld 11252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ)
62		npncan2 11509	. . . 4 ⊢ ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) ∈ ℂ ∧ (𝑄 · 𝐺) ∈ ℂ) → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
63	61, 37, 62	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)) − (𝑄 · 𝐺)) + ((𝑄 · 𝐺) − ((2 · (𝑁↑2)) + (𝑀↑3)))) = 0)
64	60, 63	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0)
65		dcubic.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
66		dcubic.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
67		dcubic.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
68		dcubic1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑇 − (𝑀 / 𝑇)))
69	26, 5, 65, 66, 1, 3, 10, 25, 4, 67, 66, 67, 68	dcubic1lem 27080	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0 ↔ (((𝑇↑3)↑2) + ((𝑄 · (𝑇↑3)) − (𝑀↑3))) = 0))
70	64, 69	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((𝑃 · 𝑋) + 𝑄)) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124   + caddc 11127   · cmul 11129   − cmin 11465   / cdiv 11895  2c2 12319  3c3 12320  ℕ₀cn0 12528  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-seq 14066  df-exp 14126  df-dvds 16343

This theorem is used by:  dcubic  27083