MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dcubic1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dcubic1 26211
Description: Forward direction of dcubic 26212: the claimed formula produces solutions to the cubic equation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
dcubic.d (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
dcubic.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
dcubic.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
dcubic.3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
dcubic.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
dcubic.2 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)))
dcubic.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = (๐‘ƒ / 3))
dcubic.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘„ / 2))
dcubic.0 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
dcubic1.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = (๐‘‡ โˆ’ (๐‘€ / ๐‘‡)))
Assertion
Ref Expression
dcubic1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0)

Proof of Theorem dcubic1
StepHypRef Expression
1 dcubic.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡โ†‘3) = (๐บ โˆ’ ๐‘))
21oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡โ†‘3)โ†‘2) = ((๐บ โˆ’ ๐‘)โ†‘2))
3 dcubic.g . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ โ„‚)
4 dcubic.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐‘„ / 2))
5 dcubic.d . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
65halfcld 12405 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ / 2) โˆˆ โ„‚)
74, 6eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
8 binom2sub 14130 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐บ โˆ’ ๐‘)โ†‘2) = (((๐บโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐บ ยท ๐‘))) + (๐‘โ†‘2)))
93, 7, 8syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ โˆ’ ๐‘)โ†‘2) = (((๐บโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐บ ยท ๐‘))) + (๐‘โ†‘2)))
10 dcubic.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐บโ†‘2) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)))
11 2cnd 12238 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
1211, 3, 7mul12d 11371 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐บ ยท ๐‘)) = (๐บ ยท (2 ยท ๐‘)))
134oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) = (2 ยท (๐‘„ / 2)))
14 2ne0 12264 . . . . . . . . . . . . 13 2 โ‰  0
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
165, 11, 15divcan2d 11940 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘„ / 2)) = ๐‘„)
1713, 16eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) = ๐‘„)
1817oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐บ ยท (2 ยท ๐‘)) = (๐บ ยท ๐‘„))
193, 5mulcomd 11183 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐บ ยท ๐‘„) = (๐‘„ ยท ๐บ))
2012, 18, 193eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐บ ยท ๐‘)) = (๐‘„ ยท ๐บ))
2110, 20oveq12d 7380 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐บโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐บ ยท ๐‘))) = (((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)))
2221oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐บโ†‘2) โˆ’ (2 ยท (๐บ ยท ๐‘))) + (๐‘โ†‘2)) = ((((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) + (๐‘โ†‘2)))
232, 9, 223eqtrd 2781 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡โ†‘3)โ†‘2) = ((((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) + (๐‘โ†‘2)))
247sqcld 14056 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
25 dcubic.m . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = (๐‘ƒ / 3))
26 dcubic.c . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
27 3cn 12241 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„‚
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
29 3ne0 12266 . . . . . . . . . . 11 3 โ‰  0
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰  0)
3126, 28, 30divcld 11938 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ / 3) โˆˆ โ„‚)
3225, 31eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
33 3nn0 12438 . . . . . . . 8 3 โˆˆ โ„•0
34 expcl 13992 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
3532, 33, 34sylancl 587 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
3624, 35addcld 11181 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
375, 3mulcld 11182 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท ๐บ) โˆˆ โ„‚)
3836, 24, 37addsubd 11540 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) + (๐‘โ†‘2)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) = ((((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) + (๐‘โ†‘2)))
3924, 35, 24add32d 11389 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) + (๐‘โ†‘2)) = (((๐‘โ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)))
40242timesd 12403 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘โ†‘2)) = ((๐‘โ†‘2) + (๐‘โ†‘2)))
4140oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) = (((๐‘โ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)))
4239, 41eqtr4d 2780 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) + (๐‘โ†‘2)) = ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)))
4342oveq1d 7377 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐‘โ†‘2) + (๐‘€โ†‘3)) + (๐‘โ†‘2)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) = (((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)))
4423, 38, 433eqtr2d 2783 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‡โ†‘3)โ†‘2) = (((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)))
455, 3, 7subdid 11618 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท (๐บ โˆ’ ๐‘)) = ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐‘)))
461oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) = (๐‘„ ยท (๐บ โˆ’ ๐‘)))
477sqvald 14055 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
4847oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘โ†‘2)) = (2 ยท (๐‘ ยท ๐‘)))
4911, 7, 7mulassd 11185 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท ๐‘) = (2 ยท (๐‘ ยท ๐‘)))
5017oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท ๐‘) = (๐‘„ ยท ๐‘))
5148, 49, 503eqtr2d 2783 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘โ†‘2)) = (๐‘„ ยท ๐‘))
5251oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ (2 ยท (๐‘โ†‘2))) = ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐‘)))
5345, 46, 523eqtr4d 2787 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) = ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ (2 ยท (๐‘โ†‘2))))
5453oveq1d 7377 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3)) = (((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ (2 ยท (๐‘โ†‘2))) โˆ’ (๐‘€โ†‘3)))
55 2cn 12235 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
56 mulcl 11142 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5755, 24, 56sylancr 588 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
5837, 57, 35subsub4d 11550 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ (2 ยท (๐‘โ†‘2))) โˆ’ (๐‘€โ†‘3)) = ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3))))
5954, 58eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3)) = ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3))))
6044, 59oveq12d 7380 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‡โ†‘3)โ†‘2) + ((๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3))) = ((((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) + ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)))))
6157, 35addcld 11181 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆˆ โ„‚)
62 npncan2 11435 . . . 4 ((((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘„ ยท ๐บ) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) + ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)))) = 0)
6361, 37, 62syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)) โˆ’ (๐‘„ ยท ๐บ)) + ((๐‘„ ยท ๐บ) โˆ’ ((2 ยท (๐‘โ†‘2)) + (๐‘€โ†‘3)))) = 0)
6460, 63eqtrd 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‡โ†‘3)โ†‘2) + ((๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3))) = 0)
65 dcubic.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
66 dcubic.t . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
67 dcubic.0 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
68 dcubic1.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = (๐‘‡ โˆ’ (๐‘€ / ๐‘‡)))
6926, 5, 65, 66, 1, 3, 10, 25, 4, 67, 66, 67, 68dcubic1lem 26209 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0 โ†” (((๐‘‡โ†‘3)โ†‘2) + ((๐‘„ ยท (๐‘‡โ†‘3)) โˆ’ (๐‘€โ†‘3))) = 0))
7064, 69mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹โ†‘3) + ((๐‘ƒ ยท ๐‘‹) + ๐‘„)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  โ„•0cn0 12420  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-dvds 16144
This theorem is referenced by:  dcubic  26212
  Copyright terms: Public domain W3C validator