Theorem addmuldir2d 14394

Description: Distributive law with summands being products with a common factor. (Contributed by AV, 25-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
addmuldir2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addmuldir2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addmuldir2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
addmuldir2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
addmuldir2d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addmuldir2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) · (𝐷 + (𝐸 · 𝐶))) = (((𝐴 · 𝐷) + (((𝐴 · 𝐸) + (𝐷 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐶↑2))))

Proof of Theorem addmuldir2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addmuldir2d.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addmuldir2d.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addmuldir2d.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		addmuldir2d.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		addmuldir2d.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
6	1, 2, 3, 4, 5, 3	addmuldir1d 11813	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) · (𝐷 + (𝐸 · 𝐶))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐴 · (𝐸 · 𝐶))) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝐶) · (𝐸 · 𝐶)))))
7	1, 4	mulcld 11366	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
8	5, 3	mulcld 11366	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐶) ∈ ℂ)
9	1, 8	mulcld 11366	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐸 · 𝐶)) ∈ ℂ)
10	7, 9	addcld 11365	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐴 · (𝐸 · 𝐶))) ∈ ℂ)
11	2, 3	mulcld 11366	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
12	4, 11	mulcld 11366	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
13	11, 8	mulcld 11366	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) · (𝐸 · 𝐶)) ∈ ℂ)
14	10, 12, 13	addassd 11368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐴 · (𝐸 · 𝐶))) + (𝐷 · (𝐵 · 𝐶))) + ((𝐵 · 𝐶) · (𝐸 · 𝐶))) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐴 · (𝐸 · 𝐶))) + ((𝐷 · (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝐶) · (𝐸 · 𝐶)))))
15	7, 9, 12	addassd 11368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐴 · (𝐸 · 𝐶))) + (𝐷 · (𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐷) + ((𝐴 · (𝐸 · 𝐶)) + (𝐷 · (𝐵 · 𝐶)))))
16	1, 5	mulcld 11366	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐸) ∈ ℂ)
17	4, 2	mulcld 11366	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
18	16, 17, 3	adddird 11371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) + (𝐷 · 𝐵)) · 𝐶) = (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) + ((𝐷 · 𝐵) · 𝐶)))
19	1, 5, 3	mulassd 11369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐸 · 𝐶)))
20	4, 2, 3	mulassd 11369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐷 · (𝐵 · 𝐶)))
21	19, 20	oveq12d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐸) · 𝐶) + ((𝐷 · 𝐵) · 𝐶)) = ((𝐴 · (𝐸 · 𝐶)) + (𝐷 · (𝐵 · 𝐶))))
22	18, 21	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (𝐸 · 𝐶)) + (𝐷 · (𝐵 · 𝐶))) = (((𝐴 · 𝐸) + (𝐷 · 𝐵)) · 𝐶))
23	22	oveq2d 7465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐷) + ((𝐴 · (𝐸 · 𝐶)) + (𝐷 · (𝐵 · 𝐶)))) = ((𝐴 · 𝐷) + (((𝐴 · 𝐸) + (𝐷 · 𝐵)) · 𝐶)))
24	15, 23	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐴 · (𝐸 · 𝐶))) + (𝐷 · (𝐵 · 𝐶))) = ((𝐴 · 𝐷) + (((𝐴 · 𝐸) + (𝐷 · 𝐵)) · 𝐶)))
25	2, 3, 5, 3	mul4d 11559	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) · (𝐸 · 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐶 · 𝐶)))
26		sqval 14295	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶↑2) = (𝐶 · 𝐶))
27	26	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 · 𝐶) = (𝐶↑2))
28	3, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 · 𝐶) = (𝐶↑2))
29	28	oveq2d 7465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐸) · (𝐶 · 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐶↑2)))
30	25, 29	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐶) · (𝐸 · 𝐶)) = ((𝐵 · 𝐸) · (𝐶↑2)))
31	24, 30	oveq12d 7467	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐷) + (𝐴 · (𝐸 · 𝐶))) + (𝐷 · (𝐵 · 𝐶))) + ((𝐵 · 𝐶) · (𝐸 · 𝐶))) = (((𝐴 · 𝐷) + (((𝐴 · 𝐸) + (𝐷 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐶↑2))))
32	6, 14, 31	3eqtr2d 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐵 · 𝐶)) · (𝐷 + (𝐸 · 𝐶))) = (((𝐴 · 𝐷) + (((𝐴 · 𝐸) + (𝐷 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝐸) · (𝐶↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7449  ℂcc 11235   + caddc 11240   · cmul 11242  2c2 12435  ↑cexp 14242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-seq 14183  df-exp 14243

This theorem is used by:  lazmulcl  49734