Theorem sqval 14258

Description: Value of the square of a complex number. (Contributed by Raph Levien, 10-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
sqval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem sqval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12406	. . . 4 ⊢ 2 = (1 + 1)
2	1	oveq2i 7431	. . 3 ⊢ (𝐴↑2) = (𝐴↑(1 + 1))
3		1nn0 12623	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
4		expp1 14212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(1 + 1)) = ((𝐴↑1) · 𝐴))
5	3, 4	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑(1 + 1)) = ((𝐴↑1) · 𝐴))
6	2, 5	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = ((𝐴↑1) · 𝐴))
7		exp1 14211	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
8	7	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑1) · 𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
9	6, 8	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  1c1 11202   + caddc 11204   · cmul 11206  2c2 12398  ℕ₀cn0 12607  ↑cexp 14205

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-seq 14146  df-exp 14206

This theorem is used by:  sqneg  14259  sqcl  14262  sqdiv  14265  sqdivid  14266  sqgt0  14270  nnsqcl  14272  qsqcl  14274  sq11  14275  lt2sq  14277  le2sq  14278  sqge0  14280  sqvald  14287  sqvali  14324  nnlesq  14350  sqlecan  14354  subsq  14355  subsq2  14356  binom3  14369  sq01  14370  zesq  14371  discr1  14384  discr  14385  01sqrexlem2  15411  sqreulem  15528  arisum  16030  3lexlogpow2ineq2  43153  itgsinexplem1  47008  sin5tlem2  47964  dvsec  50900  dvcsc  50901  dvcot  50902