Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsq2 13573
 Description: Express the difference of the squares of two numbers as a polynomial in the difference of the numbers. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
subsq2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = (((𝐴𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))

Proof of Theorem subsq2
StepHypRef Expression
1 2cn 11704 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
2 mulcl 10614 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
31, 2mpan 689 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
43adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
5 subadd23 10891 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)))
64, 5mpd3an3 1459 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)))
7 2txmxeqx 11769 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
87adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐵) − 𝐵) = 𝐵)
98oveq2d 7155 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + ((2 · 𝐵) − 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
106, 9eqtrd 2836 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) = (𝐴 + 𝐵))
1110oveq1d 7154 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) · (𝐴𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
12 subcl 10878 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
1312, 4, 12adddird 10659 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) + (2 · 𝐵)) · (𝐴𝐵)) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
1411, 13eqtr3d 2838 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
15 subsq 13572 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
16 sqval 13481 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴𝐵)↑2) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)))
1712, 16syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵)↑2) = ((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)))
1817oveq1d 7154 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))) = (((𝐴𝐵) · (𝐴𝐵)) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
1914, 15, 183eqtr4d 2846 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = (((𝐴𝐵)↑2) + ((2 · 𝐵) · (𝐴𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7139  ℂcc 10528   + caddc 10533   · cmul 10535   − cmin 10863  2c2 11684  ↑cexp 13429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13369  df-exp 13430 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator