![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > subsq2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Express the difference of the squares of two numbers as a polynomial in the difference of the numbers. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.) |
Ref | Expression |
---|---|
subsq2 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) = (((๐ด โ ๐ต)โ2) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 2cn 12288 | . . . . . . . 8 โข 2 โ โ | |
2 | mulcl 11193 | . . . . . . . 8 โข ((2 โ โ โง ๐ต โ โ) โ (2 ยท ๐ต) โ โ) | |
3 | 1, 2 | mpan 687 | . . . . . . 7 โข (๐ต โ โ โ (2 ยท ๐ต) โ โ) |
4 | 3 | adantl 481 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (2 ยท ๐ต) โ โ) |
5 | subadd23 11473 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (2 ยท ๐ต) โ โ) โ ((๐ด โ ๐ต) + (2 ยท ๐ต)) = (๐ด + ((2 ยท ๐ต) โ ๐ต))) | |
6 | 4, 5 | mpd3an3 1458 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด โ ๐ต) + (2 ยท ๐ต)) = (๐ด + ((2 ยท ๐ต) โ ๐ต))) |
7 | 2txmxeqx 12353 | . . . . . . 7 โข (๐ต โ โ โ ((2 ยท ๐ต) โ ๐ต) = ๐ต) | |
8 | 7 | adantl 481 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((2 ยท ๐ต) โ ๐ต) = ๐ต) |
9 | 8 | oveq2d 7420 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด + ((2 ยท ๐ต) โ ๐ต)) = (๐ด + ๐ต)) |
10 | 6, 9 | eqtrd 2766 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด โ ๐ต) + (2 ยท ๐ต)) = (๐ด + ๐ต)) |
11 | 10 | oveq1d 7419 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((๐ด โ ๐ต) + (2 ยท ๐ต)) ยท (๐ด โ ๐ต)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
12 | subcl 11460 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โ ๐ต) โ โ) | |
13 | 12, 4, 12 | adddird 11240 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((๐ด โ ๐ต) + (2 ยท ๐ต)) ยท (๐ด โ ๐ต)) = (((๐ด โ ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต)) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต)))) |
14 | 11, 13 | eqtr3d 2768 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต)) = (((๐ด โ ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต)) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต)))) |
15 | subsq 14177 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) = ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) | |
16 | sqval 14083 | . . . 4 โข ((๐ด โ ๐ต) โ โ โ ((๐ด โ ๐ต)โ2) = ((๐ด โ ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) | |
17 | 12, 16 | syl 17 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ด โ ๐ต)โ2) = ((๐ด โ ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) |
18 | 17 | oveq1d 7419 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (((๐ด โ ๐ต)โ2) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต))) = (((๐ด โ ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต)) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต)))) |
19 | 14, 15, 18 | 3eqtr4d 2776 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ ((๐ดโ2) โ (๐ตโ2)) = (((๐ด โ ๐ต)โ2) + ((2 ยท ๐ต) ยท (๐ด โ ๐ต)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7404 โcc 11107 + caddc 11112 ยท cmul 11114 โ cmin 11445 2c2 12268 โcexp 14030 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-nn 12214 df-2 12276 df-n0 12474 df-z 12560 df-uz 12824 df-seq 13970 df-exp 14031 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |