Theorem cgrcomrand 32696

Description: Deduction form of cgrcoml 32692. (Contributed by Scott Fenton, 14-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cgrcomlrand.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
cgrcomlrand.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrcomlrand.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrcomlrand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrcomlrand.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
cgrcomlrand.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)

Assertion

Ref	Expression
cgrcomrand	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐶⟩)

Proof of Theorem cgrcomrand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cgrcomlrand.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)
2		cgrcomlrand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		cgrcomlrand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		cgrcomlrand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		cgrcomlrand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		cgrcomlrand.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		cgrcomr 32693	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐶⟩))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	syl122anc 1447	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐶⟩))
9	8	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩ ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐶⟩))
10	1, 9	mpbid 224	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4403   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  ℕcn 11374  𝔼cee 26237  Cgrccgr 26239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-seq 13120  df-exp 13179  df-sum 14825  df-ee 26240  df-cgr 26242

This theorem is referenced by:  cgrcomlrand  32697  btwnconn1lem6  32788