Theorem atandmcj 26894

Description: The arctangent function distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandmcj	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)

Proof of Theorem atandmcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atandm3 26863	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ≠ -1))
2	1	simplbi 498	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	cjcld 15153	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		2nn0 12449	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		cjexp 15107	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑2)) = ((∗‘𝐴)↑2))
6	2, 4, 5	sylancl 593	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(𝐴↑2)) = ((∗‘𝐴)↑2))
7	2	sqcld 14101	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8	7	cjcjd 15156	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = (𝐴↑2))
9	1	simprbi 499	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ≠ -1)
10	8, 9	eqnetrd 3003	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) ≠ -1)
11		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘(𝐴↑2)) = -1 → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = (∗‘-1))
12		neg1rr 12140	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		cjre 15096	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∗‘-1) = -1
15	11, 14	eqtrdi 2792	. . . . 5 ⊢ ((∗‘(𝐴↑2)) = -1 → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = -1)
16	15	necon3i 2968	. . . 4 ⊢ ((∗‘(∗‘(𝐴↑2))) ≠ -1 → (∗‘(𝐴↑2)) ≠ -1)
17	10, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(𝐴↑2)) ≠ -1)
18	6, 17	eqnetrrd 3004	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((∗‘𝐴)↑2) ≠ -1)
19		atandm3 26863	. 2 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐴)↑2) ≠ -1))
20	3, 18, 19	sylanbrc 590	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  dom cdm 5620  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℂcc 11032  ℝcr 11033  1c1 11035  -cneg 11374  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432  ↑cexp 14018  ∗ccj 15053  arctancatan 26849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-atan 26852

This theorem is referenced by:  atancj  26895