Theorem atandmcj 26952

Description: The arctangent function distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandmcj	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)

Proof of Theorem atandmcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atandm3 26921	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ≠ -1))
2	1	simplbi 497	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	cjcld 15235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		2nn0 12543	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		cjexp 15189	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑2)) = ((∗‘𝐴)↑2))
6	2, 4, 5	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(𝐴↑2)) = ((∗‘𝐴)↑2))
7	2	sqcld 14184	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8	7	cjcjd 15238	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = (𝐴↑2))
9	1	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ≠ -1)
10	8, 9	eqnetrd 3008	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) ≠ -1)
11		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘(𝐴↑2)) = -1 → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = (∗‘-1))
12		neg1rr 12381	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		cjre 15178	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∗‘-1) = -1
15	11, 14	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ ((∗‘(𝐴↑2)) = -1 → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = -1)
16	15	necon3i 2973	. . . 4 ⊢ ((∗‘(∗‘(𝐴↑2))) ≠ -1 → (∗‘(𝐴↑2)) ≠ -1)
17	10, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(𝐴↑2)) ≠ -1)
18	6, 17	eqnetrrd 3009	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((∗‘𝐴)↑2) ≠ -1)
19		atandm3 26921	. 2 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐴)↑2) ≠ -1))
20	3, 18, 19	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  1c1 11156  -cneg 11493  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ↑cexp 14102  ∗ccj 15135  arctancatan 26907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-atan 26910

This theorem is referenced by:  atancj  26953