Theorem atandmcj 27246

Description: The arctangent function distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandmcj	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)

Proof of Theorem atandmcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atandm3 27215	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ≠ -1))
2	1	simplbi 502	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	cjcld 15372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		2nn0 12630	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		cjexp 15326	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑2)) = ((∗‘𝐴)↑2))
6	2, 4, 5	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(𝐴↑2)) = ((∗‘𝐴)↑2))
7	2	sqcld 14294	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8	7	cjcjd 15375	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = (𝐴↑2))
9	1	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ≠ -1)
10	8, 9	eqnetrd 3022	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) ≠ -1)
11		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘(𝐴↑2)) = -1 → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = (∗‘ -1))
12		neg1rr 12313	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		cjre 15315	. . . . . . 7 ⊢ ( -1 ∈ ℝ → (∗‘ -1) = -1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∗‘ -1) = -1
15	11, 14	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ ((∗‘(𝐴↑2)) = -1 → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = -1)
16	15	necon3i 2987	. . . 4 ⊢ ((∗‘(∗‘(𝐴↑2))) ≠ -1 → (∗‘(𝐴↑2)) ≠ -1)
17	10, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(𝐴↑2)) ≠ -1)
18	6, 17	eqnetrrd 3023	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((∗‘𝐴)↑2) ≠ -1)
19		atandm3 27215	. 2 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐴)↑2) ≠ -1))
20	3, 18, 19	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  dom cdm 5651  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  1c1 11208   -cneg 11549  2c2 12404  ℕ₀cn0 12613  ↑cexp 14211  ∗ccj 15272  arctancatan 27201

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-atan 27204

This theorem is used by:  atancj  27247