Theorem atandmcj 24987

Description: The arctangent function distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandmcj	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)

Proof of Theorem atandmcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atandm3 24956	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ≠ -1))
2	1	simplbi 492	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	cjcld 14276	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		2nn0 11598	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		cjexp 14230	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑2)) = ((∗‘𝐴)↑2))
6	2, 4, 5	sylancl 581	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(𝐴↑2)) = ((∗‘𝐴)↑2))
7	2	sqcld 13259	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
8	7	cjcjd 14279	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = (𝐴↑2))
9	1	simprbi 491	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ≠ -1)
10	8, 9	eqnetrd 3039	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) ≠ -1)
11		fveq2 6412	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘(𝐴↑2)) = -1 → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = (∗‘-1))
12		neg1rr 11434	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
13		cjre 14219	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∗‘-1) = -1
15	11, 14	syl6eq 2850	. . . . 5 ⊢ ((∗‘(𝐴↑2)) = -1 → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = -1)
16	15	necon3i 3004	. . . 4 ⊢ ((∗‘(∗‘(𝐴↑2))) ≠ -1 → (∗‘(𝐴↑2)) ≠ -1)
17	10, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(𝐴↑2)) ≠ -1)
18	6, 17	eqnetrrd 3040	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((∗‘𝐴)↑2) ≠ -1)
19		atandm3 24956	. 2 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐴)↑2) ≠ -1))
20	3, 18, 19	sylanbrc 579	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2972  dom cdm 5313  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  ℂcc 10223  ℝcr 10224  1c1 10226  -cneg 10558  2c2 11367  ℕ₀cn0 11579  ↑cexp 13113  ∗ccj 14176  arctancatan 24942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-seq 13055  df-exp 13114  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-atan 24945

This theorem is referenced by:  atancj  24988