MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandmcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atandmcj 26967
Description: The arctangent function distributes under conjugation. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandmcj (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)

Proof of Theorem atandmcj
StepHypRef Expression
1 atandm3 26936 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ≠ -1))
21simplbi 497 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
32cjcld 15232 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4 2nn0 12541 . . . 4 2 ∈ ℕ0
5 cjexp 15186 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑2)) = ((∗‘𝐴)↑2))
62, 4, 5sylancl 586 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(𝐴↑2)) = ((∗‘𝐴)↑2))
72sqcld 14181 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
87cjcjd 15235 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = (𝐴↑2))
91simprbi 496 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ≠ -1)
108, 9eqnetrd 3006 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) ≠ -1)
11 fveq2 6907 . . . . . 6 ((∗‘(𝐴↑2)) = -1 → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = (∗‘-1))
12 neg1rr 12379 . . . . . . 7 -1 ∈ ℝ
13 cjre 15175 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (∗‘-1) = -1
1511, 14eqtrdi 2791 . . . . 5 ((∗‘(𝐴↑2)) = -1 → (∗‘(∗‘(𝐴↑2))) = -1)
1615necon3i 2971 . . . 4 ((∗‘(∗‘(𝐴↑2))) ≠ -1 → (∗‘(𝐴↑2)) ≠ -1)
1710, 16syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘(𝐴↑2)) ≠ -1)
186, 17eqnetrrd 3007 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → ((∗‘𝐴)↑2) ≠ -1)
19 atandm3 26936 . 2 ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((∗‘𝐴)↑2) ≠ -1))
203, 18, 19sylanbrc 583 1 (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  1c1 11154  -cneg 11491  2c2 12319  0cn0 12524  cexp 14099  ccj 15132  arctancatan 26922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-atan 26925
This theorem is referenced by:  atancj  26968
  Copyright terms: Public domain W3C validator