Theorem absresq 15226

Description: Square of the absolute value of a real number. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
absresq	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))

Proof of Theorem absresq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjre 15063	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
2	1	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (𝐴 · 𝐴))
3		recn 11117	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		absvalsq 15204	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
6	3	sqvald 14067	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
7	2, 5, 6	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026   · cmul 11032  2c2 12201  ↑cexp 13985  ∗ccj 15020  abscabs 15158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-seq 13926  df-exp 13986  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160

This theorem is referenced by:  lenegsq  15245  sqnprm  16630  zgcdsq  16681  zringunit  21423  trirn  25345  rrxdstprj1  25354  tanregt0  26488  chordthmlem4  26785  heron  26788  lgsne0  27286  lgssq  27288  lgssq2  27289  lgsqr  27302  lgsquad3  27338  2sqblem  27382  sqsscirc2  34059  sinccvglem  35860  dvasin  38016  areacirclem1  38020  areacirclem2  38021  areacirclem4  38023  areacirclem5  38024  areacirc  38025  cntotbnd  38108  rrndstprj1  38142  rrndstprj2  38143  ismrer1  38150  dffltz  43066  pellexlem6  43265  pell14qrgt0  43290  abslt2sqd  45793  rrndistlt  46722