Theorem congadd 44239

Description: If two pairs of numbers are componentwise congruent, so are their sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)))

Proof of Theorem congadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zsubcl 12778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
5		zsubcl 12778	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℤ)
6	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℤ)
7		dvds2add 16504	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐷 − 𝐸) ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸)) → 𝐴 ∥ ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸))))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸)) → 𝐴 ∥ ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸))))
9	8	3impia 1135	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸)))
10		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12844	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		zcn 12738	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
14		simpl3 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12844	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
16		zcn 12738	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∈ ℂ)
17	16	ad2antll 742	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐸 ∈ ℂ)
18	11, 13, 15, 17	addsub4d 11755	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)) = ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸)))
19	18	3adant3 1150	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)) = ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸)))
20	9, 19	breqtrrd 5139	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℂcc 11237   + caddc 11242   − cmin 11580  ℤcz 12733   ∥ cdvds 16466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-dvds 16467

This theorem is used by:  congsub  44243  mzpcong  44245  jm2.18  44261  jm2.27c  44280