Theorem congadd 38506

Description: If two pairs of numbers are componentwise congruent, so are their sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)))

Proof of Theorem congadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zsubcl 11776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
4	3	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
5		zsubcl 11776	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℤ)
6	5	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℤ)
7		dvds2add 15432	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐷 − 𝐸) ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸)) → 𝐴 ∥ ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸))))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸)) → 𝐴 ∥ ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸))))
9	8	3impia 1106	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸)))
10		simpl2 1201	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 11840	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		zcn 11738	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrl 718	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
14		simpl3 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 11840	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
16		zcn 11738	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∈ ℂ)
17	16	ad2antll 719	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐸 ∈ ℂ)
18	11, 13, 15, 17	addsub4d 10783	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)) = ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸)))
19	18	3adant3 1123	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)) = ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸)))
20	9, 19	breqtrrd 4916	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4888  (class class class)co 6924  ℂcc 10272   + caddc 10277   − cmin 10608  ℤcz 11733   ∥ cdvds 15396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-dvds 15397

This theorem is referenced by:  congsub  38510  mzpcong  38512  jm2.18  38528  jm2.27c  38547