Theorem congadd 43580

Description: If two pairs of numbers are componentwise congruent, so are their sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)))

Proof of Theorem congadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1208	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zsubcl 12632	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
5		zsubcl 12632	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℤ)
6	5	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℤ)
7		dvds2add 16344	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐷 − 𝐸) ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸)) → 𝐴 ∥ ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸))))
8	1, 4, 6, 7	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸)) → 𝐴 ∥ ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸))))
9	8	3impia 1133	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸)))
10		simpl2 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12697	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12		zcn 12592	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
13	12	ad2antrl 740	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
14		simpl3 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 12697	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
16		zcn 12592	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∈ ℂ)
17	16	ad2antll 741	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐸 ∈ ℂ)
18	11, 13, 15, 17	addsub4d 11612	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)) = ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸)))
19	18	3adant3 1148	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)) = ((𝐵 − 𝐶) + (𝐷 − 𝐸)))
20	9, 19	breqtrrd 5140	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  ℂcc 11094   + caddc 11099   − cmin 11437  ℤcz 12587   ∥ cdvds 16306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-dvds 16307

This theorem is referenced by:  congsub  43584  mzpcong  43586  jm2.18  43602  jm2.27c  43621