Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  congadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem congadd 42265
Description: If two pairs of numbers are componentwise congruent, so are their sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
congadd (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)))

Proof of Theorem congadd
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 zsubcl 12605 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵𝐶) ∈ ℤ)
323adant1 1127 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵𝐶) ∈ ℤ)
43adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → (𝐵𝐶) ∈ ℤ)
5 zsubcl 12605 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) → (𝐷𝐸) ∈ ℤ)
65adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → (𝐷𝐸) ∈ ℤ)
7 dvds2add 16237 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐷𝐸) ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷𝐸)) → 𝐴 ∥ ((𝐵𝐶) + (𝐷𝐸))))
81, 4, 6, 7syl3anc 1368 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → ((𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷𝐸)) → 𝐴 ∥ ((𝐵𝐶) + (𝐷𝐸))))
983impia 1114 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵𝐶) + (𝐷𝐸)))
10 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
1110zcnd 12668 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 zcn 12564 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℂ)
1312ad2antrl 725 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
14 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
1514zcnd 12668 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
16 zcn 12564 . . . . 5 (𝐸 ∈ ℤ → 𝐸 ∈ ℂ)
1716ad2antll 726 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → 𝐸 ∈ ℂ)
1811, 13, 15, 17addsub4d 11619 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ)) → ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)) = ((𝐵𝐶) + (𝐷𝐸)))
19183adant3 1129 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷𝐸))) → ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)) = ((𝐵𝐶) + (𝐷𝐸)))
209, 19breqtrrd 5169 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵𝐶) ∧ 𝐴 ∥ (𝐷𝐸))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 + 𝐷) − (𝐶 + 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  cc 11107   + caddc 11112  cmin 11445  cz 12559  cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-dvds 16202
This theorem is referenced by:  congsub  42269  mzpcong  42271  jm2.18  42287  jm2.27c  42306
  Copyright terms: Public domain W3C validator