Theorem cringm4 31197

Description: Commutative/associative law for commutative ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cringm4.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cringm4.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cringm4	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑍 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · (𝑌 · 𝑊)))

Proof of Theorem cringm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	crngmgp 19427	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3		cringm4.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	1, 3	mgpbas 19367	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
5		cringm4.2	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	1, 5	mgpplusg 19365	. . 3 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
7	4, 6	cmn4 19047	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑍 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · (𝑌 · 𝑊)))
8	2, 7	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑍 · 𝑊)) = ((𝑋 · 𝑍) · (𝑌 · 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6340  (class class class)co 7173  Basecbs 16589  ._rcmulr 16672  CMndccmn 19027  mulGrpcmgp 19361  CRingccrg 19420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-plusg 16684  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-cmn 19029  df-mgp 19362  df-cring 19422

This theorem is referenced by:  isprmidlc  31198