Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isprmidlc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprmidlc 31195
Description: The predicate "is prime ideal" for commutative rings. Alternate definition for commutative rings. See definition in [Lang] p. 92. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
isprmidlc.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
isprmidlc.2 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
isprmidlc (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isprmidlc
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 19428 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 prmidlidl 31191 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
31, 2sylan 583 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4 isprmidlc.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 isprmidlc.2 . . . . 5 · = (.r𝑅)
64, 5prmidlnr 31186 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃𝐵)
71, 6sylan 583 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃𝐵)
81ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
9 simp-4r 784 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
10 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑥𝐵)
1110snssd 4697 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
12 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
13 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
1412, 4, 13rspcl 20114 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑥} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
158, 11, 14syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
16 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑦𝐵)
1716snssd 4697 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → {𝑦} ⊆ 𝐵)
1812, 4, 13rspcl 20114 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑦} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
198, 17, 18syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
2015, 19jca 515 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅)))
21 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
22 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
2321, 22oveq12d 7188 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑟 · 𝑠) = ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)))
24 simp-10l 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
25 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑚𝐵)
2610ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑥𝐵)
2726ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑥𝐵)
28 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑛𝐵)
2916ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑦𝐵)
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑦𝐵)
314, 5cringm4 31194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑚𝐵𝑥𝐵) ∧ (𝑛𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) = ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)))
3224, 25, 27, 28, 30, 31syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) = ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)))
3324, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
343ad9antr 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
354, 5ringcl 19433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚𝐵𝑛𝐵) → (𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵)
3633, 25, 28, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵)
37 simp-7r 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)
3813, 4, 5lidlmcl 20109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)) → ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
3933, 34, 36, 37, 38syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
4032, 39eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
4123, 40eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
428ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑅 ∈ Ring)
4342ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
44 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
454, 5, 12rspsnel 31139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ↔ ∃𝑛𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)))
4645biimpa 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑛𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
4743, 29, 44, 46syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → ∃𝑛𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
4841, 47r19.29a 3199 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
49 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
504, 5, 12rspsnel 31139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑚𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)))
5150biimpa 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ∃𝑚𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
5242, 26, 49, 51syl21anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑚𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
5348, 52r19.29a 3199 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
5453anasss 470 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
5554ralrimivva 3103 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})∀𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})(𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
564, 5prmidl 31187 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})∀𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})(𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃))
578, 9, 20, 55, 56syl1111anc 839 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃))
584, 12rspsnid 31140 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
591, 58sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
6059adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
61 ssel 3870 . . . . . . . . . . 11 (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) → 𝑥𝑃))
6260, 61syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃𝑥𝑃))
634, 12rspsnid 31140 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
641, 63sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
6564adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
66 ssel 3870 . . . . . . . . . . 11 (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃 → (𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) → 𝑦𝑃))
6765, 66syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃𝑦𝑃))
6862, 67orim12d 964 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
6968adantllr 719 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
7069adantr 484 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
7157, 70mpd 15 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥𝑃𝑦𝑃))
7271ex 416 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
7372anasss 470 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
7473ralrimivva 3103 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
753, 7, 743jca 1129 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))))
76 3anass 1096 . . . 4 ((𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))))
774, 5prmidl2 31188 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
7877anasss 470 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
7976, 78sylan2b 597 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
801, 79sylan 583 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
8175, 80impbida 801 1 (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  wss 3843  {csn 4516  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  .rcmulr 16669  Ringcrg 19416  CRingccrg 19417  LIdealclidl 20061  RSpancrsp 20062  PrmIdealcprmidl 31182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-lidl 20065  df-rsp 20066  df-prmidl 31183
This theorem is referenced by:  prmidlc  31196  prmidl0  31198  qsidomlem2  31201
  Copyright terms: Public domain W3C validator