Theorem isprmidlc 31195

Description: The predicate "is prime ideal" for commutative rings. Alternate definition for commutative rings. See definition in [Lang] p. 92. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprmidlc.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isprmidlc.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isprmidlc	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isprmidlc

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 19428	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		prmidlidl 31191	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3	1, 2	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4		isprmidlc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		isprmidlc.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	prmidlnr 31186	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
7	1, 6	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
8	1	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simp-4r 784	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
10		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11	10	snssd 4697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
12		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
13		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
14	12, 4, 13	rspcl 20114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑥} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	8, 11, 14	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
16		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	16	snssd 4697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → {𝑦} ⊆ 𝐵)
18	12, 4, 13	rspcl 20114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑦} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	8, 17, 18	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
20	15, 19	jca 515	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅)))
21		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
22		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
23	21, 22	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑟 · 𝑠) = ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)))
24		simp-10l 795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
25		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑚 ∈ 𝐵)
26	10	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	26	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑛 ∈ 𝐵)
29	16	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31	4, 5	cringm4 31194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) = ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)))
32	24, 25, 27, 28, 30, 31	syl122anc 1380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) = ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)))
33	24, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
34	3	ad9antr 742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
35	4, 5	ringcl 19433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵)
36	33, 25, 28, 35	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵)
37		simp-7r 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)
38	13, 4, 5	lidlmcl 20109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)) → ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
39	33, 34, 36, 37, 38	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
40	32, 39	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
41	23, 40	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
42	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑅 ∈ Ring)
43	42	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
44		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
45	4, 5, 12	rspsnel 31139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)))
46	45	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑛 ∈ 𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
47	43, 29, 44, 46	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ 𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
48	41, 47	r19.29a 3199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
49		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
50	4, 5, 12	rspsnel 31139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)))
51	50	biimpa 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ∃𝑚 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
52	42, 26, 49, 51	syl21anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑚 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
53	48, 52	r19.29a 3199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
54	53	anasss 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
55	54	ralrimivva 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})∀𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})(𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
56	4, 5	prmidl 31187	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})∀𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})(𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃))
57	8, 9, 20, 55, 56	syl1111anc 839	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃))
58	4, 12	rspsnid 31140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
59	1, 58	sylan 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
60	59	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
61		ssel 3870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝑃))
62	60, 61	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 → 𝑥 ∈ 𝑃))
63	4, 12	rspsnid 31140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
64	1, 63	sylan 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
65	64	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
66		ssel 3870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃 → (𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) → 𝑦 ∈ 𝑃))
67	65, 66	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃 → 𝑦 ∈ 𝑃))
68	62, 67	orim12d 964	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
69	68	adantllr 719	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
70	69	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
71	57, 70	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
72	71	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
73	72	anasss 470	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
74	73	ralrimivva 3103	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
75	3, 7, 74	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
76		3anass 1096	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))))
77	4, 5	prmidl2 31188	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
78	77	anasss 470	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
79	76, 78	sylan2b 597	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
80	1, 79	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
81	75, 80	impbida 801	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3843  {csn 4516  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  ._rcmulr 16669  Ringcrg 19416  CRingccrg 19417  LIdealclidl 20061  RSpancrsp 20062  PrmIdealcprmidl 31182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-lidl 20065  df-rsp 20066  df-prmidl 31183

This theorem is referenced by:  prmidlc  31196  prmidl0  31198  qsidomlem2  31201