Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isprmidlc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprmidlc 33475
Description: The predicate "is prime ideal" for commutative rings. Alternate definition for commutative rings. See definition in [Lang] p. 92. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
isprmidlc.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
isprmidlc.2 · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
isprmidlc (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isprmidlc
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 20242 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 prmidlidl 33472 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
31, 2sylan 580 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4 isprmidlc.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 isprmidlc.2 . . . . 5 · = (.r𝑅)
64, 5prmidlnr 33467 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃𝐵)
71, 6sylan 580 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃𝐵)
81ad4antr 732 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
9 simp-4r 784 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
10 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑥𝐵)
1110snssd 4809 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
13 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
1412, 4, 13rspcl 21245 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑥} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
158, 11, 14syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
16 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑦𝐵)
1716snssd 4809 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → {𝑦} ⊆ 𝐵)
1812, 4, 13rspcl 21245 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑦} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
198, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
2015, 19jca 511 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅)))
21 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
2321, 22oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑟 · 𝑠) = ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)))
24 simp-10l 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
25 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑚𝐵)
2610ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑥𝐵)
2726ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑥𝐵)
28 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑛𝐵)
2916ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑦𝐵)
3029ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑦𝐵)
314, 5cringm4 33474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑚𝐵𝑥𝐵) ∧ (𝑛𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) = ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)))
3224, 25, 27, 28, 30, 31syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) = ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)))
3324, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
343ad9antr 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
354, 5ringcl 20247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚𝐵𝑛𝐵) → (𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵)
3633, 25, 28, 35syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵)
37 simp-7r 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)
3813, 4, 5lidlmcl 21235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)) → ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
3933, 34, 36, 37, 38syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
4032, 39eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
4123, 40eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
428ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑅 ∈ Ring)
4342ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
44 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
454, 5, 12elrspsn 21250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ↔ ∃𝑛𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)))
4645biimpa 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑛𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
4743, 29, 44, 46syl21anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → ∃𝑛𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
4841, 47r19.29a 3162 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
49 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
504, 5, 12elrspsn 21250 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → (𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑚𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)))
5150biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ∃𝑚𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
5242, 26, 49, 51syl21anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑚𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
5348, 52r19.29a 3162 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
5453anasss 466 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
5554ralrimivva 3202 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})∀𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})(𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
564, 5prmidl 33468 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})∀𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})(𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃))
578, 9, 20, 55, 56syl1111anc 841 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃))
584, 12rspsnid 33399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
591, 58sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
6059adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
61 ssel 3977 . . . . . . . . . . 11 (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) → 𝑥𝑃))
6260, 61syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃𝑥𝑃))
634, 12rspsnid 33399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
641, 63sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
6564adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
66 ssel 3977 . . . . . . . . . . 11 (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃 → (𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) → 𝑦𝑃))
6765, 66syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃𝑦𝑃))
6862, 67orim12d 967 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
6968adantllr 719 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
7069adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
7157, 70mpd 15 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥𝑃𝑦𝑃))
7271ex 412 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
7372anasss 466 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
7473ralrimivva 3202 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))
753, 7, 743jca 1129 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))))
76 3anass 1095 . . . 4 ((𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))))
774, 5prmidl2 33469 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
7877anasss 466 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃))))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
7976, 78sylan2b 594 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
801, 79sylan 580 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
8175, 80impbida 801 1 (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥𝑃𝑦𝑃)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  LIdealclidl 21216  RSpancrsp 21217  PrmIdealcprmidl 33463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-prmidl 33464
This theorem is referenced by:  prmidlc  33476  prmidl0  33478  qsidomlem2  33481  ssdifidlprm  33486  rsprprmprmidl  33550
  Copyright terms: Public domain W3C validator