Theorem isprmidlc 21536

Description: The predicate "is prime ideal" for commutative rings. Alternate definition for commutative rings. See definition in [Lang] p. 92. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprmidlc.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isprmidlc.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isprmidlc	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem isprmidlc

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20385	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		prmidlidl 21533	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3	1, 2	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4		isprmidlc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		isprmidlc.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	prmidlnr 21528	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
7	1, 6	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
8	1	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simp-4r 796	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
10		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11	10	snssd 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
12		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
13		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
14	12, 4, 13	rspcl 21428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑥} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	8, 11, 14	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
16		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	16	snssd 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → {𝑦} ⊆ 𝐵)
18	12, 4, 13	rspcl 21428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑦} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	8, 17, 18	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
20	15, 19	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅)))
21		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
22		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
23	21, 22	oveq12d 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑟 · 𝑠) = ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)))
24		simp-10l 807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
25		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑚 ∈ 𝐵)
26	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	26	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑛 ∈ 𝐵)
29	16	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31	4, 5	cringm4 21535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) = ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)))
32	24, 25, 27, 28, 30, 31	syl122anc 1406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) = ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)))
33	24, 1	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
34	3	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
35	4, 5	ringcl 20390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵)
36	33, 25, 28, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵)
37		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)
38	13, 4, 5	lidlmcl 21414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)) → ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
39	33, 34, 36, 37, 38	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
40	32, 39	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
41	23, 40	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
42	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑅 ∈ Ring)
43	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
44		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
45	4, 5, 12	elrspsn 21435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)))
46	45	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑛 ∈ 𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
47	43, 29, 44, 46	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ 𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
48	41, 47	r19.29a 3170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
49		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
50	4, 5, 12	elrspsn 21435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)))
51	50	biimpa 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ∃𝑚 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
52	42, 26, 49, 51	syl21anc 851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑚 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
53	48, 52	r19.29a 3170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
54	53	anasss 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
55	54	ralrimivva 3205	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})∀𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})(𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
56	4, 5	prmidl 21529	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})∀𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})(𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃))
57	8, 9, 20, 55, 56	syl1111anc 854	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃))
58	4, 12	rspsnid 21437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
59	1, 58	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
60	59	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
61		ssel 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝑃))
62	60, 61	syl5com 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 → 𝑥 ∈ 𝑃))
63	4, 12	rspsnid 21437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
64	1, 63	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
65	64	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
66		ssel 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃 → (𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) → 𝑦 ∈ 𝑃))
67	65, 66	syl5com 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃 → 𝑦 ∈ 𝑃))
68	62, 67	orim12d 979	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
69	68	adantllr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
70	69	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
71	57, 70	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
72	71	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
73	72	anasss 472	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
74	73	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
75	3, 7, 74	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
76		3anass 1111	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))))
77	4, 5	prmidl2 21530	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
78	77	anasss 472	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
79	76, 78	sylan2b 606	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
80	1, 79	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
81	75, 80	impbida 813	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  ._rcmulr 17344  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374  LIdealclidl 21394  RSpancrsp 21395  PrmIdealcprmidl 21524

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397  df-prmidl 21525

This theorem is used by:  prmidlc  21537  prmidlprop  21540  prmidl0  21542  qsidomlem2  21545  ssdifidlprm  21550  rsprprmprmidl  33933  isidom3  49261