Theorem isprmidlc 33507

Description: The predicate "is prime ideal" for commutative rings. Alternate definition for commutative rings. See definition in [Lang] p. 92. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 12-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprmidlc.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isprmidlc.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isprmidlc	⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isprmidlc

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20226	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		prmidlidl 33504	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3	1, 2	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
4		isprmidlc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		isprmidlc.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	prmidlnr 33499	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
7	1, 6	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝐵)
8	1	ad4antr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simp-4r 784	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
10		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11	10	snssd 4730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → {𝑥} ⊆ 𝐵)
12		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
13		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
14	12, 4, 13	rspcl 21233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑥} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	8, 11, 14	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
16		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	16	snssd 4730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → {𝑦} ⊆ 𝐵)
18	12, 4, 13	rspcl 21233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑦} ⊆ 𝐵) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
19	8, 17, 18	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
20	15, 19	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅)))
21		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
23	21, 22	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑟 · 𝑠) = ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)))
24		simp-10l 795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
25		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑚 ∈ 𝐵)
26	10	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
27	26	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑛 ∈ 𝐵)
29	16	ad4antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
31	4, 5	cringm4 33506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) = ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)))
32	24, 25, 27, 28, 30, 31	syl122anc 1382	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) = ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)))
33	24, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
34	3	ad9antr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅))
35	4, 5	ringcl 20231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑚 ∈ 𝐵 ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) → (𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵)
36	33, 25, 28, 35	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵)
37		simp-7r 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)
38	13, 4, 5	lidlmcl 21223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑚 · 𝑛) ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃)) → ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
39	33, 34, 36, 37, 38	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑛) · (𝑥 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
40	32, 39	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → ((𝑚 · 𝑥) · (𝑛 · 𝑦)) ∈ 𝑃)
41	23, 40	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
42	8	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑅 ∈ Ring)
43	42	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑅 ∈ Ring)
44		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
45	4, 5, 12	elrspsn 21238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦)))
46	45	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑛 ∈ 𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
47	43, 29, 44, 46	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → ∃𝑛 ∈ 𝐵 𝑠 = (𝑛 · 𝑦))
48	41, 47	r19.29a 3145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
49		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
50	4, 5, 12	elrspsn 21238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ↔ ∃𝑚 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥)))
51	50	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) → ∃𝑚 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
52	42, 26, 49, 51	syl21anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → ∃𝑚 ∈ 𝐵 𝑟 = (𝑚 · 𝑥))
53	48, 52	r19.29a 3145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ 𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
54	53	anasss 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) ∧ (𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∧ 𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))) → (𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
55	54	ralrimivva 3180	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ∀𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})∀𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})(𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃)
56	4, 5	prmidl 33500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ∈ (LIdeal‘𝑅))) ∧ ∀𝑟 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥})∀𝑠 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦})(𝑟 · 𝑠) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃))
57	8, 9, 20, 55, 56	syl1111anc 841	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃))
58	4, 12	rspsnid 33431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
59	1, 58	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}))
61		ssel 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) → 𝑥 ∈ 𝑃))
62	60, 61	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 → 𝑥 ∈ 𝑃))
63	4, 12	rspsnid 33431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
64	1, 63	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
65	64	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}))
66		ssel 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃 → (𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) → 𝑦 ∈ 𝑃))
67	65, 66	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃 → 𝑦 ∈ 𝑃))
68	62, 67	orim12d 967	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
69	68	adantllr 720	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
70	69	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → ((((RSpan‘𝑅)‘{𝑥}) ⊆ 𝑃 ∨ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑦}) ⊆ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
71	57, 70	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃) → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))
72	71	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
73	72	anasss 466	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
74	73	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))
75	3, 7, 74	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))
76		3anass 1095	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))))
77	4, 5	prmidl2 33501	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
78	77	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ (𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃))))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
79	76, 78	sylan2b 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
80	1, 79	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))) → 𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
81	75, 80	impbida 801	1 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑃 ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ (𝑃 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑃 ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝑃 ∨ 𝑦 ∈ 𝑃)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215  LIdealclidl 21204  RSpancrsp 21205  PrmIdealcprmidl 33495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-rsp 21207  df-prmidl 33496

This theorem is referenced by:  prmidlc  33508  prmidl0  33510  qsidomlem2  33513  ssdifidlprm  33518  rsprprmprmidl  33582