Theorem cu3addd 42691

Description: Cube of sum of three numbers. (Contributed by Igor Ieskov, 14-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cu3addd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cu3addd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cu3addd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cu3addd	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))

Proof of Theorem cu3addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cu3addd.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cu3addd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		cu3addd.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	3, 4	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
6		binom3 14263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3)))))
8	5, 7	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
9		binom3 14263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
10	1, 2, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
11	10	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))))
12	11	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
13	8, 12	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
14	1, 2	binom2d 14257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
15	14	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))
16	15	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶)) = (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶)))
17	16	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))))
18	17	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
19	13, 18	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
20	1	sqcld 14184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	1, 2	mulcld 11281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
23	21, 22	mulcld 11281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
24	20, 23	addcld 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
25	2	sqcld 14184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
26	24, 25, 4	adddird 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
27	26	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶)) = (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶))))
28	27	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
29	28	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
30	19, 29	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
31	20, 23, 4	adddird 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)))
32	31	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)) = ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
33	32	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶))) = (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶))))
34	33	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
35	34	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
36	30, 35	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
37		3cn 12347	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
39	20, 4	mulcld 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐶) ∈ ℂ)
40	23, 4	mulcld 11281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶) ∈ ℂ)
41	39, 40	addcld 11280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) ∈ ℂ)
42	25, 4	mulcld 11281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) · 𝐶) ∈ ℂ)
43	38, 41, 42	adddid 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶))) = ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))))
44	43	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
45	44	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
46	36, 45	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
47	38, 39, 40	adddid 11285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) = ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))))
48	47	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))) = (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))))
49	48	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
50	49	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
51	46, 50	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
52	38, 21, 22	mulassd 11284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (3 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
53	52	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶) = ((3 · (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶))
54	38, 23, 4	mulassd 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((3 · (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) = (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)))
55	53, 54	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶) = (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)))
56	55	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) = ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))))
57	56	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))) = (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))))
58	57	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
59	58	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
60	59	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
61	51, 60	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
62	4	sqcld 14184	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
63	1, 2, 62	adddird 11286	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2)) = ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2))))
64	63	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) = (3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))))
65	64	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3)) = ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3)))
66	65	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))
67	61, 66	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))
68	1, 62	mulcld 11281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
69	2, 62	mulcld 11281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
70	38, 68, 69	adddid 11285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) = ((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))))
71	70	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3)) = (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3)))
72	71	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))
73	67, 72	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  3c3 12322  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  3cubeslem3l  42697  3cubeslem3r  42698