cu3addd - Mathbox for Igor Ieskov

	Mathbox for Igor Ieskov		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > cu3addd		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cu3addd 43828

Description: Cube of sum of three numbers. (Contributed by Igor Ieskov, 14-Dec-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cu3addd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cu3addd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cu3addd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

**Assertion**
Ref	Expression
cu3addd	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))

**Proof of Theorem cu3addd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		cu3addd.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cu3addd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 11335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		cu3addd.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	3, 4	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
6		binom3 14375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3)))))
8	5, 7	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
9		binom3 14375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
10	1, 2, 9	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
11	10	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))))
12	11	oveq1d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
13	8, 12	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
14	1, 2	binom2d 14369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
15	14	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))
16	15	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶)) = (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶)))
17	16	oveq2d 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))))
18	17	oveq1d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
19	13, 18	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
20	1	sqcld 14294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21		2cnd 12428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	1, 2	mulcld 11336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
23	21, 22	mulcld 11336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
24	20, 23	addcld 11335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
25	2	sqcld 14294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
26	24, 25, 4	adddird 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
27	26	oveq2d 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶)) = (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶))))
28	27	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
29	28	oveq1d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
30	19, 29	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
31	20, 23, 4	adddird 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)))
32	31	oveq1d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)) = ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
33	32	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶))) = (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶))))
34	33	oveq2d 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
35	34	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
36	30, 35	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
37		3cn 12431	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
39	20, 4	mulcld 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐶) ∈ ℂ)
40	23, 4	mulcld 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶) ∈ ℂ)
41	39, 40	addcld 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) ∈ ℂ)
42	25, 4	mulcld 11336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) · 𝐶) ∈ ℂ)
43	38, 41, 42	adddid 11340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶))) = ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))))
44	43	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
45	44	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
46	36, 45	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
47	38, 39, 40	adddid 11340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) = ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))))
48	47	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))) = (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))))
49	48	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
50	49	oveq1d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
51	46, 50	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
52	38, 21, 22	mulassd 11339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (3 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
53	52	oveq1d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶) = ((3 · (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶))
54	38, 23, 4	mulassd 11339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((3 · (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) = (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)))
55	53, 54	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶) = (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)))
56	55	oveq2d 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) = ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))))
57	56	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))) = (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))))
58	57	oveq2d 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
59	58	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
60	59	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
61	51, 60	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
62	4	sqcld 14294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
63	1, 2, 62	adddird 11341	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2)) = ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2))))
64	63	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) = (3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))))
65	64	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3)) = ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3)))
66	65	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))
67	61, 66	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))
68	1, 62	mulcld 11336	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
69	2, 62	mulcld 11336	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
70	38, 68, 69	adddid 11340	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) = ((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))))
71	70	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3)) = (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3)))
72	71	oveq2d 7440	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))
73	67, 72	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ∧ wa 401 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 (class class class)co 7424 ℂcc 11205 + caddc 11210 · cmul 11212 2c2 12404 3c3 12405 ↑cexp 14211

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7755 ax-cnex 11263 ax-resscn 11264 ax-1cn 11265 ax-icn 11266 ax-addcl 11267 ax-addrcl 11268 ax-mulcl 11269 ax-mulrcl 11270 ax-mulcom 11271 ax-addass 11272 ax-mulass 11273 ax-distr 11274 ax-i2m1 11275 ax-1ne0 11276 ax-1rid 11277 ax-rnegex 11278 ax-rrecex 11279 ax-cnre 11280 ax-pre-lttri 11281 ax-pre-lttrn 11282 ax-pre-ltadd 11283 ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-ss 3897 df-pss 4013 df-dif 4046 df-in 4090 df-un 4150 df-nul 4278 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4835 df-uni 4867 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6307 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6497 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7381 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-om 7882 df-2nd 8006 df-frecs 8307 df-wrecs 8338 df-recs 8387 df-rdg 8426 df-er 8725 df-en 8982 df-dom 8983 df-sdom 8984 df-pnf 11352 df-mnf 11353 df-xr 11354 df-ltxr 11355 df-le 11356 df-sub 11550 df-neg 11551 df-nn 12343 df-2 12412 df-3 12413 df-n0 12614 df-z 12701 df-uz 12973 df-seq 14152 df-exp 14212

This theorem is used by: 3cubeslem3l 43833 3cubeslem3r 43834

W3C validator