Theorem cu3addd 42923

Description: Cube of sum of three numbers. (Contributed by Igor Ieskov, 14-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cu3addd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cu3addd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cu3addd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cu3addd	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))

Proof of Theorem cu3addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cu3addd.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cu3addd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		cu3addd.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	3, 4	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
6		binom3 14147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3)))))
8	5, 7	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
9		binom3 14147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
10	1, 2, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
11	10	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))))
12	11	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
13	8, 12	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
14	1, 2	binom2d 14141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
15	14	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))
16	15	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶)) = (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶)))
17	16	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))))
18	17	oveq1d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
19	13, 18	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
20	1	sqcld 14067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21		2cnd 12223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	1, 2	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
23	21, 22	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
24	20, 23	addcld 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
25	2	sqcld 14067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
26	24, 25, 4	adddird 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
27	26	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶)) = (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶))))
28	27	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
29	28	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
30	19, 29	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
31	20, 23, 4	adddird 11157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)))
32	31	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)) = ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
33	32	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶))) = (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶))))
34	33	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
35	34	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
36	30, 35	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
37		3cn 12226	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
39	20, 4	mulcld 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐶) ∈ ℂ)
40	23, 4	mulcld 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶) ∈ ℂ)
41	39, 40	addcld 11151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) ∈ ℂ)
42	25, 4	mulcld 11152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) · 𝐶) ∈ ℂ)
43	38, 41, 42	adddid 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶))) = ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))))
44	43	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
45	44	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
46	36, 45	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
47	38, 39, 40	adddid 11156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) = ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))))
48	47	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))) = (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))))
49	48	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
50	49	oveq1d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
51	46, 50	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
52	38, 21, 22	mulassd 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (3 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
53	52	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶) = ((3 · (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶))
54	38, 23, 4	mulassd 11155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((3 · (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) = (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)))
55	53, 54	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶) = (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)))
56	55	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) = ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))))
57	56	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))) = (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))))
58	57	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
59	58	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
60	59	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
61	51, 60	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
62	4	sqcld 14067	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
63	1, 2, 62	adddird 11157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2)) = ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2))))
64	63	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) = (3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))))
65	64	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3)) = ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3)))
66	65	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))
67	61, 66	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))
68	1, 62	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
69	2, 62	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
70	38, 68, 69	adddid 11156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) = ((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))))
71	70	oveq1d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3)) = (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3)))
72	71	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))
73	67, 72	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   · cmul 11031  2c2 12200  3c3 12201  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  3cubeslem3l  42928  3cubeslem3r  42929