Users' Mathboxes Mathbox for Igor Ieskov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cu3addd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cu3addd 41050
Description: Cube of sum of three numbers. (Contributed by Igor Ieskov, 14-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cu3addd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
cu3addd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
cu3addd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
cu3addd (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ถโ†‘2))) + (3 ยท (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3))))

Proof of Theorem cu3addd
StepHypRef Expression
1 cu3addd.1 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 cu3addd.2 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
31, 2addcld 11182 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4 cu3addd.3 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
53, 4jca 513 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
6 binom3 14136 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = ((((๐ด + ๐ต)โ†‘3) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = ((((๐ด + ๐ต)โ†‘3) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3)))))
85, 7mpd 15 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = ((((๐ด + ๐ต)โ†‘3) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
9 binom3 14136 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
101, 2, 9syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
1110oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))))
1211oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘3) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
138, 12eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
141, 2binom2d 41049 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
1514oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ))
1615oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ)) = (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ)))
1716oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ))))
1817oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
1913, 18eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
201sqcld 14058 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
21 2cnd 12239 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
221, 2mulcld 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2321, 22mulcld 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2420, 23addcld 11182 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
252sqcld 14058 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2624, 25, 4adddird 11188 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))
2726oveq2d 7377 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ)) = (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))))
2827oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))))
2928oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
3019, 29eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
3120, 23, 4adddird 11188 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)))
3231oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)) = ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))
3332oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))) = (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))))
3433oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))))
3534oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
3630, 35eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
37 3cn 12242 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„‚
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
3920, 4mulcld 11183 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4023, 4mulcld 11183 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4139, 40addcld 11182 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
4225, 4mulcld 11183 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4338, 41, 42adddid 11187 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))) = ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))))
4443oveq2d 7377 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))))
4544oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
4636, 45eqtrd 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
4738, 39, 40adddid 11187 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))))
4847oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))) = (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))))
4948oveq2d 7377 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))))
5049oveq1d 7376 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
5146, 50eqtrd 2773 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
5238, 21, 22mulassd 11186 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (3 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
5352oveq1d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ) = ((3 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ))
5438, 23, 4mulassd 11186 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) = (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)))
5553, 54eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ) = (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)))
5655oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))))
5756oveq1d 7376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))) = (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))))
5857oveq2d 7377 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))))
5958eqcomd 2739 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))))
6059oveq1d 7376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
6151, 60eqtrd 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
624sqcld 14058 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
631, 2, 62adddird 11188 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2)) = ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2))))
6463oveq2d 7377 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) = (3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))))
6564oveq1d 7376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3)) = ((3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3)))
6665oveq2d 7377 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3))))
6761, 66eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3))))
681, 62mulcld 11183 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
692, 62mulcld 11183 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
7038, 68, 69adddid 11187 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) = ((3 ยท (๐ด ยท (๐ถโ†‘2))) + (3 ยท (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))))
7170oveq1d 7376 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3)) = (((3 ยท (๐ด ยท (๐ถโ†‘2))) + (3 ยท (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3)))
7271oveq2d 7377 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ถโ†‘2))) + (3 ยท (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3))))
7367, 72eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ถโ†‘2))) + (3 ยท (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057   + caddc 11062   ยท cmul 11064  2c2 12216  3c3 12217  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  3cubeslem3l  41056  3cubeslem3r  41057
  Copyright terms: Public domain W3C validator