cu3addd - Mathbox for Igor Ieskov

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Theorem cu3addd 42636

Description: Cube of sum of three numbers. (Contributed by Igor Ieskov, 14-Dec-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cu3addd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cu3addd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
cu3addd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

**Assertion**
Ref	Expression
cu3addd	⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))

**Proof of Theorem cu3addd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		cu3addd.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cu3addd.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcld 11309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4		cu3addd.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	3, 4	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
6		binom3 14273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3)))))
8	5, 7	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
9		binom3 14273	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
10	1, 2, 9	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
11	10	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))))
12	11	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵)↑3) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
13	8, 12	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
14	1, 2	binom2d 14267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
15	14	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))
16	15	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶)) = (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶)))
17	16	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))))
18	17	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
19	13, 18	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
20	1	sqcld 14194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21		2cnd 12371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
22	1, 2	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
23	21, 22	mulcld 11310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
24	20, 23	addcld 11309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
25	2	sqcld 14194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
26	24, 25, 4	adddird 11315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
27	26	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶)) = (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶))))
28	27	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
29	28	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐶))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
30	19, 29	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
31	20, 23, 4	adddird 11315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) = (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)))
32	31	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)) = ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))
33	32	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶))) = (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶))))
34	33	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
35	34	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
36	30, 35	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
37		3cn 12374	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
39	20, 4	mulcld 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐶) ∈ ℂ)
40	23, 4	mulcld 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶) ∈ ℂ)
41	39, 40	addcld 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) ∈ ℂ)
42	25, 4	mulcld 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) · 𝐶) ∈ ℂ)
43	38, 41, 42	adddid 11314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶))) = ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))))
44	43	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
45	44	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (3 · ((((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
46	36, 45	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
47	38, 39, 40	adddid 11314	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) = ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))))
48	47	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))) = (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))))
49	48	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
50	49	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + ((3 · (((𝐴↑2) · 𝐶) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
51	46, 50	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
52	38, 21, 22	mulassd 11313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) = (3 · (2 · (𝐴 · 𝐵))))
53	52	oveq1d 7463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶) = ((3 · (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶))
54	38, 23, 4	mulassd 11313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((3 · (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐶) = (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)))
55	53, 54	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶) = (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)))
56	55	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) = ((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))))
57	56	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))) = (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶))))
58	57	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
59	58	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) = ((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))))
60	59	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (3 · ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶))) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
61	51, 60	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))))
62	4	sqcld 14194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
63	1, 2, 62	adddird 11315	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2)) = ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2))))
64	63	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) = (3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))))
65	64	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3)) = ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3)))
66	65	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶↑2))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))
67	61, 66	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))
68	1, 62	mulcld 11310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
69	2, 62	mulcld 11310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
70	38, 68, 69	adddid 11314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) = ((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))))
71	70	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3)) = (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3)))
72	71	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + ((3 · ((𝐴 · (𝐶↑2)) + (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))
73	67, 72	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶)↑3) = (((((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) + (((3 · ((𝐴↑2) · 𝐶)) + (((3 · 2) · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐶)) + (3 · ((𝐵↑2) · 𝐶)))) + (((3 · (𝐴 · (𝐶↑2))) + (3 · (𝐵 · (𝐶↑2)))) + (𝐶↑3))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 (class class class)co 7448 ℂcc 11182 + caddc 11187 · cmul 11189 2c2 12348 3c3 12349 ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-er 8763 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-n0 12554 df-z 12640 df-uz 12904 df-seq 14053 df-exp 14113

This theorem is referenced by: 3cubeslem3l 42642 3cubeslem3r 42643

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