Users' Mathboxes Mathbox for Igor Ieskov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cu3addd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cu3addd 41977
Description: Cube of sum of three numbers. (Contributed by Igor Ieskov, 14-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cu3addd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
cu3addd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
cu3addd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
cu3addd (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ถโ†‘2))) + (3 ยท (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3))))

Proof of Theorem cu3addd
StepHypRef Expression
1 cu3addd.1 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 cu3addd.2 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
31, 2addcld 11234 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4 cu3addd.3 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
53, 4jca 511 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
6 binom3 14190 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = ((((๐ด + ๐ต)โ†‘3) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = ((((๐ด + ๐ต)โ†‘3) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3)))))
85, 7mpd 15 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = ((((๐ด + ๐ต)โ†‘3) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
9 binom3 14190 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
101, 2, 9syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘3) = (((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))))
1110oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘3) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))))
1211oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ด + ๐ต)โ†‘3) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
138, 12eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
141, 2binom2d 41976 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
1514oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ))
1615oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ)) = (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ)))
1716oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ))))
1817oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท (((๐ด + ๐ต)โ†‘2) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
1913, 18eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
201sqcld 14112 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
21 2cnd 12291 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
221, 2mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2321, 22mulcld 11235 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2420, 23addcld 11234 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) โˆˆ โ„‚)
252sqcld 14112 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
2624, 25, 4adddird 11240 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ) = ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))
2726oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ)) = (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))))
2827oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))))
2928oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)) ยท ๐ถ))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
3019, 29eqtrd 2766 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
3120, 23, 4adddird 11240 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) = (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)))
3231oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)) = ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))
3332oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))) = (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))))
3433oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))))
3534oveq1d 7419 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
3630, 35eqtrd 2766 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
37 3cn 12294 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„‚
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
3920, 4mulcld 11235 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4023, 4mulcld 11235 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4139, 40addcld 11234 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„‚)
4225, 4mulcld 11235 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
4338, 41, 42adddid 11239 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))) = ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))))
4443oveq2d 7420 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))))
4544oveq1d 7419 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (3 ยท ((((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
4636, 45eqtrd 2766 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
4738, 39, 40adddid 11239 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))))
4847oveq1d 7419 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))) = (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))))
4948oveq2d 7420 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))))
5049oveq1d 7419 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + ((3 ยท (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ) + ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
5146, 50eqtrd 2766 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
5238, 21, 22mulassd 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) = (3 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))))
5352oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ) = ((3 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ))
5438, 23, 4mulassd 11238 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) ยท ๐ถ) = (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)))
5553, 54eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ) = (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)))
5655oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) = ((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))))
5756oveq1d 7419 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))) = (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ))))
5857oveq2d 7420 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))))
5958eqcomd 2732 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) = ((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))))
6059oveq1d 7419 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((2 ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ))) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
6151, 60eqtrd 2766 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))))
624sqcld 14112 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
631, 2, 62adddird 11240 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2)) = ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2))))
6463oveq2d 7420 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) = (3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))))
6564oveq1d 7419 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3)) = ((3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3)))
6665oveq2d 7420 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ถโ†‘2))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3))))
6761, 66eqtrd 2766 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3))))
681, 62mulcld 11235 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
692, 62mulcld 11235 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
7038, 68, 69adddid 11239 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) = ((3 ยท (๐ด ยท (๐ถโ†‘2))) + (3 ยท (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))))
7170oveq1d 7419 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3)) = (((3 ยท (๐ด ยท (๐ถโ†‘2))) + (3 ยท (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3)))
7271oveq2d 7420 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + ((3 ยท ((๐ด ยท (๐ถโ†‘2)) + (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3))) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ถโ†‘2))) + (3 ยท (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3))))
7367, 72eqtrd 2766 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ถโ†‘2))) + (3 ยท (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107   + caddc 11112   ยท cmul 11114  2c2 12268  3c3 12269  โ†‘cexp 14030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-exp 14031
This theorem is referenced by:  3cubeslem3l  41983  3cubeslem3r  41984
  Copyright terms: Public domain W3C validator