MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqcld 14056
Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sqcld (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 sqcl 14030 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7362  cc 11056  2c2 12215  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14169  muldivbinom2  14170  recval  15214  bhmafibid1cn  15355  bhmafibid2cn  15356  bhmafibid2  15358  arisum2  15753  fsumcube  15950  efi4p  16026  sincossq  16065  cos2t  16067  cos2tsin  16068  sqrt2irrlem  16137  pythagtriplem1  16695  pythagtriplem2  16696  pythagtriplem6  16700  pythagtriplem7  16701  pythagtriplem12  16705  pythagtriplem14  16707  4sqlem7  16823  4sqlem10  16826  4sqlem14  16837  4cphipval2  24622  csbren  24779  rrxmval  24785  rrxmetlem  24787  dvrecg  25353  dvmptdiv  25354  dveflem  25359  coskpi  25895  coseq1  25897  tanregt0  25911  efif1olem4  25917  tanarg  25990  lawcoslem1  26181  lawcos  26182  pythag  26183  ssscongptld  26188  chordthmlem3  26200  chordthmlem4  26201  chordthmlem5  26202  heron  26204  quad2  26205  quad  26206  dcubic1lem  26209  dcubic2  26210  dcubic1  26211  dcubic  26212  mcubic  26213  cubic2  26214  cubic  26215  binom4  26216  dquartlem1  26217  dquartlem2  26218  dquart  26219  quart1cl  26220  quart1lem  26221  quart1  26222  quartlem1  26223  quartlem2  26224  quartlem4  26226  quart  26227  asinlem3  26237  asinneg  26252  asinsin  26258  atandmcj  26275  efiatan2  26283  atandmtan  26286  cosatan  26287  cosatanne0  26288  dvatan  26301  cxp2limlem  26341  lgamgulmlem4  26397  basellem8  26453  lgsdir  26696  2sqlem4  26785  2sqlem11  26793  2sqn0  26798  2sqmod  26800  2sqnn  26803  addsq2reu  26804  2sqreultlem  26811  2sqreunnltlem  26814  2sqreulem2  26816  mulog2sumlem2  26899  mulog2sumlem3  26900  logsqvma  26906  selberglem1  26909  selberglem3  26911  selberg  26912  logdivbnd  26920  pntlemf  26969  pntlemk  26970  pntlemo  26971  ax5seglem1  27919  ax5seglem2  27920  ax5seglem6  27925  ax5seglem9  27928  axlowdimlem16  27948  axlowdimlem17  27949  4ipval2  29692  ipidsq  29694  cncph  29803  hhph  30162  eigvalcl  30945  circlemethhgt  33296  hgt750leme  33311  sin2h  36097  cos2h  36098  tan2h  36099  dvtan  36157  dvasin  36191  dvacos  36192  areacirclem1  36195  areacirclem2  36196  areacirclem4  36198  areacirc  36200  ismrer1  36326  aks4d1p1p2  40556  aks4d1p1p6  40559  aks4d1p1p7  40560  aks4d1p1p5  40561  cu3addd  41032  3cubeslem2  41037  3cubeslem3l  41038  3cubeslem3r  41039  3cubeslem4  41041  pellexlem1  41181  pellexlem2  41182  pellexlem6  41186  pell1qrge1  41222  pell1qrgaplem  41225  rmspecsqrtnq  41258  rmxdbl  41292  jm2.18  41341  jm2.19lem1  41342  jm2.25  41352  jm2.27c  41360  sqrtcval  41987  dvdivf  44237  dvdivbd  44238  itgsinexplem1  44269  itgsinexp  44270  wallispi2lem1  44386  wallispi2lem2  44387  wallispi2  44388  stirlinglem1  44389  stirlinglem3  44391  stirlinglem8  44396  stirlinglem10  44398  stirlinglem15  44403  rrxtopnfi  44602  hoiqssbllem2  44938  quad1  45886  itschlc0yqe  46920  itsclc0yqsollem1  46922  itsclc0yqsol  46924  itscnhlc0xyqsol  46925  itschlc0xyqsol1  46926  itschlc0xyqsol  46927  itsclc0xyqsolr  46929  2itscplem1  46938  2itscplem3  46940  itscnhlinecirc02plem1  46942  onetansqsecsq  47280  cotsqcscsq  47281
  Copyright terms: Public domain W3C validator