Theorem sqcld 13790

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 13766	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  2c2 11958  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  13904  muldivbinom2  13905  recval  14962  bhmafibid1cn  15103  bhmafibid2cn  15104  bhmafibid2  15106  arisum2  15501  fsumcube  15698  efi4p  15774  sincossq  15813  cos2t  15815  cos2tsin  15816  sqrt2irrlem  15885  pythagtriplem1  16445  pythagtriplem2  16446  pythagtriplem6  16450  pythagtriplem7  16451  pythagtriplem12  16455  pythagtriplem14  16457  4sqlem7  16573  4sqlem10  16576  4sqlem14  16587  4cphipval2  24311  csbren  24468  rrxmval  24474  rrxmetlem  24476  dvrecg  25042  dvmptdiv  25043  dveflem  25048  coskpi  25584  coseq1  25586  tanregt0  25600  efif1olem4  25606  tanarg  25679  lawcoslem1  25870  lawcos  25871  pythag  25872  ssscongptld  25877  chordthmlem3  25889  chordthmlem4  25890  chordthmlem5  25891  heron  25893  quad2  25894  quad  25895  dcubic1lem  25898  dcubic2  25899  dcubic1  25900  dcubic  25901  mcubic  25902  cubic2  25903  cubic  25904  binom4  25905  dquartlem1  25906  dquartlem2  25907  dquart  25908  quart1cl  25909  quart1lem  25910  quart1  25911  quartlem1  25912  quartlem2  25913  quartlem4  25915  quart  25916  asinlem3  25926  asinneg  25941  asinsin  25947  atandmcj  25964  efiatan2  25972  atandmtan  25975  cosatan  25976  cosatanne0  25977  dvatan  25990  cxp2limlem  26030  lgamgulmlem4  26086  basellem8  26142  lgsdir  26385  2sqlem4  26474  2sqlem11  26482  2sqn0  26487  2sqmod  26489  2sqnn  26492  addsq2reu  26493  2sqreultlem  26500  2sqreunnltlem  26503  2sqreulem2  26505  mulog2sumlem2  26588  mulog2sumlem3  26589  logsqvma  26595  selberglem1  26598  selberglem3  26600  selberg  26601  logdivbnd  26609  pntlemf  26658  pntlemk  26659  pntlemo  26660  ax5seglem1  27199  ax5seglem2  27200  ax5seglem6  27205  ax5seglem9  27208  axlowdimlem16  27228  axlowdimlem17  27229  4ipval2  28971  ipidsq  28973  cncph  29082  hhph  29441  eigvalcl  30224  circlemethhgt  32523  hgt750leme  32538  sin2h  35694  cos2h  35695  tan2h  35696  dvtan  35754  dvasin  35788  dvacos  35789  areacirclem1  35792  areacirclem2  35793  areacirclem4  35795  areacirc  35797  ismrer1  35923  aks4d1p1p2  40006  aks4d1p1p6  40009  aks4d1p1p7  40010  aks4d1p1p5  40011  cu3addd  40418  3cubeslem2  40423  3cubeslem3l  40424  3cubeslem3r  40425  3cubeslem4  40427  pellexlem1  40567  pellexlem2  40568  pellexlem6  40572  pell1qrge1  40608  pell1qrgaplem  40611  rmspecsqrtnq  40644  rmxdbl  40677  jm2.18  40726  jm2.19lem1  40727  jm2.25  40737  jm2.27c  40745  sqrtcval  41138  dvdivf  43353  dvdivbd  43354  itgsinexplem1  43385  itgsinexp  43386  wallispi2lem1  43502  wallispi2lem2  43503  wallispi2  43504  stirlinglem1  43505  stirlinglem3  43507  stirlinglem8  43512  stirlinglem10  43514  stirlinglem15  43519  rrxtopnfi  43718  hoiqssbllem2  44051  quad1  44960  itschlc0yqe  45994  itsclc0yqsollem1  45996  itsclc0yqsol  45998  itscnhlc0xyqsol  45999  itschlc0xyqsol1  46000  itschlc0xyqsol  46001  itsclc0xyqsolr  46003  2itscplem1  46012  2itscplem3  46014  itscnhlinecirc02plem1  46016  onetansqsecsq  46349  cotsqcscsq  46350