Theorem sqcld 14051

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14025	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  2c2 12180  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14169  muldivbinom2  14170  recval  15230  bhmafibid1cn  15373  bhmafibid2cn  15374  bhmafibid2  15376  arisum2  15768  fsumcube  15967  efi4p  16046  sincossq  16085  cos2t  16087  cos2tsin  16088  sqrt2irrlem  16157  pythagtriplem1  16728  pythagtriplem2  16729  pythagtriplem6  16733  pythagtriplem7  16734  pythagtriplem12  16738  pythagtriplem14  16740  4sqlem7  16856  4sqlem10  16859  4sqlem14  16870  4cphipval2  25169  csbren  25326  rrxmval  25332  rrxmetlem  25334  dvrecg  25904  dvmptdiv  25905  dveflem  25910  coskpi  26459  coseq1  26461  tanregt0  26475  efif1olem4  26481  tanarg  26555  lawcoslem1  26752  lawcos  26753  pythag  26754  ssscongptld  26759  chordthmlem3  26771  chordthmlem4  26772  chordthmlem5  26773  heron  26775  quad2  26776  quad  26777  dcubic1lem  26780  dcubic2  26781  dcubic1  26782  dcubic  26783  mcubic  26784  cubic2  26785  cubic  26786  binom4  26787  dquartlem1  26788  dquartlem2  26789  dquart  26790  quart1cl  26791  quart1lem  26792  quart1  26793  quartlem1  26794  quartlem2  26795  quartlem4  26797  quart  26798  asinlem3  26808  asinneg  26823  asinsin  26829  atandmcj  26846  efiatan2  26854  atandmtan  26857  cosatan  26858  cosatanne0  26859  dvatan  26872  cxp2limlem  26913  lgamgulmlem4  26969  basellem8  27025  lgsdir  27270  2sqlem4  27359  2sqlem11  27367  2sqn0  27372  2sqmod  27374  2sqnn  27377  addsq2reu  27378  2sqreultlem  27385  2sqreunnltlem  27388  2sqreulem2  27390  mulog2sumlem2  27473  mulog2sumlem3  27474  logsqvma  27480  selberglem1  27483  selberglem3  27485  selberg  27486  logdivbnd  27494  pntlemf  27543  pntlemk  27544  pntlemo  27545  ax5seglem1  28906  ax5seglem2  28907  ax5seglem6  28912  ax5seglem9  28915  axlowdimlem16  28935  axlowdimlem17  28936  4ipval2  30688  ipidsq  30690  cncph  30799  hhph  31158  eigvalcl  31941  pythagreim  32729  quad3d  32733  constrrtlc1  33745  constrrtcclem  33747  constrrtcc  33748  constrfin  33759  constrresqrtcl  33790  cos9thpiminplylem2  33796  cos9thpiminplylem3  33797  cos9thpinconstrlem1  33802  circlemethhgt  34656  hgt750leme  34671  sin2h  37649  cos2h  37650  tan2h  37651  dvtan  37709  dvasin  37743  dvacos  37744  areacirclem1  37747  areacirclem2  37748  areacirclem4  37750  areacirc  37752  ismrer1  37877  aks4d1p1p2  42162  aks4d1p1p6  42165  aks4d1p1p7  42166  aks4d1p1p5  42167  oddnumth  42403  nicomachus  42404  sumcubes  42405  readvrec2  42453  cu3addd  42773  3cubeslem2  42777  3cubeslem3l  42778  3cubeslem3r  42779  3cubeslem4  42781  pellexlem1  42921  pellexlem2  42922  pellexlem6  42926  pell1qrge1  42962  pell1qrgaplem  42965  rmspecsqrtnq  42998  rmxdbl  43031  jm2.18  43080  jm2.19lem1  43081  jm2.25  43091  jm2.27c  43099  sqrtcval  43733  dvdivf  46019  dvdivbd  46020  itgsinexplem1  46051  itgsinexp  46052  wallispi2lem1  46168  wallispi2lem2  46169  wallispi2  46170  stirlinglem1  46171  stirlinglem3  46173  stirlinglem8  46178  stirlinglem10  46180  stirlinglem15  46185  rrxtopnfi  46384  hoiqssbllem2  46720  quad1  47719  itschlc0yqe  48860  itsclc0yqsollem1  48862  itsclc0yqsol  48864  itscnhlc0xyqsol  48865  itschlc0xyqsol1  48866  itschlc0xyqsol  48867  itsclc0xyqsolr  48869  2itscplem1  48878  2itscplem3  48880  itscnhlinecirc02plem1  48882  onetansqsecsq  49861  cotsqcscsq  49862