Theorem sqcld 14109

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14083	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  2c2 12241  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14227  muldivbinom2  14228  recval  15289  bhmafibid1cn  15432  bhmafibid2cn  15433  bhmafibid2  15435  arisum2  15827  fsumcube  16026  efi4p  16105  sincossq  16144  cos2t  16146  cos2tsin  16147  sqrt2irrlem  16216  pythagtriplem1  16787  pythagtriplem2  16788  pythagtriplem6  16792  pythagtriplem7  16793  pythagtriplem12  16797  pythagtriplem14  16799  4sqlem7  16915  4sqlem10  16918  4sqlem14  16929  4cphipval2  25142  csbren  25299  rrxmval  25305  rrxmetlem  25307  dvrecg  25877  dvmptdiv  25878  dveflem  25883  coskpi  26432  coseq1  26434  tanregt0  26448  efif1olem4  26454  tanarg  26528  lawcoslem1  26725  lawcos  26726  pythag  26727  ssscongptld  26732  chordthmlem3  26744  chordthmlem4  26745  chordthmlem5  26746  heron  26748  quad2  26749  quad  26750  dcubic1lem  26753  dcubic2  26754  dcubic1  26755  dcubic  26756  mcubic  26757  cubic2  26758  cubic  26759  binom4  26760  dquartlem1  26761  dquartlem2  26762  dquart  26763  quart1cl  26764  quart1lem  26765  quart1  26766  quartlem1  26767  quartlem2  26768  quartlem4  26770  quart  26771  asinlem3  26781  asinneg  26796  asinsin  26802  atandmcj  26819  efiatan2  26827  atandmtan  26830  cosatan  26831  cosatanne0  26832  dvatan  26845  cxp2limlem  26886  lgamgulmlem4  26942  basellem8  26998  lgsdir  27243  2sqlem4  27332  2sqlem11  27340  2sqn0  27345  2sqmod  27347  2sqnn  27350  addsq2reu  27351  2sqreultlem  27358  2sqreunnltlem  27361  2sqreulem2  27363  mulog2sumlem2  27446  mulog2sumlem3  27447  logsqvma  27453  selberglem1  27456  selberglem3  27458  selberg  27459  logdivbnd  27467  pntlemf  27516  pntlemk  27517  pntlemo  27518  ax5seglem1  28855  ax5seglem2  28856  ax5seglem6  28861  ax5seglem9  28864  axlowdimlem16  28884  axlowdimlem17  28885  4ipval2  30637  ipidsq  30639  cncph  30748  hhph  31107  eigvalcl  31890  pythagreim  32669  quad3d  32673  constrrtlc1  33722  constrrtcclem  33724  constrrtcc  33725  constrfin  33736  constrresqrtcl  33767  cos9thpiminplylem2  33773  cos9thpiminplylem3  33774  cos9thpinconstrlem1  33779  circlemethhgt  34634  hgt750leme  34649  sin2h  37604  cos2h  37605  tan2h  37606  dvtan  37664  dvasin  37698  dvacos  37699  areacirclem1  37702  areacirclem2  37703  areacirclem4  37705  areacirc  37707  ismrer1  37832  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p1p6  42061  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p1p5  42063  oddnumth  42299  nicomachus  42300  sumcubes  42301  readvrec2  42349  cu3addd  42669  3cubeslem2  42673  3cubeslem3l  42674  3cubeslem3r  42675  3cubeslem4  42677  pellexlem1  42817  pellexlem2  42818  pellexlem6  42822  pell1qrge1  42858  pell1qrgaplem  42861  rmspecsqrtnq  42894  rmxdbl  42928  jm2.18  42977  jm2.19lem1  42978  jm2.25  42988  jm2.27c  42996  sqrtcval  43630  dvdivf  45920  dvdivbd  45921  itgsinexplem1  45952  itgsinexp  45953  wallispi2lem1  46069  wallispi2lem2  46070  wallispi2  46071  stirlinglem1  46072  stirlinglem3  46074  stirlinglem8  46079  stirlinglem10  46081  stirlinglem15  46086  rrxtopnfi  46285  hoiqssbllem2  46621  quad1  47621  itschlc0yqe  48749  itsclc0yqsollem1  48751  itsclc0yqsol  48753  itscnhlc0xyqsol  48754  itschlc0xyqsol1  48755  itschlc0xyqsol  48756  itsclc0xyqsolr  48758  2itscplem1  48767  2itscplem3  48769  itscnhlinecirc02plem1  48771  onetansqsecsq  49750  cotsqcscsq  49751