Theorem sqcld 14087

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14061	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11044  2c2 12219  ↑cexp 14004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13945  df-exp 14005

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14205  muldivbinom2  14206  recval  15266  bhmafibid1cn  15409  bhmafibid2cn  15410  bhmafibid2  15412  arisum2  15804  fsumcube  16003  efi4p  16082  sincossq  16121  cos2t  16123  cos2tsin  16124  sqrt2irrlem  16193  pythagtriplem1  16764  pythagtriplem2  16765  pythagtriplem6  16769  pythagtriplem7  16770  pythagtriplem12  16774  pythagtriplem14  16776  4sqlem7  16892  4sqlem10  16895  4sqlem14  16906  4cphipval2  25176  csbren  25333  rrxmval  25339  rrxmetlem  25341  dvrecg  25911  dvmptdiv  25912  dveflem  25917  coskpi  26466  coseq1  26468  tanregt0  26482  efif1olem4  26488  tanarg  26562  lawcoslem1  26759  lawcos  26760  pythag  26761  ssscongptld  26766  chordthmlem3  26778  chordthmlem4  26779  chordthmlem5  26780  heron  26782  quad2  26783  quad  26784  dcubic1lem  26787  dcubic2  26788  dcubic1  26789  dcubic  26790  mcubic  26791  cubic2  26792  cubic  26793  binom4  26794  dquartlem1  26795  dquartlem2  26796  dquart  26797  quart1cl  26798  quart1lem  26799  quart1  26800  quartlem1  26801  quartlem2  26802  quartlem4  26804  quart  26805  asinlem3  26815  asinneg  26830  asinsin  26836  atandmcj  26853  efiatan2  26861  atandmtan  26864  cosatan  26865  cosatanne0  26866  dvatan  26879  cxp2limlem  26920  lgamgulmlem4  26976  basellem8  27032  lgsdir  27277  2sqlem4  27366  2sqlem11  27374  2sqn0  27379  2sqmod  27381  2sqnn  27384  addsq2reu  27385  2sqreultlem  27392  2sqreunnltlem  27395  2sqreulem2  27397  mulog2sumlem2  27480  mulog2sumlem3  27481  logsqvma  27487  selberglem1  27490  selberglem3  27492  selberg  27493  logdivbnd  27501  pntlemf  27550  pntlemk  27551  pntlemo  27552  ax5seglem1  28909  ax5seglem2  28910  ax5seglem6  28915  ax5seglem9  28918  axlowdimlem16  28938  axlowdimlem17  28939  4ipval2  30688  ipidsq  30690  cncph  30799  hhph  31158  eigvalcl  31941  pythagreim  32720  quad3d  32724  constrrtlc1  33716  constrrtcclem  33718  constrrtcc  33719  constrfin  33730  constrresqrtcl  33761  cos9thpiminplylem2  33767  cos9thpiminplylem3  33768  cos9thpinconstrlem1  33773  circlemethhgt  34628  hgt750leme  34643  sin2h  37598  cos2h  37599  tan2h  37600  dvtan  37658  dvasin  37692  dvacos  37693  areacirclem1  37696  areacirclem2  37697  areacirclem4  37699  areacirc  37701  ismrer1  37826  aks4d1p1p2  42052  aks4d1p1p6  42055  aks4d1p1p7  42056  aks4d1p1p5  42057  oddnumth  42293  nicomachus  42294  sumcubes  42295  readvrec2  42343  cu3addd  42663  3cubeslem2  42667  3cubeslem3l  42668  3cubeslem3r  42669  3cubeslem4  42671  pellexlem1  42811  pellexlem2  42812  pellexlem6  42816  pell1qrge1  42852  pell1qrgaplem  42855  rmspecsqrtnq  42888  rmxdbl  42922  jm2.18  42971  jm2.19lem1  42972  jm2.25  42982  jm2.27c  42990  sqrtcval  43624  dvdivf  45914  dvdivbd  45915  itgsinexplem1  45946  itgsinexp  45947  wallispi2lem1  46063  wallispi2lem2  46064  wallispi2  46065  stirlinglem1  46066  stirlinglem3  46068  stirlinglem8  46073  stirlinglem10  46075  stirlinglem15  46080  rrxtopnfi  46279  hoiqssbllem2  46615  quad1  47615  itschlc0yqe  48743  itsclc0yqsollem1  48745  itsclc0yqsol  48747  itscnhlc0xyqsol  48748  itschlc0xyqsol1  48749  itschlc0xyqsol  48750  itsclc0xyqsolr  48752  2itscplem1  48761  2itscplem3  48763  itscnhlinecirc02plem1  48765  onetansqsecsq  49744  cotsqcscsq  49745