Theorem sqcld 14101

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14075	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  2c2 12231  ↑cexp 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-seq 13959  df-exp 14019

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14219  muldivbinom2  14220  recval  15280  bhmafibid1cn  15423  bhmafibid2cn  15424  bhmafibid2  15426  arisum2  15821  fsumcube  16020  efi4p  16099  sincossq  16138  cos2t  16140  cos2tsin  16141  sqrt2irrlem  16210  pythagtriplem1  16782  pythagtriplem2  16783  pythagtriplem6  16787  pythagtriplem7  16788  pythagtriplem12  16792  pythagtriplem14  16794  4sqlem7  16910  4sqlem10  16913  4sqlem14  16924  4cphipval2  25223  csbren  25380  rrxmval  25386  rrxmetlem  25388  dvrecg  25954  dvmptdiv  25955  dveflem  25960  coskpi  26504  coseq1  26506  tanregt0  26520  efif1olem4  26526  tanarg  26600  lawcoslem1  26796  lawcos  26797  pythag  26798  ssscongptld  26803  chordthmlem3  26815  chordthmlem4  26816  chordthmlem5  26817  heron  26819  quad2  26820  quad  26821  dcubic1lem  26824  dcubic2  26825  dcubic1  26826  dcubic  26827  mcubic  26828  cubic2  26829  cubic  26830  binom4  26831  dquartlem1  26832  dquartlem2  26833  dquart  26834  quart1cl  26835  quart1lem  26836  quart1  26837  quartlem1  26838  quartlem2  26839  quartlem4  26841  quart  26842  asinlem3  26852  asinneg  26867  asinsin  26873  atandmcj  26890  efiatan2  26898  atandmtan  26901  cosatan  26902  cosatanne0  26903  dvatan  26916  cxp2limlem  26957  lgamgulmlem4  27013  basellem8  27069  lgsdir  27313  2sqlem4  27402  2sqlem11  27410  2sqn0  27415  2sqmod  27417  2sqnn  27420  addsq2reu  27421  2sqreultlem  27428  2sqreunnltlem  27431  2sqreulem2  27433  mulog2sumlem2  27516  mulog2sumlem3  27517  logsqvma  27523  selberglem1  27526  selberglem3  27528  selberg  27529  logdivbnd  27537  pntlemf  27586  pntlemk  27587  pntlemo  27588  ax5seglem1  29015  ax5seglem2  29016  ax5seglem6  29021  ax5seglem9  29024  axlowdimlem16  29044  axlowdimlem17  29045  4ipval2  30798  ipidsq  30800  cncph  30909  hhph  31268  eigvalcl  32051  pythagreim  32837  quad3d  32841  constrrtlc1  33896  constrrtcclem  33898  constrrtcc  33899  constrfin  33910  constrresqrtcl  33941  cos9thpiminplylem2  33947  cos9thpiminplylem3  33948  cos9thpinconstrlem1  33953  circlemethhgt  34807  hgt750leme  34822  qdiff  37661  sin2h  37951  cos2h  37952  tan2h  37953  dvtan  38011  dvasin  38045  dvacos  38046  areacirclem1  38049  areacirclem2  38050  areacirclem4  38052  areacirc  38054  ismrer1  38179  aks4d1p1p2  42529  aks4d1p1p6  42532  aks4d1p1p7  42533  aks4d1p1p5  42534  oddnumth  42763  nicomachus  42764  sumcubes  42765  readvrec2  42813  cu3addd  43133  3cubeslem2  43137  3cubeslem3l  43138  3cubeslem3r  43139  3cubeslem4  43141  pellexlem1  43281  pellexlem2  43282  pellexlem6  43286  pell1qrge1  43322  pell1qrgaplem  43325  rmspecsqrtnq  43358  rmxdbl  43391  jm2.18  43440  jm2.19lem1  43441  jm2.25  43451  jm2.27c  43459  sqrtcval  44092  dvdivf  46374  dvdivbd  46375  itgsinexplem1  46406  itgsinexp  46407  wallispi2lem1  46523  wallispi2lem2  46524  wallispi2  46525  stirlinglem1  46526  stirlinglem3  46528  stirlinglem8  46533  stirlinglem10  46535  stirlinglem15  46540  rrxtopnfi  46739  hoiqssbllem2  47075  sin3t  47341  cos3t  47342  sin5t  47348  quad1  48114  itschlc0yqe  49254  itsclc0yqsollem1  49256  itsclc0yqsol  49258  itscnhlc0xyqsol  49259  itschlc0xyqsol1  49260  itschlc0xyqsol  49261  itsclc0xyqsolr  49263  2itscplem1  49272  2itscplem3  49274  itscnhlinecirc02plem1  49276  onetansqsecsq  50254  cotsqcscsq  50255