Theorem sqcld 14071

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14045	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  2c2 12204  ↑cexp 13988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-seq 13929  df-exp 13989

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14189  muldivbinom2  14190  recval  15250  bhmafibid1cn  15393  bhmafibid2cn  15394  bhmafibid2  15396  arisum2  15788  fsumcube  15987  efi4p  16066  sincossq  16105  cos2t  16107  cos2tsin  16108  sqrt2irrlem  16177  pythagtriplem1  16748  pythagtriplem2  16749  pythagtriplem6  16753  pythagtriplem7  16754  pythagtriplem12  16758  pythagtriplem14  16760  4sqlem7  16876  4sqlem10  16879  4sqlem14  16890  4cphipval2  25202  csbren  25359  rrxmval  25365  rrxmetlem  25367  dvrecg  25937  dvmptdiv  25938  dveflem  25943  coskpi  26492  coseq1  26494  tanregt0  26508  efif1olem4  26514  tanarg  26588  lawcoslem1  26785  lawcos  26786  pythag  26787  ssscongptld  26792  chordthmlem3  26804  chordthmlem4  26805  chordthmlem5  26806  heron  26808  quad2  26809  quad  26810  dcubic1lem  26813  dcubic2  26814  dcubic1  26815  dcubic  26816  mcubic  26817  cubic2  26818  cubic  26819  binom4  26820  dquartlem1  26821  dquartlem2  26822  dquart  26823  quart1cl  26824  quart1lem  26825  quart1  26826  quartlem1  26827  quartlem2  26828  quartlem4  26830  quart  26831  asinlem3  26841  asinneg  26856  asinsin  26862  atandmcj  26879  efiatan2  26887  atandmtan  26890  cosatan  26891  cosatanne0  26892  dvatan  26905  cxp2limlem  26946  lgamgulmlem4  27002  basellem8  27058  lgsdir  27303  2sqlem4  27392  2sqlem11  27400  2sqn0  27405  2sqmod  27407  2sqnn  27410  addsq2reu  27411  2sqreultlem  27418  2sqreunnltlem  27421  2sqreulem2  27423  mulog2sumlem2  27506  mulog2sumlem3  27507  logsqvma  27513  selberglem1  27516  selberglem3  27518  selberg  27519  logdivbnd  27527  pntlemf  27576  pntlemk  27577  pntlemo  27578  ax5seglem1  29005  ax5seglem2  29006  ax5seglem6  29011  ax5seglem9  29014  axlowdimlem16  29034  axlowdimlem17  29035  4ipval2  30787  ipidsq  30789  cncph  30898  hhph  31257  eigvalcl  32040  pythagreim  32827  quad3d  32831  constrrtlc1  33891  constrrtcclem  33893  constrrtcc  33894  constrfin  33905  constrresqrtcl  33936  cos9thpiminplylem2  33942  cos9thpiminplylem3  33943  cos9thpinconstrlem1  33948  circlemethhgt  34802  hgt750leme  34817  sin2h  37813  cos2h  37814  tan2h  37815  dvtan  37873  dvasin  37907  dvacos  37908  areacirclem1  37911  areacirclem2  37912  areacirclem4  37914  areacirc  37916  ismrer1  38041  aks4d1p1p2  42392  aks4d1p1p6  42395  aks4d1p1p7  42396  aks4d1p1p5  42397  oddnumth  42633  nicomachus  42634  sumcubes  42635  readvrec2  42683  cu3addd  42990  3cubeslem2  42994  3cubeslem3l  42995  3cubeslem3r  42996  3cubeslem4  42998  pellexlem1  43138  pellexlem2  43139  pellexlem6  43143  pell1qrge1  43179  pell1qrgaplem  43182  rmspecsqrtnq  43215  rmxdbl  43248  jm2.18  43297  jm2.19lem1  43298  jm2.25  43308  jm2.27c  43316  sqrtcval  43949  dvdivf  46233  dvdivbd  46234  itgsinexplem1  46265  itgsinexp  46266  wallispi2lem1  46382  wallispi2lem2  46383  wallispi2  46384  stirlinglem1  46385  stirlinglem3  46387  stirlinglem8  46392  stirlinglem10  46394  stirlinglem15  46399  rrxtopnfi  46598  hoiqssbllem2  46934  quad1  47933  itschlc0yqe  49073  itsclc0yqsollem1  49075  itsclc0yqsol  49077  itscnhlc0xyqsol  49078  itschlc0xyqsol1  49079  itschlc0xyqsol  49080  itsclc0xyqsolr  49082  2itscplem1  49091  2itscplem3  49093  itscnhlinecirc02plem1  49095  onetansqsecsq  50073  cotsqcscsq  50074