Theorem sqcld 13358

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 13334	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2080  (class class class)co 7019  ℂcc 10384  2c2 11542  ↑cexp 13279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-seq 13220  df-exp 13280

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  13472  muldivbinom2  13473  recval  14516  bhmafibid1cn  14657  bhmafibid2cn  14658  bhmafibid2  14660  arisum2  15049  fsumcube  15247  efi4p  15323  sincossq  15362  cos2t  15364  cos2tsin  15365  sqrt2irrlem  15434  pythagtriplem1  15982  pythagtriplem2  15983  pythagtriplem6  15987  pythagtriplem7  15988  pythagtriplem12  15992  pythagtriplem14  15994  4sqlem7  16109  4sqlem10  16112  4sqlem14  16123  4cphipval2  23528  csbren  23685  rrxmval  23691  rrxmetlem  23693  dvrecg  24253  dvmptdiv  24254  dveflem  24259  coskpi  24791  coseq1  24793  tanregt0  24804  efif1olem4  24810  tanarg  24883  lawcoslem1  25074  lawcos  25075  pythag  25076  ssscongptld  25081  chordthmlem3  25093  chordthmlem4  25094  chordthmlem5  25095  heron  25097  quad2  25098  quad  25099  dcubic1lem  25102  dcubic2  25103  dcubic1  25104  dcubic  25105  mcubic  25106  cubic2  25107  cubic  25108  binom4  25109  dquartlem1  25110  dquartlem2  25111  dquart  25112  quart1cl  25113  quart1lem  25114  quart1  25115  quartlem1  25116  quartlem2  25117  quartlem4  25119  quart  25120  asinlem3  25130  asinneg  25145  asinsin  25151  atandmcj  25168  efiatan2  25176  atandmtan  25179  cosatan  25180  cosatanne0  25181  dvatan  25194  cxp2limlem  25235  lgamgulmlem4  25291  basellem8  25347  lgsdir  25590  2sqlem4  25679  2sqlem11  25687  2sqn0  25692  2sqmod  25694  2sqnn  25697  addsq2reu  25698  2sqreultlem  25705  2sqreunnltlem  25708  2sqreulem2  25710  mulog2sumlem2  25793  mulog2sumlem3  25794  logsqvma  25800  selberglem1  25803  selberglem3  25805  selberg  25806  logdivbnd  25814  pntlemf  25863  pntlemk  25864  pntlemo  25865  ax5seglem1  26397  ax5seglem2  26398  ax5seglem6  26403  ax5seglem9  26406  axlowdimlem16  26426  axlowdimlem17  26427  4ipval2  28168  ipidsq  28170  cncph  28279  hhph  28638  eigvalcl  29421  circlemethhgt  31523  hgt750leme  31538  sin2h  34426  cos2h  34427  tan2h  34428  dvtan  34486  dvasin  34522  dvacos  34523  areacirclem1  34526  areacirclem2  34527  areacirclem4  34529  areacirc  34531  ismrer1  34661  pellexlem1  38924  pellexlem2  38925  pellexlem6  38929  pell1qrge1  38965  pell1qrgaplem  38968  rmspecsqrtnq  39001  rmxdbl  39034  jm2.18  39083  jm2.19lem1  39084  jm2.25  39094  jm2.27c  39102  dvdivf  41762  dvdivbd  41763  itgsinexplem1  41794  itgsinexp  41795  wallispi2lem1  41912  wallispi2lem2  41913  wallispi2  41914  stirlinglem1  41915  stirlinglem3  41917  stirlinglem8  41922  stirlinglem10  41924  stirlinglem15  41929  rrxtopnfi  42128  hoiqssbllem2  42461  quad1  43281  itschlc0yqe  44242  itsclc0yqsollem1  44244  itsclc0yqsol  44246  itscnhlc0xyqsol  44247  itschlc0xyqsol1  44248  itschlc0xyqsol  44249  itsclc0xyqsolr  44251  2itscplem1  44260  2itscplem3  44262  itscnhlinecirc02plem1  44264  onetansqsecsq  44354  cotsqcscsq  44355