Theorem sqcld 13509

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 13485	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  2c2 11693  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  13623  muldivbinom2  13624  recval  14682  bhmafibid1cn  14823  bhmafibid2cn  14824  bhmafibid2  14826  arisum2  15216  fsumcube  15414  efi4p  15490  sincossq  15529  cos2t  15531  cos2tsin  15532  sqrt2irrlem  15601  pythagtriplem1  16153  pythagtriplem2  16154  pythagtriplem6  16158  pythagtriplem7  16159  pythagtriplem12  16163  pythagtriplem14  16165  4sqlem7  16280  4sqlem10  16283  4sqlem14  16294  4cphipval2  23845  csbren  24002  rrxmval  24008  rrxmetlem  24010  dvrecg  24570  dvmptdiv  24571  dveflem  24576  coskpi  25108  coseq1  25110  tanregt0  25123  efif1olem4  25129  tanarg  25202  lawcoslem1  25393  lawcos  25394  pythag  25395  ssscongptld  25400  chordthmlem3  25412  chordthmlem4  25413  chordthmlem5  25414  heron  25416  quad2  25417  quad  25418  dcubic1lem  25421  dcubic2  25422  dcubic1  25423  dcubic  25424  mcubic  25425  cubic2  25426  cubic  25427  binom4  25428  dquartlem1  25429  dquartlem2  25430  dquart  25431  quart1cl  25432  quart1lem  25433  quart1  25434  quartlem1  25435  quartlem2  25436  quartlem4  25438  quart  25439  asinlem3  25449  asinneg  25464  asinsin  25470  atandmcj  25487  efiatan2  25495  atandmtan  25498  cosatan  25499  cosatanne0  25500  dvatan  25513  cxp2limlem  25553  lgamgulmlem4  25609  basellem8  25665  lgsdir  25908  2sqlem4  25997  2sqlem11  26005  2sqn0  26010  2sqmod  26012  2sqnn  26015  addsq2reu  26016  2sqreultlem  26023  2sqreunnltlem  26026  2sqreulem2  26028  mulog2sumlem2  26111  mulog2sumlem3  26112  logsqvma  26118  selberglem1  26121  selberglem3  26123  selberg  26124  logdivbnd  26132  pntlemf  26181  pntlemk  26182  pntlemo  26183  ax5seglem1  26714  ax5seglem2  26715  ax5seglem6  26720  ax5seglem9  26723  axlowdimlem16  26743  axlowdimlem17  26744  4ipval2  28485  ipidsq  28487  cncph  28596  hhph  28955  eigvalcl  29738  circlemethhgt  31914  hgt750leme  31929  sin2h  34897  cos2h  34898  tan2h  34899  dvtan  34957  dvasin  34993  dvacos  34994  areacirclem1  34997  areacirclem2  34998  areacirclem4  35000  areacirc  35002  ismrer1  35131  cu3addd  39326  3cubeslem2  39331  3cubeslem3l  39332  3cubeslem3r  39333  3cubeslem4  39335  pellexlem1  39475  pellexlem2  39476  pellexlem6  39480  pell1qrge1  39516  pell1qrgaplem  39519  rmspecsqrtnq  39552  rmxdbl  39585  jm2.18  39634  jm2.19lem1  39635  jm2.25  39645  jm2.27c  39653  dvdivf  42256  dvdivbd  42257  itgsinexplem1  42288  itgsinexp  42289  wallispi2lem1  42405  wallispi2lem2  42406  wallispi2  42407  stirlinglem1  42408  stirlinglem3  42410  stirlinglem8  42415  stirlinglem10  42417  stirlinglem15  42422  rrxtopnfi  42621  hoiqssbllem2  42954  quad1  43834  itschlc0yqe  44796  itsclc0yqsollem1  44798  itsclc0yqsol  44800  itscnhlc0xyqsol  44801  itschlc0xyqsol1  44802  itschlc0xyqsol  44803  itsclc0xyqsolr  44805  2itscplem1  44814  2itscplem3  44816  itscnhlinecirc02plem1  44818  onetansqsecsq  44909  cotsqcscsq  44910