Theorem sqcld 13871

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 13847	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  2c2 12037  ↑cexp 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-seq 13731  df-exp 13792

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  13985  muldivbinom2  13986  recval  15043  bhmafibid1cn  15184  bhmafibid2cn  15185  bhmafibid2  15187  arisum2  15582  fsumcube  15779  efi4p  15855  sincossq  15894  cos2t  15896  cos2tsin  15897  sqrt2irrlem  15966  pythagtriplem1  16526  pythagtriplem2  16527  pythagtriplem6  16531  pythagtriplem7  16532  pythagtriplem12  16536  pythagtriplem14  16538  4sqlem7  16654  4sqlem10  16657  4sqlem14  16668  4cphipval2  24415  csbren  24572  rrxmval  24578  rrxmetlem  24580  dvrecg  25146  dvmptdiv  25147  dveflem  25152  coskpi  25688  coseq1  25690  tanregt0  25704  efif1olem4  25710  tanarg  25783  lawcoslem1  25974  lawcos  25975  pythag  25976  ssscongptld  25981  chordthmlem3  25993  chordthmlem4  25994  chordthmlem5  25995  heron  25997  quad2  25998  quad  25999  dcubic1lem  26002  dcubic2  26003  dcubic1  26004  dcubic  26005  mcubic  26006  cubic2  26007  cubic  26008  binom4  26009  dquartlem1  26010  dquartlem2  26011  dquart  26012  quart1cl  26013  quart1lem  26014  quart1  26015  quartlem1  26016  quartlem2  26017  quartlem4  26019  quart  26020  asinlem3  26030  asinneg  26045  asinsin  26051  atandmcj  26068  efiatan2  26076  atandmtan  26079  cosatan  26080  cosatanne0  26081  dvatan  26094  cxp2limlem  26134  lgamgulmlem4  26190  basellem8  26246  lgsdir  26489  2sqlem4  26578  2sqlem11  26586  2sqn0  26591  2sqmod  26593  2sqnn  26596  addsq2reu  26597  2sqreultlem  26604  2sqreunnltlem  26607  2sqreulem2  26609  mulog2sumlem2  26692  mulog2sumlem3  26693  logsqvma  26699  selberglem1  26702  selberglem3  26704  selberg  26705  logdivbnd  26713  pntlemf  26762  pntlemk  26763  pntlemo  26764  ax5seglem1  27305  ax5seglem2  27306  ax5seglem6  27311  ax5seglem9  27314  axlowdimlem16  27334  axlowdimlem17  27335  4ipval2  29079  ipidsq  29081  cncph  29190  hhph  29549  eigvalcl  30332  circlemethhgt  32632  hgt750leme  32647  sin2h  35776  cos2h  35777  tan2h  35778  dvtan  35836  dvasin  35870  dvacos  35871  areacirclem1  35874  areacirclem2  35875  areacirclem4  35877  areacirc  35879  ismrer1  36005  aks4d1p1p2  40085  aks4d1p1p6  40088  aks4d1p1p7  40089  aks4d1p1p5  40090  cu3addd  40509  3cubeslem2  40514  3cubeslem3l  40515  3cubeslem3r  40516  3cubeslem4  40518  pellexlem1  40658  pellexlem2  40659  pellexlem6  40663  pell1qrge1  40699  pell1qrgaplem  40702  rmspecsqrtnq  40735  rmxdbl  40768  jm2.18  40817  jm2.19lem1  40818  jm2.25  40828  jm2.27c  40836  sqrtcval  41256  dvdivf  43470  dvdivbd  43471  itgsinexplem1  43502  itgsinexp  43503  wallispi2lem1  43619  wallispi2lem2  43620  wallispi2  43621  stirlinglem1  43622  stirlinglem3  43624  stirlinglem8  43629  stirlinglem10  43631  stirlinglem15  43636  rrxtopnfi  43835  hoiqssbllem2  44168  quad1  45083  itschlc0yqe  46117  itsclc0yqsollem1  46119  itsclc0yqsol  46121  itscnhlc0xyqsol  46122  itschlc0xyqsol1  46123  itschlc0xyqsol  46124  itsclc0xyqsolr  46126  2itscplem1  46135  2itscplem3  46137  itscnhlinecirc02plem1  46139  onetansqsecsq  46474  cotsqcscsq  46475