Theorem sqcld 14167

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14141	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  2c2 12300  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14285  muldivbinom2  14286  recval  15346  bhmafibid1cn  15487  bhmafibid2cn  15488  bhmafibid2  15490  arisum2  15882  fsumcube  16081  efi4p  16160  sincossq  16199  cos2t  16201  cos2tsin  16202  sqrt2irrlem  16271  pythagtriplem1  16841  pythagtriplem2  16842  pythagtriplem6  16846  pythagtriplem7  16847  pythagtriplem12  16851  pythagtriplem14  16853  4sqlem7  16969  4sqlem10  16972  4sqlem14  16983  4cphipval2  25199  csbren  25356  rrxmval  25362  rrxmetlem  25364  dvrecg  25934  dvmptdiv  25935  dveflem  25940  coskpi  26489  coseq1  26491  tanregt0  26505  efif1olem4  26511  tanarg  26585  lawcoslem1  26782  lawcos  26783  pythag  26784  ssscongptld  26789  chordthmlem3  26801  chordthmlem4  26802  chordthmlem5  26803  heron  26805  quad2  26806  quad  26807  dcubic1lem  26810  dcubic2  26811  dcubic1  26812  dcubic  26813  mcubic  26814  cubic2  26815  cubic  26816  binom4  26817  dquartlem1  26818  dquartlem2  26819  dquart  26820  quart1cl  26821  quart1lem  26822  quart1  26823  quartlem1  26824  quartlem2  26825  quartlem4  26827  quart  26828  asinlem3  26838  asinneg  26853  asinsin  26859  atandmcj  26876  efiatan2  26884  atandmtan  26887  cosatan  26888  cosatanne0  26889  dvatan  26902  cxp2limlem  26943  lgamgulmlem4  26999  basellem8  27055  lgsdir  27300  2sqlem4  27389  2sqlem11  27397  2sqn0  27402  2sqmod  27404  2sqnn  27407  addsq2reu  27408  2sqreultlem  27415  2sqreunnltlem  27418  2sqreulem2  27420  mulog2sumlem2  27503  mulog2sumlem3  27504  logsqvma  27510  selberglem1  27513  selberglem3  27515  selberg  27516  logdivbnd  27524  pntlemf  27573  pntlemk  27574  pntlemo  27575  ax5seglem1  28912  ax5seglem2  28913  ax5seglem6  28918  ax5seglem9  28921  axlowdimlem16  28941  axlowdimlem17  28942  4ipval2  30694  ipidsq  30696  cncph  30805  hhph  31164  eigvalcl  31947  pythagreim  32728  quad3d  32732  constrrtlc1  33771  constrrtcclem  33773  constrrtcc  33774  constrfin  33785  constrresqrtcl  33816  cos9thpiminplylem2  33822  cos9thpiminplylem3  33823  cos9thpinconstrlem1  33828  circlemethhgt  34680  hgt750leme  34695  sin2h  37639  cos2h  37640  tan2h  37641  dvtan  37699  dvasin  37733  dvacos  37734  areacirclem1  37737  areacirclem2  37738  areacirclem4  37740  areacirc  37742  ismrer1  37867  aks4d1p1p2  42088  aks4d1p1p6  42091  aks4d1p1p7  42092  aks4d1p1p5  42093  oddnumth  42329  nicomachus  42330  sumcubes  42331  readvrec2  42379  cu3addd  42679  3cubeslem2  42683  3cubeslem3l  42684  3cubeslem3r  42685  3cubeslem4  42687  pellexlem1  42827  pellexlem2  42828  pellexlem6  42832  pell1qrge1  42868  pell1qrgaplem  42871  rmspecsqrtnq  42904  rmxdbl  42938  jm2.18  42987  jm2.19lem1  42988  jm2.25  42998  jm2.27c  43006  sqrtcval  43640  dvdivf  45931  dvdivbd  45932  itgsinexplem1  45963  itgsinexp  45964  wallispi2lem1  46080  wallispi2lem2  46081  wallispi2  46082  stirlinglem1  46083  stirlinglem3  46085  stirlinglem8  46090  stirlinglem10  46092  stirlinglem15  46097  rrxtopnfi  46296  hoiqssbllem2  46632  quad1  47614  itschlc0yqe  48720  itsclc0yqsollem1  48722  itsclc0yqsol  48724  itscnhlc0xyqsol  48725  itschlc0xyqsol1  48726  itschlc0xyqsol  48727  itsclc0xyqsolr  48729  2itscplem1  48738  2itscplem3  48740  itscnhlinecirc02plem1  48742  onetansqsecsq  49605  cotsqcscsq  49606