Theorem sqcld 14311

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  2c2 12421  ↑cexp 14228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-seq 14169  df-exp 14229

This theorem is used by:  mulsubdivbinom2  14430  muldivbinom2  14431  recval  15516  bhmafibid1cn  15659  bhmafibid2cn  15660  bhmafibid2  15662  arisum2  16056  fsumcube  16252  efi4p  16331  sincossq  16370  cos2t  16372  cos2tsin  16373  sqrt2irrlem  16442  pythagtriplem1  17020  pythagtriplem2  17021  pythagtriplem6  17025  pythagtriplem7  17026  pythagtriplem12  17030  pythagtriplem14  17032  4sqlem7  17148  4sqlem10  17151  4sqlem14  17162  4cphipval2  25590  csbren  25747  rrxmval  25753  rrxmetlem  25755  dvrecg  26320  dvmptdiv  26321  dveflem  26326  coskpi  26878  coseq1  26880  tanregt0  26894  efif1olem4  26900  tanarg  26974  lawcoslem1  27170  lawcos  27171  pythag  27172  ssscongptld  27177  chordthmlem3  27189  chordthmlem4  27190  chordthmlem5  27191  heron  27193  quad2  27194  quad  27195  dcubic1lem  27198  dcubic2  27199  dcubic1  27200  dcubic  27201  mcubic  27202  cubic2  27203  cubic  27204  binom4  27205  dquartlem1  27206  dquartlem2  27207  dquart  27208  quart1cl  27209  quart1lem  27210  quart1  27211  quartlem1  27212  quartlem2  27213  quartlem4  27215  quart  27216  asinlem3  27226  asinneg  27241  asinsin  27247  atandmcj  27264  efiatan2  27272  atandmtan  27275  cosatan  27276  cosatanne0  27277  dvatan  27290  cxp2limlem  27330  lgamgulmlem4  27386  basellem8  27442  lgsdir  27686  2sqlem4  27775  2sqlem11  27783  2sqn0  27788  2sqmod  27790  2sqnn  27793  addsq2reu  27794  2sqreultlem  27801  2sqreunnltlem  27804  2sqreulem2  27806  mulog2sumlem2  27889  mulog2sumlem3  27890  logsqvma  27896  selberglem1  27899  selberglem3  27901  selberg  27902  logdivbnd  27910  pntlemf  27959  pntlemk  27960  pntlemo  27961  flt4lem5e  28013  ax5seglem1  29533  ax5seglem2  29534  ax5seglem6  29539  ax5seglem9  29542  axlowdimlem16  29562  axlowdimlem17  29563  4ipval2  31337  ipidsq  31339  cncph  31448  hhph  31807  eigvalcl  32590  pythagreim  33404  quad3d  33408  constrrtlc1  34431  constrrtcclem  34433  constrrtcc  34434  constrfin  34445  constrresqrtcl  34476  cos9thpiminplylem2  34482  cos9thpiminplylem3  34483  cos9thpinconstrlem1  34488  circlemethhgt  35339  hgt750leme  35354  qdiff  38439  sin2h  38724  cos2h  38725  tan2h  38726  dvtan  38779  dvasin  38813  dvacos  38814  areacirclem1  38817  areacirclem2  38818  areacirclem4  38820  areacirc  38822  ismrer1  38963  aks4d1p1p2  43311  aks4d1p1p6  43314  aks4d1p1p7  43315  aks4d1p1p5  43316  quadfac  43446  oddnumth  43559  nicomachus  43560  sumcubes  43561  readvrec2  43603  cu3addd  43882  3cubeslem2  43886  3cubeslem3l  43887  3cubeslem3r  43888  3cubeslem4  43890  pellexlem1  44027  pellexlem2  44028  pellexlem6  44032  pell1qrge1  44068  pell1qrgaplem  44071  rmspecsqrtnq  44104  rmxdbl  44137  jm2.18  44186  jm2.19lem1  44187  jm2.25  44197  jm2.27c  44205  sqrtcval  44831  dvdivf  47135  dvdivbd  47136  itgsinexplem1  47167  itgsinexp  47168  wallispi2lem1  47284  wallispi2lem2  47285  wallispi2  47286  stirlinglem1  47287  stirlinglem3  47289  stirlinglem8  47294  stirlinglem10  47296  stirlinglem15  47301  rrxtopnfi  47500  hoiqssbllem2  47836  sin3t  48120  cos3t  48121  sin5t  48127  quad1  48921  itschlc0yqe  50075  itsclc0yqsollem1  50077  itsclc0yqsol  50079  itscnhlc0xyqsol  50080  itschlc0xyqsol1  50081  itschlc0xyqsol  50082  itsclc0xyqsolr  50084  2itscplem1  50093  2itscplem3  50095  itscnhlinecirc02plem1  50097  onetansqsecsq  51132  cotsqcscsq  51133  dvcot  51136