Theorem sqcld 14105

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14079	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  2c2 12263  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14218  muldivbinom2  14219  recval  15265  bhmafibid1cn  15406  bhmafibid2cn  15407  bhmafibid2  15409  arisum2  15803  fsumcube  16000  efi4p  16076  sincossq  16115  cos2t  16117  cos2tsin  16118  sqrt2irrlem  16187  pythagtriplem1  16745  pythagtriplem2  16746  pythagtriplem6  16750  pythagtriplem7  16751  pythagtriplem12  16755  pythagtriplem14  16757  4sqlem7  16873  4sqlem10  16876  4sqlem14  16887  4cphipval2  24750  csbren  24907  rrxmval  24913  rrxmetlem  24915  dvrecg  25481  dvmptdiv  25482  dveflem  25487  coskpi  26023  coseq1  26025  tanregt0  26039  efif1olem4  26045  tanarg  26118  lawcoslem1  26309  lawcos  26310  pythag  26311  ssscongptld  26316  chordthmlem3  26328  chordthmlem4  26329  chordthmlem5  26330  heron  26332  quad2  26333  quad  26334  dcubic1lem  26337  dcubic2  26338  dcubic1  26339  dcubic  26340  mcubic  26341  cubic2  26342  cubic  26343  binom4  26344  dquartlem1  26345  dquartlem2  26346  dquart  26347  quart1cl  26348  quart1lem  26349  quart1  26350  quartlem1  26351  quartlem2  26352  quartlem4  26354  quart  26355  asinlem3  26365  asinneg  26380  asinsin  26386  atandmcj  26403  efiatan2  26411  atandmtan  26414  cosatan  26415  cosatanne0  26416  dvatan  26429  cxp2limlem  26469  lgamgulmlem4  26525  basellem8  26581  lgsdir  26824  2sqlem4  26913  2sqlem11  26921  2sqn0  26926  2sqmod  26928  2sqnn  26931  addsq2reu  26932  2sqreultlem  26939  2sqreunnltlem  26942  2sqreulem2  26944  mulog2sumlem2  27027  mulog2sumlem3  27028  logsqvma  27034  selberglem1  27037  selberglem3  27039  selberg  27040  logdivbnd  27048  pntlemf  27097  pntlemk  27098  pntlemo  27099  ax5seglem1  28175  ax5seglem2  28176  ax5seglem6  28181  ax5seglem9  28184  axlowdimlem16  28204  axlowdimlem17  28205  4ipval2  29948  ipidsq  29950  cncph  30059  hhph  30418  eigvalcl  31201  circlemethhgt  33643  hgt750leme  33658  sin2h  36466  cos2h  36467  tan2h  36468  dvtan  36526  dvasin  36560  dvacos  36561  areacirclem1  36564  areacirclem2  36565  areacirclem4  36567  areacirc  36569  ismrer1  36694  aks4d1p1p2  40923  aks4d1p1p6  40926  aks4d1p1p7  40927  aks4d1p1p5  40928  oddnumth  41204  nicomachus  41205  sumcubes  41206  cu3addd  41403  3cubeslem2  41408  3cubeslem3l  41409  3cubeslem3r  41410  3cubeslem4  41412  pellexlem1  41552  pellexlem2  41553  pellexlem6  41557  pell1qrge1  41593  pell1qrgaplem  41596  rmspecsqrtnq  41629  rmxdbl  41663  jm2.18  41712  jm2.19lem1  41713  jm2.25  41723  jm2.27c  41731  sqrtcval  42377  dvdivf  44624  dvdivbd  44625  itgsinexplem1  44656  itgsinexp  44657  wallispi2lem1  44773  wallispi2lem2  44774  wallispi2  44775  stirlinglem1  44776  stirlinglem3  44778  stirlinglem8  44783  stirlinglem10  44785  stirlinglem15  44790  rrxtopnfi  44989  hoiqssbllem2  45325  quad1  46274  itschlc0yqe  47399  itsclc0yqsollem1  47401  itsclc0yqsol  47403  itscnhlc0xyqsol  47404  itschlc0xyqsol1  47405  itschlc0xyqsol  47406  itsclc0xyqsolr  47408  2itscplem1  47417  2itscplem3  47419  itscnhlinecirc02plem1  47421  onetansqsecsq  47759  cotsqcscsq  47760