Theorem sqcld 14185

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  2c2 12322  ↑cexp 14103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-exp 14104

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14302  muldivbinom2  14303  recval  15362  bhmafibid1cn  15503  bhmafibid2cn  15504  bhmafibid2  15506  arisum2  15898  fsumcube  16097  efi4p  16174  sincossq  16213  cos2t  16215  cos2tsin  16216  sqrt2irrlem  16285  pythagtriplem1  16855  pythagtriplem2  16856  pythagtriplem6  16860  pythagtriplem7  16861  pythagtriplem12  16865  pythagtriplem14  16867  4sqlem7  16983  4sqlem10  16986  4sqlem14  16997  4cphipval2  25277  csbren  25434  rrxmval  25440  rrxmetlem  25442  dvrecg  26012  dvmptdiv  26013  dveflem  26018  coskpi  26566  coseq1  26568  tanregt0  26582  efif1olem4  26588  tanarg  26662  lawcoslem1  26859  lawcos  26860  pythag  26861  ssscongptld  26866  chordthmlem3  26878  chordthmlem4  26879  chordthmlem5  26880  heron  26882  quad2  26883  quad  26884  dcubic1lem  26887  dcubic2  26888  dcubic1  26889  dcubic  26890  mcubic  26891  cubic2  26892  cubic  26893  binom4  26894  dquartlem1  26895  dquartlem2  26896  dquart  26897  quart1cl  26898  quart1lem  26899  quart1  26900  quartlem1  26901  quartlem2  26902  quartlem4  26904  quart  26905  asinlem3  26915  asinneg  26930  asinsin  26936  atandmcj  26953  efiatan2  26961  atandmtan  26964  cosatan  26965  cosatanne0  26966  dvatan  26979  cxp2limlem  27020  lgamgulmlem4  27076  basellem8  27132  lgsdir  27377  2sqlem4  27466  2sqlem11  27474  2sqn0  27479  2sqmod  27481  2sqnn  27484  addsq2reu  27485  2sqreultlem  27492  2sqreunnltlem  27495  2sqreulem2  27497  mulog2sumlem2  27580  mulog2sumlem3  27581  logsqvma  27587  selberglem1  27590  selberglem3  27592  selberg  27593  logdivbnd  27601  pntlemf  27650  pntlemk  27651  pntlemo  27652  ax5seglem1  28944  ax5seglem2  28945  ax5seglem6  28950  ax5seglem9  28953  axlowdimlem16  28973  axlowdimlem17  28974  4ipval2  30728  ipidsq  30730  cncph  30839  hhph  31198  eigvalcl  31981  quad3d  32755  constrrtlc1  33774  constrrtcclem  33776  constrrtcc  33777  constrfin  33788  circlemethhgt  34659  hgt750leme  34674  sin2h  37618  cos2h  37619  tan2h  37620  dvtan  37678  dvasin  37712  dvacos  37713  areacirclem1  37716  areacirclem2  37717  areacirclem4  37719  areacirc  37721  ismrer1  37846  aks4d1p1p2  42072  aks4d1p1p6  42075  aks4d1p1p7  42076  aks4d1p1p5  42077  oddnumth  42350  nicomachus  42351  sumcubes  42352  readvrec2  42396  cu3addd  42696  3cubeslem2  42701  3cubeslem3l  42702  3cubeslem3r  42703  3cubeslem4  42705  pellexlem1  42845  pellexlem2  42846  pellexlem6  42850  pell1qrge1  42886  pell1qrgaplem  42889  rmspecsqrtnq  42922  rmxdbl  42956  jm2.18  43005  jm2.19lem1  43006  jm2.25  43016  jm2.27c  43024  sqrtcval  43659  dvdivf  45942  dvdivbd  45943  itgsinexplem1  45974  itgsinexp  45975  wallispi2lem1  46091  wallispi2lem2  46092  wallispi2  46093  stirlinglem1  46094  stirlinglem3  46096  stirlinglem8  46101  stirlinglem10  46103  stirlinglem15  46108  rrxtopnfi  46307  hoiqssbllem2  46643  quad1  47612  itschlc0yqe  48686  itsclc0yqsollem1  48688  itsclc0yqsol  48690  itscnhlc0xyqsol  48691  itschlc0xyqsol1  48692  itschlc0xyqsol  48693  itsclc0xyqsolr  48695  2itscplem1  48704  2itscplem3  48706  itscnhlinecirc02plem1  48708  onetansqsecsq  49335  cotsqcscsq  49336