Theorem sqcld 14181

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14155	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  2c2 12319  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14298  muldivbinom2  14299  recval  15358  bhmafibid1cn  15499  bhmafibid2cn  15500  bhmafibid2  15502  arisum2  15894  fsumcube  16093  efi4p  16170  sincossq  16209  cos2t  16211  cos2tsin  16212  sqrt2irrlem  16281  pythagtriplem1  16850  pythagtriplem2  16851  pythagtriplem6  16855  pythagtriplem7  16856  pythagtriplem12  16860  pythagtriplem14  16862  4sqlem7  16978  4sqlem10  16981  4sqlem14  16992  4cphipval2  25290  csbren  25447  rrxmval  25453  rrxmetlem  25455  dvrecg  26026  dvmptdiv  26027  dveflem  26032  coskpi  26580  coseq1  26582  tanregt0  26596  efif1olem4  26602  tanarg  26676  lawcoslem1  26873  lawcos  26874  pythag  26875  ssscongptld  26880  chordthmlem3  26892  chordthmlem4  26893  chordthmlem5  26894  heron  26896  quad2  26897  quad  26898  dcubic1lem  26901  dcubic2  26902  dcubic1  26903  dcubic  26904  mcubic  26905  cubic2  26906  cubic  26907  binom4  26908  dquartlem1  26909  dquartlem2  26910  dquart  26911  quart1cl  26912  quart1lem  26913  quart1  26914  quartlem1  26915  quartlem2  26916  quartlem4  26918  quart  26919  asinlem3  26929  asinneg  26944  asinsin  26950  atandmcj  26967  efiatan2  26975  atandmtan  26978  cosatan  26979  cosatanne0  26980  dvatan  26993  cxp2limlem  27034  lgamgulmlem4  27090  basellem8  27146  lgsdir  27391  2sqlem4  27480  2sqlem11  27488  2sqn0  27493  2sqmod  27495  2sqnn  27498  addsq2reu  27499  2sqreultlem  27506  2sqreunnltlem  27509  2sqreulem2  27511  mulog2sumlem2  27594  mulog2sumlem3  27595  logsqvma  27601  selberglem1  27604  selberglem3  27606  selberg  27607  logdivbnd  27615  pntlemf  27664  pntlemk  27665  pntlemo  27666  ax5seglem1  28958  ax5seglem2  28959  ax5seglem6  28964  ax5seglem9  28967  axlowdimlem16  28987  axlowdimlem17  28988  4ipval2  30737  ipidsq  30739  cncph  30848  hhph  31207  eigvalcl  31990  quad3d  32761  constrrtlc1  33738  constrrtcclem  33740  constrrtcc  33741  constrfin  33751  circlemethhgt  34637  hgt750leme  34652  sin2h  37597  cos2h  37598  tan2h  37599  dvtan  37657  dvasin  37691  dvacos  37692  areacirclem1  37695  areacirclem2  37696  areacirclem4  37698  areacirc  37700  ismrer1  37825  aks4d1p1p2  42052  aks4d1p1p6  42055  aks4d1p1p7  42056  aks4d1p1p5  42057  oddnumth  42324  nicomachus  42325  sumcubes  42326  readvrec2  42370  cu3addd  42668  3cubeslem2  42673  3cubeslem3l  42674  3cubeslem3r  42675  3cubeslem4  42677  pellexlem1  42817  pellexlem2  42818  pellexlem6  42822  pell1qrge1  42858  pell1qrgaplem  42861  rmspecsqrtnq  42894  rmxdbl  42928  jm2.18  42977  jm2.19lem1  42978  jm2.25  42988  jm2.27c  42996  sqrtcval  43631  dvdivf  45878  dvdivbd  45879  itgsinexplem1  45910  itgsinexp  45911  wallispi2lem1  46027  wallispi2lem2  46028  wallispi2  46029  stirlinglem1  46030  stirlinglem3  46032  stirlinglem8  46037  stirlinglem10  46039  stirlinglem15  46044  rrxtopnfi  46243  hoiqssbllem2  46579  quad1  47545  itschlc0yqe  48610  itsclc0yqsollem1  48612  itsclc0yqsol  48614  itscnhlc0xyqsol  48615  itschlc0xyqsol1  48616  itschlc0xyqsol  48617  itsclc0xyqsolr  48619  2itscplem1  48628  2itscplem3  48630  itscnhlinecirc02plem1  48632  onetansqsecsq  48992  cotsqcscsq  48993