Theorem sqcld 14109

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14083	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  2c2 12267  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14222  muldivbinom2  14223  recval  15269  bhmafibid1cn  15410  bhmafibid2cn  15411  bhmafibid2  15413  arisum2  15807  fsumcube  16004  efi4p  16080  sincossq  16119  cos2t  16121  cos2tsin  16122  sqrt2irrlem  16191  pythagtriplem1  16749  pythagtriplem2  16750  pythagtriplem6  16754  pythagtriplem7  16755  pythagtriplem12  16759  pythagtriplem14  16761  4sqlem7  16877  4sqlem10  16880  4sqlem14  16891  4cphipval2  24759  csbren  24916  rrxmval  24922  rrxmetlem  24924  dvrecg  25490  dvmptdiv  25491  dveflem  25496  coskpi  26032  coseq1  26034  tanregt0  26048  efif1olem4  26054  tanarg  26127  lawcoslem1  26320  lawcos  26321  pythag  26322  ssscongptld  26327  chordthmlem3  26339  chordthmlem4  26340  chordthmlem5  26341  heron  26343  quad2  26344  quad  26345  dcubic1lem  26348  dcubic2  26349  dcubic1  26350  dcubic  26351  mcubic  26352  cubic2  26353  cubic  26354  binom4  26355  dquartlem1  26356  dquartlem2  26357  dquart  26358  quart1cl  26359  quart1lem  26360  quart1  26361  quartlem1  26362  quartlem2  26363  quartlem4  26365  quart  26366  asinlem3  26376  asinneg  26391  asinsin  26397  atandmcj  26414  efiatan2  26422  atandmtan  26425  cosatan  26426  cosatanne0  26427  dvatan  26440  cxp2limlem  26480  lgamgulmlem4  26536  basellem8  26592  lgsdir  26835  2sqlem4  26924  2sqlem11  26932  2sqn0  26937  2sqmod  26939  2sqnn  26942  addsq2reu  26943  2sqreultlem  26950  2sqreunnltlem  26953  2sqreulem2  26955  mulog2sumlem2  27038  mulog2sumlem3  27039  logsqvma  27045  selberglem1  27048  selberglem3  27050  selberg  27051  logdivbnd  27059  pntlemf  27108  pntlemk  27109  pntlemo  27110  ax5seglem1  28186  ax5seglem2  28187  ax5seglem6  28192  ax5seglem9  28195  axlowdimlem16  28215  axlowdimlem17  28216  4ipval2  29961  ipidsq  29963  cncph  30072  hhph  30431  eigvalcl  31214  circlemethhgt  33655  hgt750leme  33670  sin2h  36478  cos2h  36479  tan2h  36480  dvtan  36538  dvasin  36572  dvacos  36573  areacirclem1  36576  areacirclem2  36577  areacirclem4  36579  areacirc  36581  ismrer1  36706  aks4d1p1p2  40935  aks4d1p1p6  40938  aks4d1p1p7  40939  aks4d1p1p5  40940  oddnumth  41209  nicomachus  41210  sumcubes  41211  cu3addd  41418  3cubeslem2  41423  3cubeslem3l  41424  3cubeslem3r  41425  3cubeslem4  41427  pellexlem1  41567  pellexlem2  41568  pellexlem6  41572  pell1qrge1  41608  pell1qrgaplem  41611  rmspecsqrtnq  41644  rmxdbl  41678  jm2.18  41727  jm2.19lem1  41728  jm2.25  41738  jm2.27c  41746  sqrtcval  42392  dvdivf  44638  dvdivbd  44639  itgsinexplem1  44670  itgsinexp  44671  wallispi2lem1  44787  wallispi2lem2  44788  wallispi2  44789  stirlinglem1  44790  stirlinglem3  44792  stirlinglem8  44797  stirlinglem10  44799  stirlinglem15  44804  rrxtopnfi  45003  hoiqssbllem2  45339  quad1  46288  itschlc0yqe  47446  itsclc0yqsollem1  47448  itsclc0yqsol  47450  itscnhlc0xyqsol  47451  itschlc0xyqsol1  47452  itschlc0xyqsol  47453  itsclc0xyqsolr  47455  2itscplem1  47464  2itscplem3  47466  itscnhlinecirc02plem1  47468  onetansqsecsq  47806  cotsqcscsq  47807