Theorem sqcld 14187

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14161	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  2c2 12301  ↑cexp 14104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-seq 14045  df-exp 14105

This theorem is used by:  mulsubdivbinom2  14305  muldivbinom2  14306  recval  15381  bhmafibid1cn  15524  bhmafibid2cn  15525  bhmafibid2  15527  arisum2  15922  fsumcube  16120  efi4p  16199  sincossq  16238  cos2t  16240  cos2tsin  16241  sqrt2irrlem  16310  pythagtriplem1  16882  pythagtriplem2  16883  pythagtriplem6  16887  pythagtriplem7  16888  pythagtriplem12  16892  pythagtriplem14  16894  4sqlem7  17010  4sqlem10  17013  4sqlem14  17024  4cphipval2  25412  csbren  25569  rrxmval  25575  rrxmetlem  25577  dvrecg  26143  dvmptdiv  26144  dveflem  26149  coskpi  26699  coseq1  26701  tanregt0  26715  efif1olem4  26721  tanarg  26795  lawcoslem1  26991  lawcos  26992  pythag  26993  ssscongptld  26998  chordthmlem3  27010  chordthmlem4  27011  chordthmlem5  27012  heron  27014  quad2  27015  quad  27016  dcubic1lem  27019  dcubic2  27020  dcubic1  27021  dcubic  27022  mcubic  27023  cubic2  27024  cubic  27025  binom4  27026  dquartlem1  27027  dquartlem2  27028  dquart  27029  quart1cl  27030  quart1lem  27031  quart1  27032  quartlem1  27033  quartlem2  27034  quartlem4  27036  quart  27037  asinlem3  27047  asinneg  27062  asinsin  27068  atandmcj  27085  efiatan2  27093  atandmtan  27096  cosatan  27097  cosatanne0  27098  dvatan  27111  cxp2limlem  27151  lgamgulmlem4  27207  basellem8  27263  lgsdir  27507  2sqlem4  27596  2sqlem11  27604  2sqn0  27609  2sqmod  27611  2sqnn  27614  addsq2reu  27615  2sqreultlem  27622  2sqreunnltlem  27625  2sqreulem2  27627  mulog2sumlem2  27710  mulog2sumlem3  27711  logsqvma  27717  selberglem1  27720  selberglem3  27722  selberg  27723  logdivbnd  27731  pntlemf  27780  pntlemk  27781  pntlemo  27782  ax5seglem1  29289  ax5seglem2  29290  ax5seglem6  29295  ax5seglem9  29298  axlowdimlem16  29318  axlowdimlem17  29319  4ipval2  31071  ipidsq  31073  cncph  31182  hhph  31541  eigvalcl  32324  pythagreim  33101  quad3d  33105  constrrtlc1  34131  constrrtcclem  34133  constrrtcc  34134  constrfin  34145  constrresqrtcl  34176  cos9thpiminplylem2  34182  cos9thpiminplylem3  34183  cos9thpinconstrlem1  34188  circlemethhgt  35039  hgt750leme  35054  qdiff  37999  sin2h  38289  cos2h  38290  tan2h  38291  dvtan  38349  dvasin  38383  dvacos  38384  areacirclem1  38387  areacirclem2  38388  areacirclem4  38390  areacirc  38392  ismrer1  38517  aks4d1p1p2  42865  aks4d1p1p6  42868  aks4d1p1p7  42869  aks4d1p1p5  42870  quadfac  43000  oddnumth  43100  nicomachus  43101  sumcubes  43102  readvrec2  43150  cu3addd  43440  3cubeslem2  43444  3cubeslem3l  43445  3cubeslem3r  43446  3cubeslem4  43448  pellexlem1  43584  pellexlem2  43585  pellexlem6  43589  pell1qrge1  43625  pell1qrgaplem  43628  rmspecsqrtnq  43661  rmxdbl  43694  jm2.18  43743  jm2.19lem1  43744  jm2.25  43754  jm2.27c  43762  sqrtcval  44395  dvdivf  46664  dvdivbd  46665  itgsinexplem1  46696  itgsinexp  46697  wallispi2lem1  46813  wallispi2lem2  46814  wallispi2  46815  stirlinglem1  46816  stirlinglem3  46818  stirlinglem8  46823  stirlinglem10  46825  stirlinglem15  46830  rrxtopnfi  47029  hoiqssbllem2  47365  sin3t  47636  cos3t  47637  sin5t  47643  quad1  48413  itschlc0yqe  49568  itsclc0yqsollem1  49570  itsclc0yqsol  49572  itscnhlc0xyqsol  49573  itschlc0xyqsol1  49574  itschlc0xyqsol  49575  itsclc0xyqsolr  49577  2itscplem1  49586  2itscplem3  49588  itscnhlinecirc02plem1  49590  onetansqsecsq  50567  cotsqcscsq  50568