Theorem sqcld 14069

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14043	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  2c2 12202  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14187  muldivbinom2  14188  recval  15248  bhmafibid1cn  15391  bhmafibid2cn  15392  bhmafibid2  15394  arisum2  15786  fsumcube  15985  efi4p  16064  sincossq  16103  cos2t  16105  cos2tsin  16106  sqrt2irrlem  16175  pythagtriplem1  16746  pythagtriplem2  16747  pythagtriplem6  16751  pythagtriplem7  16752  pythagtriplem12  16756  pythagtriplem14  16758  4sqlem7  16874  4sqlem10  16877  4sqlem14  16888  4cphipval2  25200  csbren  25357  rrxmval  25363  rrxmetlem  25365  dvrecg  25935  dvmptdiv  25936  dveflem  25941  coskpi  26490  coseq1  26492  tanregt0  26506  efif1olem4  26512  tanarg  26586  lawcoslem1  26783  lawcos  26784  pythag  26785  ssscongptld  26790  chordthmlem3  26802  chordthmlem4  26803  chordthmlem5  26804  heron  26806  quad2  26807  quad  26808  dcubic1lem  26811  dcubic2  26812  dcubic1  26813  dcubic  26814  mcubic  26815  cubic2  26816  cubic  26817  binom4  26818  dquartlem1  26819  dquartlem2  26820  dquart  26821  quart1cl  26822  quart1lem  26823  quart1  26824  quartlem1  26825  quartlem2  26826  quartlem4  26828  quart  26829  asinlem3  26839  asinneg  26854  asinsin  26860  atandmcj  26877  efiatan2  26885  atandmtan  26888  cosatan  26889  cosatanne0  26890  dvatan  26903  cxp2limlem  26944  lgamgulmlem4  27000  basellem8  27056  lgsdir  27301  2sqlem4  27390  2sqlem11  27398  2sqn0  27403  2sqmod  27405  2sqnn  27408  addsq2reu  27409  2sqreultlem  27416  2sqreunnltlem  27419  2sqreulem2  27421  mulog2sumlem2  27504  mulog2sumlem3  27505  logsqvma  27511  selberglem1  27514  selberglem3  27516  selberg  27517  logdivbnd  27525  pntlemf  27574  pntlemk  27575  pntlemo  27576  ax5seglem1  28982  ax5seglem2  28983  ax5seglem6  28988  ax5seglem9  28991  axlowdimlem16  29011  axlowdimlem17  29012  4ipval2  30764  ipidsq  30766  cncph  30875  hhph  31234  eigvalcl  32017  pythagreim  32804  quad3d  32808  constrrtlc1  33868  constrrtcclem  33870  constrrtcc  33871  constrfin  33882  constrresqrtcl  33913  cos9thpiminplylem2  33919  cos9thpiminplylem3  33920  cos9thpinconstrlem1  33925  circlemethhgt  34779  hgt750leme  34794  sin2h  37780  cos2h  37781  tan2h  37782  dvtan  37840  dvasin  37874  dvacos  37875  areacirclem1  37878  areacirclem2  37879  areacirclem4  37881  areacirc  37883  ismrer1  38008  aks4d1p1p2  42359  aks4d1p1p6  42362  aks4d1p1p7  42363  aks4d1p1p5  42364  oddnumth  42603  nicomachus  42604  sumcubes  42605  readvrec2  42653  cu3addd  42960  3cubeslem2  42964  3cubeslem3l  42965  3cubeslem3r  42966  3cubeslem4  42968  pellexlem1  43108  pellexlem2  43109  pellexlem6  43113  pell1qrge1  43149  pell1qrgaplem  43152  rmspecsqrtnq  43185  rmxdbl  43218  jm2.18  43267  jm2.19lem1  43268  jm2.25  43278  jm2.27c  43286  sqrtcval  43919  dvdivf  46203  dvdivbd  46204  itgsinexplem1  46235  itgsinexp  46236  wallispi2lem1  46352  wallispi2lem2  46353  wallispi2  46354  stirlinglem1  46355  stirlinglem3  46357  stirlinglem8  46362  stirlinglem10  46364  stirlinglem15  46369  rrxtopnfi  46568  hoiqssbllem2  46904  quad1  47903  itschlc0yqe  49043  itsclc0yqsollem1  49045  itsclc0yqsol  49047  itscnhlc0xyqsol  49048  itschlc0xyqsol1  49049  itschlc0xyqsol  49050  itsclc0xyqsolr  49052  2itscplem1  49061  2itscplem3  49063  itscnhlinecirc02plem1  49065  onetansqsecsq  50043  cotsqcscsq  50044