Theorem sqcld 14106

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14080	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  2c2 12236  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14224  muldivbinom2  14225  recval  15285  bhmafibid1cn  15428  bhmafibid2cn  15429  bhmafibid2  15431  arisum2  15826  fsumcube  16025  efi4p  16104  sincossq  16143  cos2t  16145  cos2tsin  16146  sqrt2irrlem  16215  pythagtriplem1  16787  pythagtriplem2  16788  pythagtriplem6  16792  pythagtriplem7  16793  pythagtriplem12  16797  pythagtriplem14  16799  4sqlem7  16915  4sqlem10  16918  4sqlem14  16929  4cphipval2  25209  csbren  25366  rrxmval  25372  rrxmetlem  25374  dvrecg  25940  dvmptdiv  25941  dveflem  25946  coskpi  26487  coseq1  26489  tanregt0  26503  efif1olem4  26509  tanarg  26583  lawcoslem1  26779  lawcos  26780  pythag  26781  ssscongptld  26786  chordthmlem3  26798  chordthmlem4  26799  chordthmlem5  26800  heron  26802  quad2  26803  quad  26804  dcubic1lem  26807  dcubic2  26808  dcubic1  26809  dcubic  26810  mcubic  26811  cubic2  26812  cubic  26813  binom4  26814  dquartlem1  26815  dquartlem2  26816  dquart  26817  quart1cl  26818  quart1lem  26819  quart1  26820  quartlem1  26821  quartlem2  26822  quartlem4  26824  quart  26825  asinlem3  26835  asinneg  26850  asinsin  26856  atandmcj  26873  efiatan2  26881  atandmtan  26884  cosatan  26885  cosatanne0  26886  dvatan  26899  cxp2limlem  26939  lgamgulmlem4  26995  basellem8  27051  lgsdir  27295  2sqlem4  27384  2sqlem11  27392  2sqn0  27397  2sqmod  27399  2sqnn  27402  addsq2reu  27403  2sqreultlem  27410  2sqreunnltlem  27413  2sqreulem2  27415  mulog2sumlem2  27498  mulog2sumlem3  27499  logsqvma  27505  selberglem1  27508  selberglem3  27510  selberg  27511  logdivbnd  27519  pntlemf  27568  pntlemk  27569  pntlemo  27570  ax5seglem1  28997  ax5seglem2  28998  ax5seglem6  29003  ax5seglem9  29006  axlowdimlem16  29026  axlowdimlem17  29027  4ipval2  30779  ipidsq  30781  cncph  30890  hhph  31249  eigvalcl  32032  pythagreim  32818  quad3d  32822  constrrtlc1  33876  constrrtcclem  33878  constrrtcc  33879  constrfin  33890  constrresqrtcl  33921  cos9thpiminplylem2  33927  cos9thpiminplylem3  33928  cos9thpinconstrlem1  33933  circlemethhgt  34787  hgt750leme  34802  qdiff  37641  sin2h  37931  cos2h  37932  tan2h  37933  dvtan  37991  dvasin  38025  dvacos  38026  areacirclem1  38029  areacirclem2  38030  areacirclem4  38032  areacirc  38034  ismrer1  38159  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1p5  42514  oddnumth  42743  nicomachus  42744  sumcubes  42745  readvrec2  42793  cu3addd  43113  3cubeslem2  43117  3cubeslem3l  43118  3cubeslem3r  43119  3cubeslem4  43121  pellexlem1  43257  pellexlem2  43258  pellexlem6  43262  pell1qrge1  43298  pell1qrgaplem  43301  rmspecsqrtnq  43334  rmxdbl  43367  jm2.18  43416  jm2.19lem1  43417  jm2.25  43427  jm2.27c  43435  sqrtcval  44068  dvdivf  46350  dvdivbd  46351  itgsinexplem1  46382  itgsinexp  46383  wallispi2lem1  46499  wallispi2lem2  46500  wallispi2  46501  stirlinglem1  46502  stirlinglem3  46504  stirlinglem8  46509  stirlinglem10  46511  stirlinglem15  46516  rrxtopnfi  46715  hoiqssbllem2  47051  sin3t  47319  cos3t  47320  sin5t  47326  quad1  48096  itschlc0yqe  49236  itsclc0yqsollem1  49238  itsclc0yqsol  49240  itscnhlc0xyqsol  49241  itschlc0xyqsol1  49242  itschlc0xyqsol  49243  itsclc0xyqsolr  49245  2itscplem1  49254  2itscplem3  49256  itscnhlinecirc02plem1  49258  onetansqsecsq  50236  cotsqcscsq  50237