Theorem sqcld 14194

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14168	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  2c2 12348  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  14311  muldivbinom2  14312  recval  15371  bhmafibid1cn  15512  bhmafibid2cn  15513  bhmafibid2  15515  arisum2  15909  fsumcube  16108  efi4p  16185  sincossq  16224  cos2t  16226  cos2tsin  16227  sqrt2irrlem  16296  pythagtriplem1  16863  pythagtriplem2  16864  pythagtriplem6  16868  pythagtriplem7  16869  pythagtriplem12  16873  pythagtriplem14  16875  4sqlem7  16991  4sqlem10  16994  4sqlem14  17005  4cphipval2  25295  csbren  25452  rrxmval  25458  rrxmetlem  25460  dvrecg  26031  dvmptdiv  26032  dveflem  26037  coskpi  26583  coseq1  26585  tanregt0  26599  efif1olem4  26605  tanarg  26679  lawcoslem1  26876  lawcos  26877  pythag  26878  ssscongptld  26883  chordthmlem3  26895  chordthmlem4  26896  chordthmlem5  26897  heron  26899  quad2  26900  quad  26901  dcubic1lem  26904  dcubic2  26905  dcubic1  26906  dcubic  26907  mcubic  26908  cubic2  26909  cubic  26910  binom4  26911  dquartlem1  26912  dquartlem2  26913  dquart  26914  quart1cl  26915  quart1lem  26916  quart1  26917  quartlem1  26918  quartlem2  26919  quartlem4  26921  quart  26922  asinlem3  26932  asinneg  26947  asinsin  26953  atandmcj  26970  efiatan2  26978  atandmtan  26981  cosatan  26982  cosatanne0  26983  dvatan  26996  cxp2limlem  27037  lgamgulmlem4  27093  basellem8  27149  lgsdir  27394  2sqlem4  27483  2sqlem11  27491  2sqn0  27496  2sqmod  27498  2sqnn  27501  addsq2reu  27502  2sqreultlem  27509  2sqreunnltlem  27512  2sqreulem2  27514  mulog2sumlem2  27597  mulog2sumlem3  27598  logsqvma  27604  selberglem1  27607  selberglem3  27609  selberg  27610  logdivbnd  27618  pntlemf  27667  pntlemk  27668  pntlemo  27669  ax5seglem1  28961  ax5seglem2  28962  ax5seglem6  28967  ax5seglem9  28970  axlowdimlem16  28990  axlowdimlem17  28991  4ipval2  30740  ipidsq  30742  cncph  30851  hhph  31210  eigvalcl  31993  quad3d  32757  constrrtlc1  33723  constrrtcclem  33725  constrrtcc  33726  constrfin  33736  circlemethhgt  34620  hgt750leme  34635  sin2h  37570  cos2h  37571  tan2h  37572  dvtan  37630  dvasin  37664  dvacos  37665  areacirclem1  37668  areacirclem2  37669  areacirclem4  37671  areacirc  37673  ismrer1  37798  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  oddnumth  42299  nicomachus  42300  sumcubes  42301  cu3addd  42636  3cubeslem2  42641  3cubeslem3l  42642  3cubeslem3r  42643  3cubeslem4  42645  pellexlem1  42785  pellexlem2  42786  pellexlem6  42790  pell1qrge1  42826  pell1qrgaplem  42829  rmspecsqrtnq  42862  rmxdbl  42896  jm2.18  42945  jm2.19lem1  42946  jm2.25  42956  jm2.27c  42964  sqrtcval  43603  dvdivf  45843  dvdivbd  45844  itgsinexplem1  45875  itgsinexp  45876  wallispi2lem1  45992  wallispi2lem2  45993  wallispi2  45994  stirlinglem1  45995  stirlinglem3  45997  stirlinglem8  46002  stirlinglem10  46004  stirlinglem15  46009  rrxtopnfi  46208  hoiqssbllem2  46544  quad1  47494  itschlc0yqe  48494  itsclc0yqsollem1  48496  itsclc0yqsol  48498  itscnhlc0xyqsol  48499  itschlc0xyqsol1  48500  itschlc0xyqsol  48501  itsclc0xyqsolr  48503  2itscplem1  48512  2itscplem3  48514  itscnhlinecirc02plem1  48516  onetansqsecsq  48853  cotsqcscsq  48854