Theorem sqcld 14241

Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
sqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sqcl 14215	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7409  ℂcc 11155  2c2 12352  ↑cexp 14158

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-seq 14099  df-exp 14159

This theorem is used by:  mulsubdivbinom2  14359  muldivbinom2  14360  recval  15443  bhmafibid1cn  15586  bhmafibid2cn  15587  bhmafibid2  15589  arisum2  15983  fsumcube  16179  efi4p  16258  sincossq  16297  cos2t  16299  cos2tsin  16300  sqrt2irrlem  16369  pythagtriplem1  16941  pythagtriplem2  16942  pythagtriplem6  16946  pythagtriplem7  16947  pythagtriplem12  16951  pythagtriplem14  16953  4sqlem7  17069  4sqlem10  17072  4sqlem14  17083  4cphipval2  25510  csbren  25667  rrxmval  25673  rrxmetlem  25675  dvrecg  26240  dvmptdiv  26241  dveflem  26246  coskpi  26800  coseq1  26802  tanregt0  26816  efif1olem4  26822  tanarg  26896  lawcoslem1  27092  lawcos  27093  pythag  27094  ssscongptld  27099  chordthmlem3  27111  chordthmlem4  27112  chordthmlem5  27113  heron  27115  quad2  27116  quad  27117  dcubic1lem  27120  dcubic2  27121  dcubic1  27122  dcubic  27123  mcubic  27124  cubic2  27125  cubic  27126  binom4  27127  dquartlem1  27128  dquartlem2  27129  dquart  27130  quart1cl  27131  quart1lem  27132  quart1  27133  quartlem1  27134  quartlem2  27135  quartlem4  27137  quart  27138  asinlem3  27148  asinneg  27163  asinsin  27169  atandmcj  27186  efiatan2  27194  atandmtan  27197  cosatan  27198  cosatanne0  27199  dvatan  27212  cxp2limlem  27252  lgamgulmlem4  27308  basellem8  27364  lgsdir  27608  2sqlem4  27697  2sqlem11  27705  2sqn0  27710  2sqmod  27712  2sqnn  27715  addsq2reu  27716  2sqreultlem  27723  2sqreunnltlem  27726  2sqreulem2  27728  mulog2sumlem2  27811  mulog2sumlem3  27812  logsqvma  27818  selberglem1  27821  selberglem3  27823  selberg  27824  logdivbnd  27832  pntlemf  27881  pntlemk  27882  pntlemo  27883  ax5seglem1  29425  ax5seglem2  29426  ax5seglem6  29431  ax5seglem9  29434  axlowdimlem16  29454  axlowdimlem17  29455  4ipval2  31229  ipidsq  31231  cncph  31340  hhph  31699  eigvalcl  32482  pythagreim  33256  quad3d  33260  constrrtlc1  34283  constrrtcclem  34285  constrrtcc  34286  constrfin  34297  constrresqrtcl  34328  cos9thpiminplylem2  34334  cos9thpiminplylem3  34335  cos9thpinconstrlem1  34340  circlemethhgt  35192  hgt750leme  35207  qdiff  38162  sin2h  38447  cos2h  38448  tan2h  38449  dvtan  38502  dvasin  38536  dvacos  38537  areacirclem1  38540  areacirclem2  38541  areacirclem4  38543  areacirc  38545  ismrer1  38686  aks4d1p1p2  43034  aks4d1p1p6  43037  aks4d1p1p7  43038  aks4d1p1p5  43039  quadfac  43169  oddnumth  43284  nicomachus  43285  sumcubes  43286  readvrec2  43334  cu3addd  43624  3cubeslem2  43628  3cubeslem3l  43629  3cubeslem3r  43630  3cubeslem4  43632  pellexlem1  43768  pellexlem2  43769  pellexlem6  43773  pell1qrge1  43809  pell1qrgaplem  43812  rmspecsqrtnq  43845  rmxdbl  43878  jm2.18  43927  jm2.19lem1  43928  jm2.25  43938  jm2.27c  43946  sqrtcval  44579  dvdivf  46848  dvdivbd  46849  itgsinexplem1  46880  itgsinexp  46881  wallispi2lem1  46997  wallispi2lem2  46998  wallispi2  46999  stirlinglem1  47000  stirlinglem3  47002  stirlinglem8  47007  stirlinglem10  47009  stirlinglem15  47014  rrxtopnfi  47213  hoiqssbllem2  47549  sin3t  47833  cos3t  47834  sin5t  47840  quad1  48634  itschlc0yqe  49788  itsclc0yqsollem1  49790  itsclc0yqsol  49792  itscnhlc0xyqsol  49793  itschlc0xyqsol1  49794  itschlc0xyqsol  49795  itsclc0xyqsolr  49797  2itscplem1  49806  2itscplem3  49808  itscnhlinecirc02plem1  49810  onetansqsecsq  50770  cotsqcscsq  50771  dvcot  50774