MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrbas 26116
Description: Base set of the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrbas (𝜑𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrbas
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrval.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
4 dchrval.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5 dchrval.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 eqidd 2738 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrval 26115 . . 3 (𝜑𝐺 = {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩})
87fveq2d 6721 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}))
9 dchrbas.b . 2 𝐷 = (Base‘𝐺)
10 ovex 7246 . . . 4 ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∈ V
1110rabex 5225 . . 3 {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} ∈ V
12 eqid 2737 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}
1312grpbase 16832 . . 3 ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} ∈ V → {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}))
1411, 13ax-mp 5 . 2 {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩})
158, 9, 143eqtr4g 2803 1 (𝜑𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  {crab 3065  Vcvv 3408  cdif 3863  wss 3866  {csn 4541  {cpr 4543  cop 4547   × cxp 5549  cres 5553  cfv 6380  (class class class)co 7213  f cof 7467  0cc0 10729   · cmul 10734  cn 11830  ndxcnx 16744  Basecbs 16760  +gcplusg 16802   MndHom cmhm 18216  mulGrpcmgp 19504  Unitcui 19657  fldccnfld 20363  ℤ/nczn 20469  DChrcdchr 26113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-dchr 26114
This theorem is referenced by:  dchrelbas  26117  dchrplusg  26128
  Copyright terms: Public domain W3C validator