Theorem dchrbas 25529

Description: Base set of the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrbas	⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrval.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
4		dchrval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		dchrval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		eqidd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrval 25528	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩})
8	7	fveq2d 6501	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}))
9		dchrbas.b	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
10		ovex 7007	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∈ V
11	10	rabex 5088	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} ∈ V
12		eqid 2773	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}
13	12	grpbase 16465	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} ∈ V → {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}))
14	11, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩})
15	8, 9, 14	3eqtr4g 2834	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  {crab 3087  Vcvv 3410   ∖ cdif 3821   ⊆ wss 3824  {csn 4436  {cpr 4438  ⟨cop 4442   × cxp 5402   ↾ cres 5406  ‘cfv 6186  (class class class)co 6975   ∘_𝑓 cof 7224  0cc0 10334   · cmul 10339  ℕcn 11438  ndxcnx 16335  Basecbs 16338  +_gcplusg 16420   MndHom cmhm 17814  mulGrpcmgp 18975  Unitcui 19125  ℂ_fldccnfld 20263  ℤ/nℤczn 20368  DChrcdchr 25526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fz 12708  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-plusg 16433  df-dchr 25527

This theorem is referenced by:  dchrelbas  25530  dchrplusg  25541