MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrbas 26489
Description: Base set of the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
dchrval.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
dchrval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
dchrval.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
dchrval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dchrbas.b 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dchrbas (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑁   π‘₯,π‘ˆ   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem dchrbas
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . . 4 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
2 dchrval.z . . . 4 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
3 dchrval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
4 dchrval.u . . . 4 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
5 dchrval.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
6 eqidd 2737 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯} = {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯})
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrval 26488 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f Β· β†Ύ ({π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯} Γ— {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯}))⟩})
87fveq2d 6829 . 2 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f Β· β†Ύ ({π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯} Γ— {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯}))⟩}))
9 dchrbas.b . 2 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
10 ovex 7370 . . . 4 ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∈ V
1110rabex 5276 . . 3 {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯} ∈ V
12 eqid 2736 . . . 4 {⟨(Baseβ€˜ndx), {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f Β· β†Ύ ({π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯} Γ— {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯}))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f Β· β†Ύ ({π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯} Γ— {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯}))⟩}
1312grpbase 17093 . . 3 ({π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯} ∈ V β†’ {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f Β· β†Ύ ({π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯} Γ— {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯}))⟩}))
1411, 13ax-mp 5 . 2 {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), ( ∘f Β· β†Ύ ({π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯} Γ— {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯}))⟩})
158, 9, 143eqtr4g 2801 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 = {π‘₯ ∈ ((mulGrpβ€˜π‘) MndHom (mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∣ ((𝐡 βˆ– π‘ˆ) Γ— {0}) βŠ† π‘₯})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3403  Vcvv 3441   βˆ– cdif 3895   βŠ† wss 3898  {csn 4573  {cpr 4575  βŸ¨cop 4579   Γ— cxp 5618   β†Ύ cres 5622  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337   ∘f cof 7593  0cc0 10972   Β· cmul 10977  β„•cn 12074  ndxcnx 16991  Basecbs 17009  +gcplusg 17059   MndHom cmhm 18525  mulGrpcmgp 19815  Unitcui 19976  β„‚fldccnfld 20703  β„€/nβ„€czn 20810  DChrcdchr 26486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-dchr 26487
This theorem is referenced by:  dchrelbas  26490  dchrplusg  26501
  Copyright terms: Public domain W3C validator