Theorem dchrbas 27212

Description: Base set of the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrbas	⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrval.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
4		dchrval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		dchrval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrval 27211	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩})
8	7	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}))
9		dchrbas.b	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
10		ovex 7393	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∈ V
11	10	rabex 5276	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} ∈ V
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}
13	12	grpbase 17243	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} ∈ V → {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}))
14	11, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩})
15	8, 9, 14	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570  ⟨cop 4574   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  0cc0 11029   · cmul 11034  ℕcn 12165  ndxcnx 17154  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211   MndHom cmhm 18740  mulGrpcmgp 20112  Unitcui 20326  ℂ_fldccnfld 21344  ℤ/nℤczn 21492  DChrcdchr 27209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-dchr 27210

This theorem is referenced by:  dchrelbas  27213  dchrplusg  27224