MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrbas 25181
Description: Base set of the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b 𝐷 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dchrbas (𝜑𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrbas
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 dchrval.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 dchrval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑍)
4 dchrval.u . . . 4 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5 dchrval.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 eqidd 2772 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrval 25180 . . 3 (𝜑𝐺 = {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩})
87fveq2d 6337 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}))
9 dchrbas.b . 2 𝐷 = (Base‘𝐺)
10 ovex 6827 . . . 4 ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∈ V
1110rabex 4947 . . 3 {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} ∈ V
12 eqid 2771 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}
1312grpbase 16199 . . 3 ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} ∈ V → {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}))
1411, 13ax-mp 5 . 2 {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘𝑓 · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩})
158, 9, 143eqtr4g 2830 1 (𝜑𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723  {csn 4317  {cpr 4319  cop 4323   × cxp 5248  cres 5252  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑓 cof 7046  0cc0 10142   · cmul 10147  cn 11226  ndxcnx 16061  Basecbs 16064  +gcplusg 16149   MndHom cmhm 17541  mulGrpcmgp 18697  Unitcui 18847  fldccnfld 19961  ℤ/nczn 20066  DChrcdchr 25178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-dchr 25179
This theorem is referenced by:  dchrelbas  25182  dchrplusg  25193
  Copyright terms: Public domain W3C validator