Theorem dchrbas 27276

Description: Base set of the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrval.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
dchrval.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
dchrval.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrbas.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dchrbas	⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dchrbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrval.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
4		dchrval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
5		dchrval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrval 27275	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩})
8	7	fveq2d 6867	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}))
9		dchrbas.b	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
10		ovex 7425	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∈ V
11	10	rabex 5294	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} ∈ V
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}
13	12	grpbase 17301	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} ∈ V → {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩}))
14	11, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}⟩, ⟨(+g‘ndx), ( ∘f · ↾ ({𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥} × {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥}))⟩})
15	8, 9, 14	3eqtr4g 2821	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑥 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ∣ ((𝐵 ∖ 𝑈) × {0}) ⊆ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4581  {cpr 4583  ⟨cop 4587   × cxp 5643   ↾ cres 5647  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∘_f cof 7654  0cc0 11070   · cmul 11075  ℕcn 12207  ndxcnx 17212  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269   MndHom cmhm 18798  mulGrpcmgp 20169  Unitcui 20383  ℂ_fldccnfld 21404  ℤ/nℤczn 21534  DChrcdchr 27273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-dchr 27274

This theorem is referenced by:  dchrelbas  27277  dchrplusg  27288