MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  6p5lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 6p5lem 11855
Description: Lemma for 6p5e11 11858 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
6p5lem.1 𝐴 ∈ ℕ0
6p5lem.2 𝐷 ∈ ℕ0
6p5lem.3 𝐸 ∈ ℕ0
6p5lem.4 𝐵 = (𝐷 + 1)
6p5lem.5 𝐶 = (𝐸 + 1)
6p5lem.6 (𝐴 + 𝐷) = 1𝐸
Assertion
Ref Expression
6p5lem (𝐴 + 𝐵) = 1𝐶

Proof of Theorem 6p5lem
StepHypRef Expression
1 6p5lem.4 . . 3 𝐵 = (𝐷 + 1)
21oveq2i 6889 . 2 (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + (𝐷 + 1))
3 6p5lem.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℕ0
43nn0cni 11593 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
5 6p5lem.2 . . . 4 𝐷 ∈ ℕ0
65nn0cni 11593 . . 3 𝐷 ∈ ℂ
7 ax-1cn 10282 . . 3 1 ∈ ℂ
84, 6, 7addassi 10339 . 2 ((𝐴 + 𝐷) + 1) = (𝐴 + (𝐷 + 1))
9 1nn0 11598 . . 3 1 ∈ ℕ0
10 6p5lem.3 . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
11 6p5lem.5 . . . 4 𝐶 = (𝐸 + 1)
1211eqcomi 2808 . . 3 (𝐸 + 1) = 𝐶
13 6p5lem.6 . . 3 (𝐴 + 𝐷) = 1𝐸
149, 10, 12, 13decsuc 11815 . 2 ((𝐴 + 𝐷) + 1) = 1𝐶
152, 8, 143eqtr2i 2827 1 (𝐴 + 𝐵) = 1𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wcel 2157  (class class class)co 6878  1c1 10225   + caddc 10227  0cn0 11580  cdc 11783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-ltxr 10368  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-dec 11784
This theorem is referenced by:  6p5e11  11858  6p6e12  11859  7p4e11  11861  7p5e12  11862  7p6e13  11863  7p7e14  11864  8p3e11  11866  8p4e12  11867  8p5e13  11868  8p6e14  11869  8p7e15  11870  8p8e16  11871  9p2e11  11872  9p3e12  11873  9p4e13  11874  9p5e14  11875  9p6e15  11876  9p7e16  11877  9p8e17  11878  9p9e18  11879
  Copyright terms: Public domain W3C validator