Theorem 6p5lem 12781

Description: Lemma for 6p5e11 12784 and related theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
6p5lem.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6p5lem.2	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6p5lem.3	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
6p5lem.4	⊢ 𝐵 = (𝐷 + 1)
6p5lem.5	⊢ 𝐶 = (𝐸 + 1)
6p5lem.6	⊢ (𝐴 + 𝐷) = ;1𝐸

Assertion

Ref	Expression
6p5lem	⊢ (𝐴 + 𝐵) = ;1𝐶

Proof of Theorem 6p5lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6p5lem.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝐷 + 1)
2	1	oveq2i 7421	. 2 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + (𝐷 + 1))
3		6p5lem.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12511	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
5		6p5lem.2	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6	5	nn0cni 12511	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
7		ax-1cn 11153	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	4, 6, 7	addassi 11214	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) + 1) = (𝐴 + (𝐷 + 1))
9		1nn0 12515	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		6p5lem.3	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
11		6p5lem.5	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐸 + 1)
12	11	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ (𝐸 + 1) = 𝐶
13		6p5lem.6	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐷) = ;1𝐸
14	9, 10, 12, 13	decsuc 12742	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐷) + 1) = ;1𝐶
15	2, 8, 14	3eqtr2i 2792	1 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = ;1𝐶

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  1c1 11096   + caddc 11098  ℕ₀cn0 12499  ;cdc 12706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-dec 12707

This theorem is referenced by:  6p5e11  12784  6p6e12  12785  7p4e11  12787  7p5e12  12788  7p6e13  12789  7p7e14  12790  8p3e11  12792  8p4e12  12793  8p5e13  12794  8p6e14  12795  8p7e15  12796  8p8e16  12797  9p2e11  12798  9p3e12  12799  9p4e13  12800  9p5e14  12801  9p6e15  12802  9p7e16  12803  9p8e17  12804  9p9e18  12805